広義積分の収束定理とその応用

積分収束定理

定理1.1
$${\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{dx}{x^a}\text{が収束}⟺a>1$$$$\begin{array}{rcl}{\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{dx}{x^a}& =& [-\frac{1}{1-a}\cdot \frac{1}{x^{a-1}}{]}_1^{\mathrm{\infty }}\text{ここで}a>1\text{とすると}\\ & =& \frac{1}{1-a}\text{の様になり収束する。従って、}\end{array}$$$$\begin{array}{r}{\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{dx}{x^a}\text{が収束}⟺a>1\end{array}$$が示せた。

定理1.2
$${\int }_1^{\mathrm{\infty }}f(x)dx\text{が収束}⟺\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim sup}-\frac{\log f(x)}{\log x}>1$$$$\begin{array}{r}{\int }_1^{\mathrm{\infty }}f(x)dx={\int }_1^{\mathrm{\infty }}{x}^{{\log }_{x}f(x)}dx={\int }_1^{\mathrm{\infty }}{x}^{\frac{\log f(x)}{\log x}}dx={\int }_1^{\mathrm{\infty }}{x}^{-(-\frac{\log f(x)}{\log x})}dx\end{array}$$ここで定理1.1より次の命題が成立する。 $$\begin{array}{r}{\int }_1^{\mathrm{\infty }}f(x)dx\text{が収束}⟺-\frac{\log f(x)}{\log x}>1\end{array}$$また、$-\frac{\log f(x)}{\log x}$の上極限$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim sup}$を取ると
$${\int }_1^{\mathrm{\infty }}f(x)dx\text{が収束}⟺\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim sup}-\frac{\log f(x)}{\log x}>1$$が成立する。
$${\int }_0^{a}f(x)dx\text{が収束}⟺\underset{x\to 0}{lim sup}-\frac{\log f(x)+2\log x-\log a}{\log a-\log x}>1$$まず定理1.2から
$${\int }_1^{\mathrm{\infty }}g(t)dt\text{が収束}⟺\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim sup}-\frac{\log g(t)}{\log t}>1$$が成立する。ここで、$t=\frac{a}{x}$と置換すると $$\begin{array}{r}{\int }_1^{\mathrm{\infty }}g(t)dt={\int }_0^{a}g(\frac{a}{x})\frac{adx}{x^2}\text{が収束}⟺\underset{x\to 0}{lim sup}-\frac{\log g(\frac{a}{x})}{\log \frac{a}{x}}>1\end{array}$$のようになりまた$g$が${\displaystyle g(\frac{a}{x})=f(x)\frac{x^2}{a}}$の形で表せるとすると、$$\begin{array}{rcl}{\int }_0^{a}f(x)dx\text{が収束}& ⟺& \underset{x\to 0}{lim sup}-\frac{\log f(x)+2\log x-\log a}{\log a-\log x}>1\end{array}$$の様になって今回の題意を示せた。

無限級数の積分判定法

$\{a_n\}$を$a_n\ge 0(n\ge 1)$とする。もし、$f(n)=a_n$となる単調減少な関数$f:[1,\mathrm{\infty })\to [0,\mathrm{\infty })$が存在すれば、${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$の収束・発散は広義積分${\displaystyle {\int }_1^{\mathrm{\infty }}f(x)dx}$の収束・発散と一致する。

この判定法と積分収束定理から次のことが言える。 $$\begin{array}{rcl}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\text{が収束}& ⟺& {\int }_1^{\mathrm{\infty }}f(x)dx\text{が収束}\\ & ⟺& -\frac{\log f(x)}{\log x}>1\end{array}$$

フリントヒルズ級数の収束発散について

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^3{\sin }^2(n)}}$が収束することを上の定理を用いて証明できる。
$$\begin{array}{r}\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim sup}-\frac{\log \frac{1}{x^3{\sin }^{2}x}}{\log x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim sup}\frac{\log x^3{\sin }^{2}x}{\log x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim sup}\frac{3\log x+2\log \sin x}{\log x}\\ =\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim sup}3+\frac{\log (\sin x)}{\log x}=3+\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim sup}\frac{\log (\sin x)}{\log x}>1⟺\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim sup}\frac{\log (\sin x)}{\log x}>-2⟺\mathrm{\infty }>-2\end{array}$$以上より、フリントヒルズ級数(Flint Hills series)は収束する。