[a,b]がコンパクトであることの証明（最速）

$\{U_{\lambda }|\lambda \in \mathrm{\Lambda }\}を[a,b]の開被覆とする。S=\{c\in [a,b+1]|[a,c]はU_{\lambda }から有限部分被覆を取ることができる\}$
$m=supSとする。(S\ne \varnothing )a\le m\le bと仮定する。ある\lambda に対してm\in U_{\lambda }なので、あるϵ>0$
$に対して[m-ϵ,m+ϵ]\subset U_{\lambda },m-ϵ\in Sなので[a,m+ϵ]も有限部分被覆を取ることができるため$
$m+ϵ\in Sとなり矛盾するためm>bである。よってb\in S。[a.b]は有限部分被覆を取ることができる$
$ため、[a,b]はコンパクト◼$