Markov-Kakutaniの不動点定理
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\mathfrak{X}が\mathrm{Banach}空間,\mathfrak{C}\subset\mathfrak{X}がコンパクト凸部分集合,\mathfrak{T}\subset\{T|T:\mathfrak{X\to X,}$
$Tは有界線形作用素,T\mathfrak{(C)\subset C}\},\mathfrak{T}が可換であるとき、任意のT\in
\mathfrak{T}に対してTx＝xとなる$
$x\in \mathfrak{C}が存在する。
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証明
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T\in\mathfrak{T}に対してT_n=\frac{I+T+T^2\dots+T^{n-1}}{n}(Iは恒等作用素)と定義する。\mathfrak{C}の凸性よりT_n(\mathfrak{C)\subset C}
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またT_nは連続なのでT_n(\mathfrak{C})はコンパクト。T,S\in\mathfrak{T}ならばSとTは可換なので任意の自然数n,
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mに対してT_nとS_mは可換である。このことからT_n S_m(\mathfrak{C})\subset T_n(\mathfrak{C})\cap S_m(\mathfrak{C})が成り立つ。（な
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ぜならばx\in \mathfrak{C}としたときT_n S_m (x)=T_n(S_m(x)),S_m(x)\in\mathfrak{C}よりT_n S_m(x)\in T_n(\mathfrak{C})である
$$
。よってT_n S_m(\mathfrak{C})\subset T_n(\mathfrak{C})。同様にT_n S_m(\mathfrak{C})\subset S_m(\mathfrak{C}))
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\mathfrak{F}=\bigcap_{(n,T)\in \mathbb{N}\times\mathfrak{T}} T_n(\mathfrak{C})
とする。F\subset \mathbb{N}\times\mathfrak{T}を有限部分集合としたとき\bigcap_{(n,T)\in F}T_n(\mathfrak{C})\ne \varnothingである。
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\mathfrak{C}はコンパクトなので\mathfrak{F}\ne\varnothingである。あるx\in\mathfrak{F},T\in\mathfrak{T}についてTx\ne xが成り立つ仮定する。\mathrm{Hahn-Banach}の定
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理より\phi(Tx-x)=1となる\phi\in\mathfrak{X}^*が存在する。nを自然数とする。y\in\mathfrak{C},T_ny=xとなる元
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が存在する。\phi(T^n y-y)=\phi(n(TT_n y-T_nY))=n\phi(Tx-x)=nを満たす。\mathfrak{C-C}は
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コンパクトである。（m:\mathfrak{C\times C\to C}をm(x,y)=x-yと定義するとmは連続であり\mathfrak{C-C}
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=m(\mathfrak{C,C)であるため）\phi(C-C)}が有界であるため矛盾。\blacksquare
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・補足
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今回紹介した主張では\mathfrak{X}の位相はノルム位相であったが、弱位相を考えた場合でも全く同じ証
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明で成り立つ。（その場合は有界線形作用素を連続線形作用素とする）