2022/12/31に出題した自作問題とその解答

　あけましておめでとう。2023年の時空から挨拶を、 匿(Tock) である。何がおめでたいのかは各々の解釈に委ね、早速数学の話題に移りたい。良いだろうか。いや良くないか。良くないとは薄々察している。なので強引に行かせてもらう。善悪など高貴なる数学の前には些事に過ぎない。多分。

　新年最初の記事ということで、昨年最後に出題した 自作問題 を紹介しよう。

問題

匿(Tock)

　( @con_malinconia )
　
2022年最後の出題です。
三重以上の根号も「二重根号を含む」ものと考えます。
　
#二重根号
https://twitter.com/con_malinconia/status/1609145076785229824/photo/1

解答

　条件より$0^{\circ }<\theta <{90}^{\circ }$の範囲で考えてよい。また、$$0<\sin \theta \le 1⟺0<n\le {\left(\frac{5+3\sqrt{3}+2\sqrt{5}}{2}\right)}^4<2894$$から、$n$としてありうる値の範囲は$1\le n\le 2893$である。

$$\begin{array}{rl}\cos \theta & =\sqrt{1-{\sin }^2\theta }\\ & =\sqrt{1-{\left({\displaystyle \frac{2\sqrt[4]{n}}{5+3\sqrt{3}+2\sqrt{5}}}\right)}^2}\\ & ={\displaystyle \frac{\sqrt{{(5+3\sqrt{3}+2\sqrt{5})}^2-4\sqrt{n}}}{5+3\sqrt{3}+2\sqrt{5}}}\end{array}$$であるから、
$$\sqrt{{(5+3\sqrt{3}+2\sqrt{5})}^2-4\sqrt{n}}\dots (\mathrm{i})$$の二重根号が外れるような$n$を探したい。
　$(\mathrm{i})$を変形していくと、
$$\begin{array}{rl}& \sqrt{{(5+3\sqrt{3}+2\sqrt{5})}^2-4\sqrt{n}}\\ & =\sqrt{72+30\sqrt{3}+20\sqrt{5}+12\sqrt{15}-4\sqrt{n}}\\ & =\sqrt{2(36+6\sqrt{15}-2\sqrt{n})+2(15\sqrt{3}+10\sqrt{5})}\\ & =\sqrt{2(36+6\sqrt{15}-2\sqrt{n})+2\sqrt{1175+300\sqrt{15}}}\end{array}$$になる。ゆえに、$x_1=36+6\sqrt{15}-2\sqrt{n},$ $y_1=1175+300\sqrt{15}$とおけば、
$$\begin{array}{rl}& \sqrt{{(5+3\sqrt{3}+2\sqrt{5})}^2-4\sqrt{n}}\\ & =\sqrt{2x_1+2\sqrt{y_1}}\\ & =\sqrt{x_1+\sqrt{{\left(x_1\right)}^2-y_1}}+\sqrt{x_1-\sqrt{{\left(x_1\right)}^2-y_1}}\end{array}$$が従う。$(\mathrm{i})$の二重根号を外したいので、
$$\begin{array}{rl}{\left(x_1\right)}^2-y_1& ={(36+6\sqrt{15}-2\sqrt{n})}^2-(1175+300\sqrt{15})\\ & =(4n+661)+132\sqrt{15}-144\sqrt{n}-24\sqrt{15n}\dots (\mathrm{i}\mathrm{i})\end{array}$$が何らかの式の平方になっている場合、綺麗に外せそうである。

　以上の考察を受け、$a,b,c,d$を整数として
$$(a+b\sqrt{15}+c\sqrt{n}+d\sqrt{15n}{)}^2$$という式を立て、これが$(\mathrm{i}\mathrm{i})$に等しくなるような$(a,b,c,d,n)$の組を探す。
$$\begin{array}{rl}& (a+b\sqrt{15}+c\sqrt{n}+d\sqrt{15n}{)}^2\\ & =(a^2+15b^2+c^{2}n+15d^{2}n)+2(ab+cdn)\sqrt{15}\\ & +2(ac+15bd)\sqrt{n}+2(ad+bc)\sqrt{15n}\end{array}$$より、連立方程式
$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{lll}{a}^2+15b^2+c^{2}n+15d^{2}n& =& 4n+661\\ ab+cdn& =& 66\\ ac+15bd& =& -72\\ ad+bc& =& -12\end{array}\end{array}$$が整数解（$n>0$）をもつ場合を見つけよう。
　……とはいえ、手計算で見つけるのは大変そうなので（実際に大変である）、 WolframAlpha 先生の力を借りることにする。

