Keisler-Shelahの定理の応用――あるいは、牛刀割鶏

(2)ならば(1)は明らかである．
(1)ならば(2)を示そう．
$K^m$は(同型を除いて)一意的な$M_m(K)$単純加群であった．また，同型$\operatorname{End}_{M_m(K)} K^m \simeq K$が存在した．

よって$M^m(K)$と$M_n(L)$からそれぞれ一意的な単純加群を取り出し，それに$\operatorname{End}_{M_m(K)} (\cdot)$を取る操作を行ったものを考えると，$K \simeq L$を得る．

あとは次元の一意性を使えば，$m = n$も得ることができる．

$M_n(R)^\mathcal U$の元$\langle [a_{ij}]_\mathcal U : 1 \le i, j \le n \rangle$を$M_n(R^\mathcal U)$の元$[\langle a_{ij} : 1 \le i, j \le n \rangle]_\mathcal U$に送る写像を考えるとwell-definedかつ同型である．

同値変形を行っていく．

$$ M_m(K) \equiv M_n(L)\\ \iff (\exists \mathcal U)(M_m(K)^\mathcal U \simeq M_n(L)^\mathcal U) \text{ (by Keisler-Shelah)}\\ \iff (\exists \mathcal U)(M_m(K^\mathcal U) \simeq M_n(L^\mathcal U)) \text{ (by 補題5)} \\ \iff (\exists \mathcal U)(m = n \land K^\mathcal U \simeq L^\mathcal U) \text{ (by 補題4)} \\ \iff m = n \land K \equiv L \text{ (by Keisler-Shelah)} $$
これで示せた．

$T_1$のモデル$M_1$と$T_2$のモデル$M_2$をとる．
$M_1, M_2$それぞれの$L$への制限を$N_1, N_2$と書く．
すると，$N_1$と$N_2$はともに$T$のモデルである．
ところが，$T$は完全だったので初等同値$N_1 \equiv N_2$を得る．
よってKeisler-Shelahの定理より，ある超フィルター$\mathcal U$を取れて，，$N_1^\mathcal U \simeq N_2^\mathcal U$を得る．
$f \colon N_1^\mathcal U \to N_2^\mathcal U$を同型写像とする，．

集合として$M_i^\mathcal U = N_i^\mathcal U$ (for $i = 1, 2$)なことに注意しておく．

$N_2^\mathcal U$は$\mathcal L$構造であるが，これを$\mathcal L_1 \setminus \mathcal L$の記号を適切に解釈したものを$P$とすれば，$f \colon M_1^\mathcal U \to P$は$\mathcal L_1$構造として同型となる ($M_1^\mathcal U$に入っている解釈を「押し出せ」ばよい)．
このとき$P \models T_1$である．

$\mathcal L_2 \setminus L$の記号を適切に解釈することにより，$P$をさらに延長して$\mathcal L$構造$Q$にして，$Q$は$T_2$も満たすようになる ($M_2^\mathcal U$による記号の解釈を持ってくればよい)．

こうして$T_1 \cup T_2$のモデルである$\mathcal L$構造$Q$が得られた．