-1の平方根を増やして奇妙なことを起こす話

はじめに

突然ですが，以下の式は成立するでしょうか．

$$\begin{array}{}\text{(♠)}& \mathbb{C}[x]/⟨x^2+1⟩=\mathbb{C}[\sqrt{-1}]=\mathbb{C}\end{array}$$

ただし，$⟨\ast ⟩$はイデアルの生成とします．$\mathbb{R}[x]/⟨x^2+1⟩=\mathbb{R}[\sqrt{-1}]\cong \mathbb{C}$を思い出すと，上の式も成り立ちそうに見えるかもしれません．しかし，式(♠)は成立しません．この記事では，$\mathbb{R}[x]/⟨x^2+1⟩$と$\mathbb{C}[x]/⟨x^2+1⟩$の間にある違いについて解説します．

なお，この記事はサークル「 Wathematica 」のイベントで書きました．また，サークルの友人であるじふくんの記事「 abがpの倍数ならaまたはbがpの倍数？ 」に，この記事で仮定した予備知識の解説があります．ぜひあわせてご覧ください．

式(♠)が成り立たない証明

式(♠)が成立しないことは， 剰余環が体になる条件 を使って証明できます．

この定理を使うと，式(♠)が成り立たないことを次のように示せます．

証明はあっさり片づきましたが，$\mathbb{C}[x]/⟨x^2+1⟩\cong \mathbb{C}[\sqrt{-1}]=\mathbb{C}$のどこに誤りがあったのかがいまひとつ判然としません．そこで次節では，$\mathbb{C}[x]/⟨x^2+1⟩$の元を同値類の形で書き下し，誤りを探ります．

同値類としての表示

$f(x)$を任意の$\mathbb{C}$係数多項式とします．$f(x)$を$x^2+1$で割った商を$q(x)$，余りを$\zeta x+\eta$（$\zeta ,\eta \in \mathbb{C}$）とおくと
$$f(x)=q(x)(x^2+1)+\zeta x+\eta ,f(x)-(\zeta x+\eta )=q(x)(x^2+1)\in ⟨x^2+1⟩$$
です．よって， イデアルから定まる同値関係 に関する$f(x)$の同値類を$\overline{f(x)}$と書くと，$\overline{f(x)}=\overline{\zeta x+\eta }$が成立します．

つまり，すべての同値類は1次式か定数の代表元を持ちます．すなわち，$\mathbb{C}[x]/⟨x^2+1⟩$は
$$\mathbb{C}[x]/⟨x^2+1⟩=\{\overline{\zeta x+\eta }\mid \zeta ,\eta \in \mathbb{C}\}=\{\overline{\zeta x+a+b\mathrm{i}}\mid \zeta \in \mathbb{C},a,b\in \mathbb{R}\}$$
と表せます．$\overline{\zeta x+\eta }$を$\zeta \overline{x}+\eta$と略記すれば，次のように書けます．
$$\mathbb{C}[x]/⟨x^2+1⟩=\{a+b\mathrm{i}+\zeta \overline{x}\mid \zeta \in \mathbb{C},a,b\in \mathbb{R}\}$$

$\overline{x}$と$\overline{\mathrm{i}}$はどちらも$(\ast {)}^2=-1$を満たします（実際${\overline{x}}^2-(-1)=\overline{x^2+1}=0$です）．しかし$x-\mathrm{i}\notin ⟨x^2+1⟩$ですから，$\overline{x}\ne \overline{\mathrm{i}}$です．要するに，$\mathbb{C}[x]/⟨x^2+1⟩$は$\pm \overline{\mathrm{i}}$と$\pm \overline{x}$の計4つ，$-1$の平方根を持つ環なのです．そのため$(a+b\mathrm{i})\overline{x}=a\overline{x}+b\mathrm{i}\overline{x}\ne a\overline{x}-b$であり，$\mathbb{C}[\overline{x}]=\{f(\overline{x})\mid f(x)\in \mathbb{C}[x]\}$と$\mathbb{C}$は同一視できません．また，$\mathbb{R}[x]/⟨x^2+1⟩=\mathbb{R}[\sqrt{-1}]$では割る前の環に$-1$の平方根が存在しないので，この問題は起きません．

式(♠)の修正

$\mathbb{C}[x]/⟨x^2+1⟩\ne \mathbb{C}$を踏まえて，本節では$\mathbb{C}[x]/⟨x^2+1⟩$がどういう環なのか調べます．

$\overline{f(x)}=\overline{\zeta x+\eta }$は$\zeta$と$\eta$の値から一意に定まり，かつ$f(\pm \mathrm{i})=\pm \zeta \mathrm{i}+\eta$（複合同順）です．よって，写像$\varphi$を
$$\varphi :\mathbb{C}[x]\to {\mathbb{C}}^2,\varphi (f(x))=(f(-\mathrm{i}),f(\mathrm{i}))$$
で定義し，$f(x)$の代わりに$\varphi (f(x))$を用いても，$\mathbb{C}[x]/⟨x^2+1⟩$における$\overline{f(x)}$の性質を調べるぶんには問題ありません．$\varphi$は環準同型かつ$\mathrm{Ker}\varphi =⟨x^2+1⟩$，$\mathrm{Im}\varphi ={\mathbb{C}}^2$ですから， 準同型定理 より
$$\mathbb{C}[x]/⟨x^2+1⟩\cong {\mathbb{C}}^2$$
です（この同型は 中国式剰余定理 からも示せます）．つまり$\mathbb{C}[x]/⟨x^2+1⟩$は$\mathbb{C}$ではなく，${\mathbb{C}}^2$と同型なのでした．

前節で「$\mathbb{C}[x]/⟨x^2+1⟩$は$\pm \overline{\mathrm{i}}$と$\pm \overline{x}$の計4つ，$-1$の平方根を持つ」と言いましたが，${\mathbb{C}}^2$との同型を使うと，$-1$の平方根は他にないことが分かります．実際，${\mathbb{C}}^2$において$-(1,1)$の平方根は
$$\pm (\mathrm{i},\mathrm{i}),\pm (-\mathrm{i},\mathrm{i})$$
の4つで，前者が$\pm \mathrm{i}$，後者が$\pm \overline{x}$にあたります．

おわりに

この記事では複数の観点から，環$\mathbb{C}[x]/⟨x^2+1⟩$の正体に迫りました．数学を学んでいると（私は）つい美しい例や結果に注目しがちですが，ときにはこうした「奇妙な」例をいじくるのも，理解の助けになると感じました．