Γ(n+1/2)を計算する
$\Gamma$関数の性質で今回使うものを極力省略することなく証明していきたいと思います。
まずは$\Gamma$関数の定義を確認しましょう。
$Re(s)>0$となる複素数$s$について$\Gamma(s):= \displaystyle \int_{0}^{\infty}t^{s-1}e^{-t}dt$
では色々証明していきたいと思います。
$Re(s)>0$となる複素数$s$について$\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)$
部分積分を用いる
$
\begin{align*}
\Gamma(s+1)
&=\displaystyle \int_{0}^{\infty}t^s(-e^{-t})'dt\\
&=[-t^se^{-t}]_{0}^{\infty}+s\displaystyle \int_{0}^{\infty}t^{s-1}e^{-t}dt\\
&=s\Gamma(s) (証明終)\\
\end{align*}
$
自然数$n$について$\Gamma(n+1)=n!$
定理$1$と$\Gamma(1)=1$となることから自然数$n$について$\Gamma(n+1)=n!$が成立する
この意味で$\Gamma$関数は階乗の定義域を複素数の範囲まで拡張したものとなっている（元々$\Gamma$関数は階乗の一般化として導入されたものである）。
他にもこのような関数が存在するのではないかという疑問が生じるが、Bohr-Mollerupの定理から
- 対数凸
- $F(x+1)=xF(x)$
- $F(1)=1$
の全てを満たす複素関数は$\Gamma$関数のみに限られることが分かる。
$\displaystyle \Gamma\bigg(\frac{1}{2}\bigg)=\sqrt\pi$
$
\begin{align*}
\displaystyle \Gamma\bigg(\frac{1}{2}\bigg)
&=\displaystyle \int_0^{\infty}t^{-\frac{1}{2}}e^{-t}dt\\
&=\displaystyle \int_0^{\infty}\frac{1}{y}e^{-y^2}2ydy (t=y^2と置換)\\
&=\displaystyle 2\int_0^{\infty}e^{-y^2}dy\\
&=\sqrt\pi (証明終)
\end{align*}
$
但し最後の式変形でGauss積分を用いた
今回の目的
$\displaystyle \Gamma\bigg(n+\frac{1}{2}\bigg)=\displaystyle\frac{(2n)!}{4^nn!}\sqrt\pi$
$\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)$と$\displaystyle \Gamma\bigg(\frac{1}{2}\bigg)=\sqrt\pi$を用いると
$\displaystyle\Gamma\bigg(\frac{3}{2}\bigg)=\Gamma\bigg(1+\frac{1}{2}\bigg)=\frac{1}{2}\Gamma\bigg(\frac{1}{2}\bigg)=\frac{1}{2}\sqrt\pi\\
\displaystyle\Gamma\bigg(\frac{5}{2}\bigg)=\Gamma\bigg(1+\frac{3}{2}\bigg)=\frac{3}{2}\Gamma\bigg(\frac{3}{2}\bigg)=\frac{3}{2}\frac{1}{2}\sqrt\pi\\
\displaystyle\Gamma\bigg(\frac{7}{2}\bigg)=\Gamma\bigg(1+\frac{5}{2}\bigg)=\frac{5}{2}\Gamma\bigg(\frac{5}{2}\bigg)=\frac{5}{2}\frac{3}{2}\frac{1}{2}\sqrt\pi$\
以下帰納的に$\displaystyle \Gamma\bigg(n+\frac{1}{2}\bigg)=\frac{(2n-1)!!}{2^n}\sqrt\pi$が得られる
ここで$(2n-1)!!=\displaystyle \frac{(2n)!}{2^nn!}$を用いると
$\displaystyle \Gamma\bigg(n+\frac{1}{2}\bigg)=\displaystyle\frac{(2n)!}{4^nn!}\sqrt\pi$ (証明終)
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