無限次元Hilbert空間の弱位相が第一可算ではないことの証明

$\{e_n|n\in \mathbb{N}\}を\mathfrak{H}の\mathrm{ONS},\mathfrak{C}=\{\sqrt{n}{e}_n|n\in \mathbb{N}\}とする。0\in {\overline{\mathfrak{C}}}^w(弱位相の閉包を示す)$
$であり\mathfrak{C}の点列で０に弱収束するようなものが存在しないことを示せばよい。$
$\mathrm{①}0\in {\overline{\mathfrak{C}}}^wの証明$
$0の近傍\mathfrak{A}を取る。0\in \bigcap _{i=1}^n\{x\in \mathfrak{H}||(x|x_i)|<ϵ\}\subset \mathfrak{A}となるx_1,x_2\dots ,x_n,ϵ>0が$
$存在する。この集合を\mathfrak{B}とする。\mathfrak{B}\cap \mathfrak{C}=\varnothing と仮定すると||x_1|{|}^2+||x_2|{|}^2\cdots +||x_n|{|}^2$
$\ge \sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{j}|(x_i|\sqrt{j}{e}_j){|}^2\ge \sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{ϵ}^2}{j}=\mathrm{\infty }となり矛盾（任意のjに対してあるiが存$
$在して|(x_i|e_j)|\ge ϵ)よって矛盾するため\mathfrak{A}\cap \mathfrak{C}\ne \varnothing$
$\mathrm{②}\mathfrak{C}の０に弱収束する点列が存在しないことの証明$
$ある\mathfrak{C}の点列(y_n)が０に弱収束すると仮定する。任意のx\in \mathfrak{H}に対して(y_n|x)\to 0であ$
$るため、\underset{n\in \mathbb{N}}{sup}|(x|y_n)|<\mathrm{\infty }である。一様有界性原理より\underset{n\in \mathbb{N}}{sup}||y_n||<\mathrm{\infty }なので$
$矛盾する。ゆえに0に弱収束する\mathfrak{C}の点列は存在しない。$