Markov-Kakutaniの不動点定理

証明

$T\in \mathfrak{T}に対してT_n=\frac{I+T+T^2\cdots +T^{n-1}}{n}(Iは恒等作用素)と定義する。\mathfrak{C}の凸性よりT_n(\mathfrak{C})\subset \mathfrak{C}$$またT_nは連続なのでT_n(\mathfrak{C})はコンパクト。T,S\in \mathfrak{T}ならばSとTは可換なので任意の自然数n,$$mに対してT_nとS_mは可換である。このことからT_n{S}_m(\mathfrak{C})\subset T_n(\mathfrak{C})\cap S_m(\mathfrak{C})が成り立つ。（な$$ぜならばx\in \mathfrak{C}としたときT_n{S}_m(x)=T_n(S_m(x)),S_m(x)\in \mathfrak{C}よりT_n{S}_m(x)\in T_n(\mathfrak{C})である$$。よってT_n{S}_m(\mathfrak{C})\subset T_n(\mathfrak{C})。同様にT_n{S}_m(\mathfrak{C})\subset S_m(\mathfrak{C}))$
$\mathfrak{F}=\bigcap _{(n,T)\in \mathbb{N}\times \mathfrak{T}}{T}_n(\mathfrak{C})とする。F\subset \mathbb{N}\times \mathfrak{T}を有限部分集合としたとき\bigcap _{(n,T)\in F}{T}_n(\mathfrak{C})\ne \varnothing である。$
$\mathfrak{C}はコンパクトなので\mathfrak{F}\ne \varnothing である。あるx\in \mathfrak{F},T\in \mathfrak{T}についてTx\ne xが成り立つ仮定する。\mathrm{Hahn}-\mathrm{Banach}の定$
$理より\varphi (Tx-x)=1となる\varphi \in {\mathfrak{X}}^{\ast }が存在する。nを自然数とする。y\in \mathfrak{C},T_{n}y=xとなる元$
$が存在する。\varphi (T^{n}y-y)=\varphi (n(T{T}_{n}y-T_{n}Y))=n\varphi (Tx-x)=nを満たす。\mathfrak{C}\mathfrak{-}\mathfrak{C}は$
$コンパクトである。（m:\mathfrak{C}\times \mathfrak{C}\to \mathfrak{C}をm(x,y)=x-yと定義するとmは連続であり\mathfrak{C}\mathfrak{-}\mathfrak{C}$
$=m(\mathfrak{C}\mathfrak{,}\mathfrak{C})\mathfrak{で}\mathfrak{あ}\mathfrak{る}\mathfrak{た}\mathfrak{め}\mathfrak{）}\varphi \mathfrak{(}\mathfrak{C}\mathfrak{-}\mathfrak{C})が有界であるため矛盾。◼$

・補足
$今回紹介した主張では\mathfrak{X}の位相はノルム位相であったが、弱位相を考えた場合でも全く同じ証$
明で成り立つ。（その場合は有界線形作用素を連続線形作用素とする）