無限次元Hilbert空間の弱位相が第一可算ではないことの証明

$ \{e_n|n\in \mathbb{N} \}を\mathfrak{H}の\mathrm{ONS},\mathfrak{C}=\{\sqrt{n}e_n |n\in \mathbb{N} \}とする。0\in \bar{\mathfrak{C}}^w(弱位相の閉包を示す)$
$であり\mathfrak{C}の点列で０に弱収束するようなものが存在しないことを示せばよい。$
$ ①0\in \bar{\mathfrak{C}}^wの証明 $
$ 0の近傍\mathfrak{A}を取る。0\in \bigcap_{i=1}^n\{x\in \mathfrak{H}||(x|x_i)|<\epsilon \} \subset \mathfrak{A}となるx_1,x_2\dots ,x_n,\epsilon >0が $
$ 存在する。この集合を\mathfrak{B}とする。\mathfrak{B\cap C}= \varnothingと仮定すると||x_1||^2+||x_2||^2\dots+||x_n||^2$
$ \ge \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^\infty \frac{1}{j}|(x_i|\sqrt{j}e_j)|^2 \ge\sum_{j=1}^\infty \frac{\epsilon^2}{j}=\inftyとなり矛盾（任意のj に対してあるiが存 $
$ 在して|(x_i|e_j)|\ge\epsilon)よって矛盾するため\mathfrak{A\cap C}\neq\varnothing $
$ ②\mathfrak{C}の０に弱収束する点列が存在しないことの証明 $
$ ある\mathfrak{C}の点列(y_n)が０に弱収束すると仮定する。任意のx\in \mathfrak{H}に対して(y_n|x)\to 0であ $
$ るため、\sup_{n\in \mathbb{N}} |(x|y_n)|<\inftyである。一様有界性原理より\sup_{n\in \mathbb{N}}||y_n||<\inftyなので $
$ 矛盾する。ゆえに0に弱収束する\mathfrak{C}の点列は存在しない。 $