[a,b]がコンパクトであることの証明（最速）

$ \{U_{\lambda} |\lambda \in \Lambda \}を[a,b]の開被覆とする。S=\{c \in[a,b+1]|[a,c]は{U_\lambda から有限部分被覆を取ることができる} \} $
$ m=\sup Sとする。(S\neq \varnothing)a\le m\le bと仮定する。ある\lambdaに対してm\in U_\lambdaなので、ある\epsilon>0 $
$ に対して[m-\epsilon,m+\epsilon]\subset U_\lambda,m-\epsilon\in Sなので[a,m+\epsilon]も有限部分被覆を取ることができるため $
$ m+\epsilon \in Sとなり矛盾するためm>bである。よってb\in S。[a.b]は有限部分被覆を取ることができる $
$ ため、[a,b]はコンパクト\blacksquare $