広義積分の収束定理とその応用

積分収束定理

定理1.1
$$\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{a}}\text{が収束} \Longleftrightarrow a>1$$$$\begin{eqnarray} \int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{a}}&=&\biggl [-\frac{1}{1-a}\cdot \frac{1}{x^{a-1}}\biggr ]_{1}^{\infty}\text{ここで$a>1$とすると}\\ &=&\frac{1}{1-a}\text{の様になり収束する。従って、}\end{eqnarray}$$$$\begin{eqnarray} \int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{a}}\text{が収束} \Longleftrightarrow a>1\end{eqnarray}$$が示せた。

定理1.2
$$\int_{1}^{\infty}f(x)dx\text{が収束} \Longleftrightarrow \limsup_{x\rightarrow\infty}-\frac{\log{f(x)}}{\log{x}}>1$$$$\begin{eqnarray} \int_{1}^{\infty}f(x)dx=\int_{1}^{\infty}x^{\log_{x}f(x)} dx=\int_{1}^{\infty}x^{\frac{\log{f(x)}}{\log{x}}} dx=\int_{1}^{\infty}x^{-\bigr(-{\frac{\log{f(x)}}{\log{x}}}\bigl)} dx\end{eqnarray}$$ここで定理1.1より次の命題が成立する。 $$\begin{eqnarray} \int_{1}^{\infty}f(x)dx\text{が収束} \Longleftrightarrow -\frac{\log{f(x)}}{\log{x}}>1\end{eqnarray}$$また、$-\frac{\log{f(x)}}{\log{x}}$の上極限$\limsup_{x\rightarrow\infty}$を取ると
$$\int_{1}^{\infty}f(x)dx\text{が収束} \Longleftrightarrow \limsup_{x\rightarrow\infty}-\frac{\log{f(x)}}{\log{x}}>1$$が成立する。
$$\int_{0}^{a}f(x)dx\text{が収束} \Longleftrightarrow \limsup_{x\rightarrow0} -\frac{\log{f(x)}+2\log{x}-\log{a}}{\log{a}-\log{x}}>1$$まず定理1.2から
$$\int_{1}^{\infty}g(t)dt\text{が収束} \Longleftrightarrow \limsup_{t\rightarrow\infty}-\frac{\log{g(t)}}{\log{t}}>1$$が成立する。ここで、$t=\frac{a}{x}$と置換すると $$\begin{eqnarray} \int_{1}^{\infty}g(t)dt=\int_{0}^{a}g\bigr(\frac{a}{x}\bigl)\frac{a dx}{x^{2}}\text{が収束}\Longleftrightarrow\limsup_{x\rightarrow0}-\frac{\log{g\bigr(\frac{a}{x}\bigl)}}{\log{\frac{a}{x}}}>1\end{eqnarray}$$のようになりまた$g$が$\displaystyle g\bigr(\frac{a}{x}\bigl)=f(x)\frac{x^{2}}{a}$の形で表せるとすると、$$\begin{eqnarray} \int_{0}^{a}f(x)dx\text{が収束}&\Longleftrightarrow&\limsup_{x\rightarrow0}-\frac{\log{f(x)}+2\log{x}-\log{a}}{\log{a}-\log{x}}>1\end{eqnarray}$$の様になって今回の題意を示せた。

無限級数の積分判定法

$\{a_{n}\}$を$a_{n}\geq 0(n\geq1)$とする。もし、$f(n)=a_{n}$となる単調減少な関数$f:[1,\infty)\rightarrow[0,\infty)$が存在すれば、$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$の収束・発散は広義積分$\displaystyle\int_{1}^{\infty}f(x)dx$の収束・発散と一致する。

この判定法と積分収束定理から次のことが言える。 $$\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\text{が収束}&\Longleftrightarrow&\int_{1}^{\infty}f(x)dx\text{が収束}\\ &\Longleftrightarrow&-\frac{\log{f(x)}}{\log{x}}>1\end{eqnarray}$$

フリントヒルズ級数の収束発散について

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3}\sin^{2}(n)}$が収束することを上の定理を用いて証明できる。
$$\begin{eqnarray} \limsup_{x\rightarrow\infty}-\frac{\log{\frac{1}{x^{3}\sin^{2}{x}}}}{\log{x}}=\limsup_{x\rightarrow\infty}\frac{\log{x^{3}\sin^{2}{x}}}{\log{x}}=\limsup_{x\rightarrow\infty}\frac{3\log{x}+2\log{\sin{x}}}{\log{x}}\\ =\limsup_{x\rightarrow\infty}3+\frac{\log(\sin{x})}{\log{x}}=3+\limsup_{x\rightarrow\infty}\frac{\log(\sin{x})}{\log{x}}>1\Longleftrightarrow\limsup_{x\rightarrow\infty}\frac{\log(\sin{x})}{\log{x}}>-2\Longleftrightarrow\infty>-2\end{eqnarray}$$以上より、フリントヒルズ級数(Flint Hills series)は収束する。