相似変換

正方行列$A, B$に対して、二項関係を次のように定める。
$B=P^{-1}AP$を満たすような可逆行列$P$が存在するとき、$A$$B$と表す。
また、$A$~$B$が成り立つような正方行列$A, B$は相似であるという。

(1)$A, B$が相似ならば、$\det{A}=\det{B}$が成り立つことを示せ。
(2)$A, B$が相似ならば、$\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}B$が成り立つことを示せ。
(3)$A, B$が相似ならば、それらの固有値および固有多項式が一致することを示せ。
(4)$A, B$が相似ならば、$\mathrm{tr}A=\mathrm{tr}B$が成り立つことを示せ。
(5)$n$次正方行列全体の集合を$M_n$と表すことにする。二項関係~は$M_n$上の同値関係であることを示せ。
【おまけ】
(6)対角化の計算問題を探し、その問題を(1)から(4)のそれぞれにあてはめ、考察せよ。なお、この問いに対し解答する必要はない。