Keisler-Shelahの定理の応用――あるいは、牛刀割鶏

モデル理論,集合論,超冪

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こちらは， Mathematical Logic Advent Calendar 2022 の12日目の記事である．

本記事は，参考文献1の第16章を参考にしている．

次の定理はKeisler-Shelahの定理と呼ばれる．

Keisler-Shelahの定理

$L$ を一階の言語とする．
$M$ と $N$ を $L$ 構造とする．このとき次は同値である：

$M \equiv N$ (すなわち， $M$ と $N$ は初等同値である)，
ある無限集合 $I$ とある $I$ 上の非単項超フィルター $U$ について超冪 $M^{U}$ と $N^{U}$ は同型．

この記事では，Keisler-Shelahの定理という牛刀を使って，次の2羽の鶏を割く (2つの定理を証明する)．

$K, L$ を体とする． $m, n$ を自然数とする．このとき次は同値．

2つの行列環 $M_{m} (K)$ と $M_{n} (L)$ は初等同値である，
$m = n$ かつ $K \equiv L$ ．

Robinsonのjoint consistency theorem

$L_{1}$ と $L_{2}$ を一階の言語とする．
$T_{1}$ と $T_{2}$ をそれぞれ無矛盾な $L_{1}$ と $L_{2}$ の理論とする．
$L = L_{1} \cap L_{2}$ とおく．
また，完全な $L$ 理論 $T \subseteq T_{1} \cap T_{2}$ があるとする．
このとき， $T_{1} \cup T_{2}$ は無矛盾である．

はじめの節で行列環に関する定理，次の節でRobinsonの定理の証明を行う．

行列環に関する定理の証明

$K, L$ を体とする． $m, n$ を自然数とする．このとき次は同値．

2つの行列環 $M_{m} (K)$ と $M_{n} (L)$ は初等同値である，
$m = n$ かつ $K \equiv L$ ．

はじめに初等同値を同型にしたバージョンが正しいことを補題として示しておく．

$K, L$ を体とする． $m, n$ を自然数とする．このとき次は同値．

2つの行列環 $M_{m} (K)$ と $M_{n} (L)$ は環として同型である，
$m = n$ かつ $K ≃ L$ ．

略証

(2)ならば(1)は明らかである．
(1)ならば(2)を示そう．
$K^{m}$ は(同型を除いて)一意的な $M_{m} (K)$ 単純加群であった．また，同型 ${End}_{M_{m} (K)} K^{m} ≃ K$ が存在した．

よって $M^{m} (K)$ と $M_{n} (L)$ からそれぞれ一意的な単純加群を取り出し，それに ${End}_{M_{m} (K)} (\cdot)$ を取る操作を行ったものを考えると， $K ≃ L$ を得る．

あとは次元の一意性を使えば， $m = n$ も得ることができる．

次は簡単にわかるものである．

$R$ を環， $n$ を自然数， $U$ をある集合 $I$ 上の超フィルターとする．このとき $M_{n} (R)^{U} ≃ M_{n} (R^{U})$ が成り立つ．

略証

$M_{n} (R)^{U}$ の元 $⟨ [a_{i j}]_{U} : 1 \leq i, j \leq n ⟩$ を $M_{n} (R^{U})$ の元 $[⟨ a_{i j} : 1 \leq i, j \leq n ⟩]_{U}$ に送る写像を考えるとwell-definedかつ同型である．

これで最初に紹介した定理を示せる．

主張の再掲：

$K, L$ を体とする． $m, n$ を自然数とする．このとき次は同値．

2つの行列環 $M_{m} (K)$ と $M_{n} (L)$ は初等同値である，
$m = n$ かつ $K \equiv L$ ．

同値変形を行っていく．

$M_{m} (K) \equiv M_{n} (L) ⟺ (\exists U) (M_{m} (K)^{U} ≃ M_{n} (L)^{U}) (by Keisler-Shelah) ⟺ (\exists U) (M_{m} (K^{U}) ≃ M_{n} (L^{U})) (by 補題5) ⟺ (\exists U) (m = n \land K^{U} ≃ L^{U}) (by 補題4) ⟺ m = n \land K \equiv L (by Keisler-Shelah)$
これで示せた．

Robinsonのjoint consistency theoremの証明

$T_{1}$ のモデル $M_{1}$ と $T_{2}$ のモデル $M_{2}$ をとる．
$M_{1}, M_{2}$ それぞれの $L$ への制限を $N_{1}, N_{2}$ と書く．
すると， $N_{1}$ と $N_{2}$ はともに $T$ のモデルである．
ところが， $T$ は完全だったので初等同値 $N_{1} \equiv N_{2}$ を得る．
よってKeisler-Shelahの定理より，ある超フィルター $U$ を取れて，， $N_{1}^{U} ≃ N_{2}^{U}$ を得る．
$f : N_{1}^{U} \to N_{2}^{U}$ を同型写像とする，．

集合として $M_{i}^{U} = N_{i}^{U}$ (for $i = 1, 2$ )なことに注意しておく．

$N_{2}^{U}$ は $L$ 構造であるが，これを $L_{1} ∖ L$ の記号を適切に解釈したものを $P$ とすれば， $f : M_{1}^{U} \to P$ は $L_{1}$ 構造として同型となる ( $M_{1}^{U}$ に入っている解釈を「押し出せ」ばよい)．
このとき $P ⊨ T_{1}$ である．