-1の平方根を増やして奇妙なことを起こす話

はじめに

突然ですが，以下の式は成立するでしょうか．

$$ \mathbb{C}[x]/\langle x^2+1\rangle = \mathbb{C}[\sqrt{-1}] = \mathbb{C}\tag{♠} $$

ただし，$\langle\mathord{\ast}\rangle$はイデアルの生成とします．$\mathbb{R}[x]/\langle x^2+1\rangle=\mathbb{R}[\sqrt{-1}]\cong\mathbb{C}$を思い出すと，上の式も成り立ちそうに見えるかもしれません．しかし，式(♠)は成立しません．この記事では，$\mathbb{R}[x]/\langle x^2+1\rangle$と$\mathbb{C}[x]/\langle x^2+1\rangle$の間にある違いについて解説します．

なお，この記事はサークル「 Wathematica 」のイベントで書きました．また，サークルの友人であるじふくんの記事「 abがpの倍数ならaまたはbがpの倍数？ 」に，この記事で仮定した予備知識の解説があります．ぜひあわせてご覧ください．

式(♠)が成り立たない証明

式(♠)が成立しないことは， 剰余環が体になる条件 を使って証明できます．

この定理を使うと，式(♠)が成り立たないことを次のように示せます．

証明はあっさり片づきましたが，$\mathbb{C}[x]/\langle x^2+1\rangle\cong\mathbb{C}[\sqrt{-1}]=\mathbb{C}$のどこに誤りがあったのかがいまひとつ判然としません．そこで次節では，$\mathbb{C}[x]/\langle x^2+1\rangle$の元を同値類の形で書き下し，誤りを探ります．

同値類としての表示

$f(x)$を任意の$\mathbb{C}$係数多項式とします．$f(x)$を$x^2+1$で割った商を$q(x)$，余りを$\zeta x+\eta$（$\zeta,\eta\in\mathbb{C}$）とおくと
$$ f(x) = q(x)(x^2+1)+\zeta x+\eta, \quad f(x)-(\zeta x+\eta) = q(x)(x^2+1) \in \langle x^2+1\rangle $$
です．よって， イデアルから定まる同値関係 に関する$f(x)$の同値類を$\overline{f(x)}$と書くと，$\overline{f(x)}=\overline{\zeta x+\eta}$が成立します．

つまり，すべての同値類は1次式か定数の代表元を持ちます．すなわち，$\mathbb{C}[x]/\langle x^2+1\rangle$は
$$ \mathbb{C}[x]/\langle x^2+1\rangle = \{\overline{\zeta x+\eta}\mid\zeta,\eta\in\mathbb{C}\} = \{\overline{\zeta x+a+b\mathrm{i}}\mid\zeta\in\mathbb{C},\,a,b\in\mathbb{R}\} $$
と表せます．$\overline{\zeta x+\eta}$を$\zeta\bar{x}+\eta$と略記すれば，次のように書けます．
$$ \mathbb{C}[x]/\langle x^2+1\rangle=\{a+b\mathrm{i}+\zeta\bar{x}\mid\zeta\in\mathbb{C},\,a,b\in\mathbb{R}\} $$

$\bar{x}$と$\bar{\mathrm{i}}$はどちらも$(\mathord{\ast})^2=-1$を満たします（実際$\bar{x}^2-(-1)=\overline{x^2+1}=0$です）．しかし$x-\mathrm{i}\notin\langle x^2+1\rangle$ですから，$\bar{x}\neq\bar{\mathrm{i}}$です．要するに，$\mathbb{C}[x]/\langle x^2+1\rangle$は$\pm\bar{\mathrm{i}}$と$\pm\bar{x}$の計4つ，$-1$の平方根を持つ環なのです．そのため$(a+b\mathrm{i})\bar{x}=a\bar{x}+b\mathrm{i}\bar{x}\neq a\bar{x}-b$であり，$\mathbb{C}[\bar{x}]=\{f(\bar{x})\mid f(x)\in\mathbb{C}[x]\}$と$\mathbb{C}$は同一視できません．また，$\mathbb{R}[x]/\langle x^2+1\rangle=\mathbb{R}[\sqrt{-1}]$では割る前の環に$-1$の平方根が存在しないので，この問題は起きません．

式(♠)の修正

$\mathbb{C}[x]/\langle x^2+1\rangle\neq\mathbb{C}$を踏まえて，本節では$\mathbb{C}[x]/\langle x^2+1\rangle$がどういう環なのか調べます．

$\overline{f(x)}=\overline{\zeta x+\eta}$は$\zeta$と$\eta$の値から一意に定まり，かつ$f(\pm\mathrm{i})=\pm\zeta\mathrm{i}+\eta$（複合同順）です．よって，写像$\phi$を
$$ \phi\colon\mathbb{C}[x] \to \mathbb{C}^2, \quad\phi(f(x)) = (f(-\mathrm{i}),f(\mathrm{i})) $$
で定義し，$f(x)$の代わりに$\phi(f(x))$を用いても，$\mathbb{C}[x]/\langle x^2+1\rangle$における$\overline{f(x)}$の性質を調べるぶんには問題ありません．$\phi$は環準同型かつ$\operatorname{Ker}\phi=\langle x^2+1\rangle$，$\operatorname{Im}\phi=\mathbb{C}^2$ですから， 準同型定理 より
$$ \mathbb{C}[x]/\langle x^2+1\rangle\cong\mathbb{C}^2 $$
です（この同型は 中国式剰余定理 からも示せます）．つまり$\mathbb{C}[x]/\langle x^2+1\rangle$は$\mathbb{C}$ではなく，$\mathbb{C}^2$と同型なのでした．

前節で「$\mathbb{C}[x]/\langle x^2+1\rangle$は$\pm\bar{\mathrm{i}}$と$\pm\bar{x}$の計4つ，$-1$の平方根を持つ」と言いましたが，$\mathbb{C}^2$との同型を使うと，$-1$の平方根は他にないことが分かります．実際，$\mathbb{C}^2$において$-(1,1)$の平方根は
$$ \pm(\mathrm{i},\mathrm{i}),\quad\pm(-\mathrm{i},\mathrm{i}) $$
の4つで，前者が$\pm\mathrm{i}$，後者が$\pm\bar{x}$にあたります．

おわりに

この記事では複数の観点から，環$\mathbb{C}[x]/\langle x^2+1\rangle$の正体に迫りました．数学を学んでいると（私は）つい美しい例や結果に注目しがちですが，ときにはこうした「奇妙な」例をいじくるのも，理解の助けになると感じました．