級数の問題解説02
dtさん（Twitter：@dt_want_to_dt）が2020/11/2に公開した級数の問題です． https://twitter.com/dt_want_to_dt/status/1323254383170080768
［解説］
第$0$項の値は$0$なので，$k=0$から総和を加えても問題ない．
$$
\begin{eqnarray}
\sum_{k=0}^\infty \frac{(3^k-1)\zeta(k+1)}{4^k}&=&\sum_{k=0}^\infty \frac{3^k-1}{4^k} \frac{1}{\Gamma(k+1)}\int_0^\infty \frac{t^k}{e^t-1}dt \\
&=&\int_0^\infty \frac{1}{e^t-1}\sum_{k=0}^\infty \frac{3^k-1}{4^k}\frac{t^k}{k!}dt \\
&=&\int_0^\infty \frac{1}{e^t-1}\left(
\sum_{k=0}^\infty \left(\frac{3t}{4}\right)^k\frac{1}{k!}
-\sum_{k=0}^\infty \left(\frac{t}{4}\right)^k\frac{1}{k!}
\right)dt \\
&=&\int_0^\infty \frac{e^\frac{3t}{4}-e^\frac{t}{4}}{e^t-1}dt \\
&=&\int_0^\infty \frac{e^\frac{t}{4}}{e^\frac{t}{2}+1}dt \\
&=&4\int_1^\infty \frac{1}{x^2+1}dx \qquad〈x=e^\frac{t}{4}〉 \\
&=&4\left[\arctan x\right]_1^\infty \\
&=&\pi
\end{eqnarray}
$$
このように求めることができます．前回の問題では$\Sigma$の形に双曲線関数の級数展開の形を見出すことでうまく積分に帰着させられましたが，今回は指数関数の級数展開の形が出てきましたね．このように，初等関数の級数展開（マクローリン展開）は積分や級数の問題を解く上で欠かせない知識なので，ある程度頭に入れておきましょう．