誘導表現の話

表現論

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はじめに

当記事はサークル「 Wathematica 」のクリスマスアドベントカレンダー企画の12月24日分の記事です.

この記事のテーマは誘導表現です.
何をするのかざっくりと言えば, 群 $G$ とその部分群 $H$ , $H$ の表現 $W$ が与えられたときに, それらから新しく $G$ の表現を構成します.

左剰余類との関係

$G$ を有限群, $H$ を $G$ の部分群とします.
$(V, ρ)$ を $G$ の表現として, $V$ の部分空間 $W$ が $H$ 不変であるとします. つまり,
$ρ (h) w \in W (h \in H, w \in W)$
がなりたつとします. $(W, ρ |_{H})$ が $H$ の表現になっていることに注意しましょう.
$g \in G$ に対して,
$g W := {ρ (g) w ∣ w \in W}$
とします.

$g H = g^{'} H \Rightarrow g W = g^{'} W$
がなりたつ.

$ρ (g) w \in g W$ をとる.
$ρ (g) w$
$= ρ (g^{'}) ρ (g^{' - 1}) ρ (g) w$
$= ρ (g^{'}) ρ (g^{' - 1} g) w$
仮定より, $g^{' - 1} g \in H$ で $W$ は $H$ 不変だから $ρ (g^{' - 1} g) w \in W$
よって, $ρ (g) w = ρ (g^{'}) ρ (g^{' - 1} g) w \in g^{'} W$ がなりたち,
$g W \subset g^{'} W$ である.
逆の包含も同様に示せる. $◻$

これによって $g W$ は代表元の取り方に寄らず左剰余類 $g H \in G / H$ によって決まることが分かります. よって $γ = g H$ として $g W$ を $γ W$ と書きます.

誘導表現の定義

誘導表現を以下で定義します.

誘導表現

記号は上と同じとする.
$G$ の表現 $(V, ρ)$ が $H$ の表現 $W$ から誘導されているとは
$V = \oplus_{γ \in G / H} γ W$
がなりたつことである.
$W$ から誘導された $G$ の表現を ${Ind}_{H}^{G} W$ とかく.

これを見ただけでは $(V, ρ)$ ありきであまり $W$ から得られたという感じはしないかもしれませんが, 定義はあくまで $G$ の表現が $W$ から誘導されているとはどういうことかを示すためのものなので, あまり気にする必要はありません.

誘導表現の存在性と一意性

まずは ${Ind}_{H}^{G} W = (V, ρ)$ があったとしてその様子を見てみましょう.
$H$ による左剰余類の代表系 ${g_{1}, \dots, g_{k}}$ を固定します. すなわち, $G / H = {g_{1} H, \dots, g_{k} H}$ です.
定義から, 各 $v \in V$ は
$v = \sum_{i = 1}^{k} ρ (g_{i}) w_{i} (w_{i} \in W)$
と一意的に書けます.
$v \in V$ に対する $g \in G$ の作用を見てみましょう.
$g \in G$ に対して, ある $σ_{g} \in S_{n}, h_{i} \in H$ が存在して,
$g g_{i} = g_{σ_{g} (i)} h_{i}$
が成り立ちます.
(ややこしいと思ったら, $g$ が代表元の系 ${g_{1}, \dots g_{k}}$ をシャッフルするというイメージを持ってもらえれば良いです. $h_{i}$ 自体はあまり本質的ではないので)
これに注意しつつ, $g \in G$ による作用を見ると,

$ρ (g) v = ρ (g) \sum_{i = 1}^{k} ρ (g_{i}) w_{i}$
$= \sum_{i = 1}^{k} ρ (g g_{i}) w_{i}$
$= \sum_{i = 1}^{k} ρ (g_{σ_{g} (i)}) ρ (h_{i}) w_{i}$
$= \sum_{i = 1}^{k} ρ (g_{i}) ρ (h_{σ_{g}^{- 1} (i)}) w_{σ_{g}^{- 1} (i)}$ 　

となっています.
これを見ながら $v = \sum_{i = 1}^{k} ρ (g_{i}) w_{i} (w_{i} \in W)$ を $ρ (g_{i})$ を隠して $⨁_{i = 1}^{k} w_{i} \in W^{\oplus k}$ だと思うと, $g \in G$ の $V = W^{\oplus k}$ における作用は

$W^{\oplus k} ∋ ⨁_{i = 1}^{k} w_{i} ⟼ ⨁_{i = 1}^{k} ρ (h_{σ_{g}^{- 1} (i)}) w_{σ_{g}^{- 1} (i)} \in W^{\oplus k} \dots (*)$ 　

と理解できます.
この $W^{\oplus k}$ は単に $k$ 個の $W$ の直和というよりは,左剰余類の代表系 ${g_{i}}_{i = 1}^{k}$ によって番号づけられた $g_{i} W$ の直積だと理解した方がいいかもしれません.
$i$ 番目の $W$ の元 $w_{i}$ が $ρ (h_{i})$ の分だけ動きながら $σ_{g} (i)$ 番目の $W$ に写っているという感じですね.

$(*)$ をよく見るとこれは群 $H$ と $H$ の表現 $(W, ρ)$ , および拡大先の群 $G$ の情報のみから決まっています. このことから, 誘導表現 $V = W^{\oplus k} = {Ind}_{H}^{G} W$ は存在すれば一意的であることが分かります.
さらに, ( ${Ind}_{H}^{G} W$ の存在を仮定したことを一旦忘れて, $(*)$ を $GL (W^{\oplus k})$ の元としてみれば) $(*)$ は $G$ の演算と両立することが計算すれば確かめられるので, これが新たに $G$ の $W^{\oplus k}$ 上の表現, すなわち $H$ の表現 $W$ から誘導された表現の構成を与えていることが分かります.
したがって, これは誘導表現が必ず存在していることを構成的に示しています.