Weierstrass 楕円関数

Weierstrass elliptic function　 $℘$

$Λ = {m ω_{0} + n ω_{1} : m, n \in Z}$
$Λ^{'} = Λ - {0}$
$℘ (u) = \frac{1}{u^{2}} + \sum_{w \in Λ^{'}} {\frac{1}{(u - w)^{2}} - \frac{1}{w^{2}}}$

$℘^{'} (u)^{2} = 4 ℘ (u)^{3} - g_{2} ℘ (u) - g_{3}$

$ω_{2} := - ω_{0} - ω_{1}$
$e_{k} := ℘ (\frac{ω_{k}}{2}) (k = 0, 1, 2)$

$e_{0}, e_{1}, e_{2}$ は $4 z^{3} - g_{2} z - g_{3} = 0$ の解となる.

Weierstrass function $ζ$

$ζ (u) = \frac{1}{u} + \sum_{w \in Λ^{'}} {\frac{1}{u - w} + \frac{1}{w} + \frac{u}{w^{2}}}$

$η_{k} := 2 ζ (\frac{ω_{k}}{2})$

$ω_{0} + ω_{1} + ω_{2} = 0$
$e_{0} + e_{1} + e_{2} = 0$
$η_{0} + η_{1} + η_{2} = 0$

Legendre

$η_{0} ω_{1} - η_{1} ω_{0} = 2 π i$
$η_{1} ω_{2} - η_{2} ω_{1} = 2 π i$
$η_{2} ω_{0} - η_{0} ω_{2} = 2 π i$

Weierstrass function $σ$

$σ (u) = u \prod_{w \in Λ^{'}} (1 - \frac{u}{w}) \exp [\frac{u}{w} + \frac{u^{2}}{2 w^{2}}]$

$σ (u + ω_{k}) = - \exp [η_{k} (u + \frac{ω_{k}}{2})] σ (u)$

$σ (u + ω_{0}) = - \exp [η_{0} (u + \frac{ω_{0}}{2})] σ (u)$
について
$u = ω_{0} v$ とおく.
$f (v) = σ (ω_{0} v)$ とおく.
$g (v) = \log f (v)$ とおく.
このとき
$g (v + 1) - g (v) = η_{0} ω_{0} (v + \frac{1}{2}) + π i$
整数 $a, b$ について $v = a$ から $v = b - 1$ まで和をとると
$g (b) - g (a) = η_{0} ω_{0} \sum_{v = a}^{b - 1} (v + \frac{1}{2}) + π i (b - a)$
$= η_{0} ω_{0} \frac{b^{2} - a^{2}}{2} + π i (b - a)$
$f$ にもどすと
$\frac{f (b)}{f (a)} = \pm \exp [η_{0} ω_{0} \frac{b^{2} - a^{2}}{2}]$
ここで符号は $b - a$ の偶奇に依存する.
$φ (v) = f (v) \exp [- η_{0} ω_{0} \frac{v^{2}}{2}]$
とおくと
$\frac{φ (v + 1)}{φ (v)} = - 1$
を満たす.

$φ (v + τ) = - \exp [- 2 π i (v + \frac{τ}{2})] φ (v)$
$φ (v + \frac{τ}{2}) = - \exp [- 2 π i v] φ (v - \frac{τ}{2})$

$℘ (u) - ℘ (\frac{ω_{k}}{2}) = - \frac{σ (u + \frac{ω_{k}}{2}) σ (u - \frac{ω_{k}}{2})}{σ (\frac{ω_{k}}{2})^{2} σ (u)^{2}}$

$σ_{k} (u) := - \exp [η_{k} \frac{u}{2}] \frac{σ (u - \frac{ω_{k}}{2})}{σ (\frac{ω_{k}}{2})}$

$℘ (u) - e_{k} = \frac{σ_{k} (u)^{2}}{σ (u)^{2}}$

$\sqrt{℘ (u) - e_{k}} := \frac{σ_{k} (u)}{σ (u)}$

$℘^{'} (u) = - 2 \frac{σ_{0} (u) σ_{1} (u) σ_{2} (u)}{σ (u)^{3}}$

$\frac{d w}{d z} = \frac{1}{\sqrt{(1 - z^{2}) (1 - λ z^{2})}}$
ここで
$w = u \sqrt{e_{l} - e_{k}} (l \neq k)$
$z = \frac{σ (u)}{σ_{k} (u)} \sqrt{e_{l} - e_{k}} (l \neq k)$
$λ = \frac{e_{j} - e_{k}}{e_{l} - e_{k}}$
$l, j, k$ は全て異なる.

$K = \int_{0}^{1} \frac{d z}{\sqrt{(1 - z^{2}) (1 - k^{2} z^{2})}}$
$K^{'} = \int_{0}^{1} \frac{d z}{\sqrt{(1 - z^{2}) (1 - k^{' 2} z^{2})}}$
$k^{2} = λ$
$k^{2} + k^{' 2} = 1$

$σ_{k} (u + ω_{l}) = - \exp [η_{k} \frac{u + ω_{l}}{2}] \frac{σ (u + ω_{l} - \frac{ω_{k}}{2})}{σ (\frac{ω_{k}}{2})} =$
$- \exp [η_{k} \frac{u + ω_{l}}{2}] \frac{- \exp [η_{l} (u - \frac{ω_{k}}{2} + \frac{ω_{l}}{2})] σ (u - \frac{ω_{k}}{2})}{σ (\frac{ω_{k}}{2})} =$
$- \exp [η_{k} \frac{ω_{l}}{2} + η_{l} (u - \frac{ω_{k}}{2} + \frac{ω_{l}}{2})] σ_{k} (u) =$
$- \exp [\frac{η_{k} ω_{l} - η_{l} ω_{k}}{2}] \exp [η_{l} (u + \frac{ω_{l}}{2})] σ_{k} (u) = \pm \exp [η_{l} (u + \frac{ω_{l}}{2})] σ_{k} (u)$

Jacobiの楕円関数の基本周期は $4 K, 2 i K^{'}$ である.
Weierstrassの楕円関数の基本周期は $ω_{0}, ω_{1}$ である.
$\sqrt{℘ (u) - e_{k}} = \frac{σ_{k} (u)}{σ (u)}$ の基本周期は $2 ω_{0}, ω_{1}$ である.
Jacobiの楕円関数の基本周期の比は $\frac{ω_{1}}{2 ω_{0}}$ に等しい.

$τ = \frac{ω_{1}}{ω_{0}} = 2 \frac{ω_{1}}{2 ω_{0}} = 2 \frac{2 i K^{'}}{4 K} = i \frac{K^{'}}{K}$

投稿日：2022年12月28日

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