この入力形式をつい最近知りました

　先生曰く、$n=11$のときに何かが起こっているようだ。これを確かめるべく、先程の連立方程式に$n=11$を代入し、再度先生にクエリを投げてみる。

あまりにも有能な先生様

　整数解が得られてしまった。$(a,b,c,d,n)=(-12,0,6,1,11)$のとき、上の連立方程式は満足される。すなわちこのとき、$(\mathrm{i}\mathrm{i})$は
$$\begin{array}{rl}{\left(x_1\right)}^2-y_1& =705-144\sqrt{11}+132\sqrt{15}-24\sqrt{165}\\ & ={(-12+6\sqrt{11}+\sqrt{165})}^2\end{array}$$と変形され、$x_1=36-2\sqrt{11}+6\sqrt{15}$とあわせて
$$\begin{array}{rl}& \sqrt{{(5+3\sqrt{3}+2\sqrt{5})}^2-4\sqrt{n}}\\ & =\sqrt{x_1+\sqrt{{\left(x_1\right)}^2-y_1}}+\sqrt{x_1-\sqrt{{\left(x_1\right)}^2-y_1}}\\ & =\sqrt{x_1+(-12+6\sqrt{11}+\sqrt{165})}+\sqrt{x_1-(-12+6\sqrt{11}+\sqrt{165})}\\ & =\sqrt{24+4\sqrt{11}+6\sqrt{15}+\sqrt{165}}+\sqrt{48-8\sqrt{11}+6\sqrt{15}-\sqrt{165}}\dots (\mathrm{i}\mathrm{i}\mathrm{i})\end{array}$$を得る。

　$(\mathrm{i}\mathrm{i}\mathrm{i})$まで来ればあと一息である。
$$\begin{array}{rl}\sqrt{24+4\sqrt{11}+6\sqrt{15}+\sqrt{165}}& =\sqrt{(6+\sqrt{11})(4+\sqrt{15})}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{12+2\sqrt{11}}\sqrt{8+2\sqrt{15}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}(1+\sqrt{11})(\sqrt{3}+\sqrt{5})\end{array}$$および
$$\begin{array}{rl}\sqrt{48-8\sqrt{11}+6\sqrt{15}-\sqrt{165}}& =\sqrt{(6-\sqrt{11})(8+\sqrt{15})}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{12-2\sqrt{11}}\sqrt{16+2\sqrt{15}}\\ & =-{\displaystyle \frac{1}{2}}(1-\sqrt{11})(1+\sqrt{15})\end{array}$$が簡単に分かるので、$(\mathrm{i}\mathrm{i}\mathrm{i})$に代入すれば
$$\begin{array}{rl}& \sqrt{{(5+3\sqrt{3}+2\sqrt{5})}^2-4\sqrt{n}}\\ & =\sqrt{24+4\sqrt{11}+6\sqrt{15}+\sqrt{165}}+\sqrt{48-8\sqrt{11}+6\sqrt{15}-\sqrt{165}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}((1+\sqrt{11})(\sqrt{3}+\sqrt{5})-(1-\sqrt{11})(1+\sqrt{15}))\dots (\mathrm{i}\mathrm{v})\end{array}$$となって、$(\mathrm{i})$の二重根号が完全に外れた。

　$n=11$は最初に求めた$n$の範囲に含まれているため、本問の答えとして$11$が挙げられる。

あとがき

　ただただWolframalpha先生の凄さを噛みしめる1問であった。
　なお、解答で求めたように$n=11$かつ$0^{\circ }<\theta <{90}^{\circ }$としたとき、$\cos \theta$の値は
$$\cos \theta ={\displaystyle \frac{(1+\sqrt{11})(\sqrt{3}+\sqrt{5})-(1-\sqrt{11})(1+\sqrt{15})}{2(5+3\sqrt{3}+2\sqrt{5})}}$$となる($\because (\mathrm{i}\mathrm{v})$)。これを整理すると
$$\cos \theta =1-{\displaystyle \frac{(1+\sqrt{3})(1+\sqrt{5})-2(1+\sqrt{11})}{-7+4\sqrt{3}+3\sqrt{5}}}$$のようにも書けて、個人的にはこちらのほうが綺麗に見えるのだがいかがだろうか。

1箇所だけ四乗根が現れている

　それから$n=11$以外の自然数解を発見された方は是非ご一報を。無いとは思うけれども。