Γ, B関数のお話

はじめに

入試問題の背景にあることも時々ある, $\Gamma$(ガンマ)関数, $B$(ベータ)関数について, 簡単な説明をしていきます.
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目次

• $\Gamma$関数の定義と性質
• $B$関数の定義と性質
• $\Gamma$数と$B$関数の関係のお話
• その応用
• おわりに
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$\Gamma$関数の定義と性質

正の実数$x$に対し, $\Gamma$関数$\mathrm{\Gamma }(x)$を以下で定義します.

ただし, ${\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(x)dx=\underset{R\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_0^{R}f(x)dx}$ という意味です.
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このとき, 部分積分より,
$$\begin{array}{rcl}\mathrm{\Gamma }(x+1)& =& {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^x{e}^{-t}dt\\ & =& [-t^x{e}^{-t}{]}_0^{\mathrm{\infty }}-{\int }_0^{\mathrm{\infty }}-x{t}^{x-1}{e}^{-t}dt\\ & =& x{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{x-1}{e}^{-t}dt\\ & =& x\mathrm{\Gamma }(x)\end{array}$$

従って,

が成り立ちます.
$$

さらに, $${\displaystyle \mathrm{\Gamma }(1)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-t}dt=\underset{R\to \mathrm{\infty }}{lim}[-e^{-t}{]}_0^R=1}$$なので, 自然数$n$に対し,
$$\begin{array}{rcl}\mathrm{\Gamma }(n+1)& =& n\mathrm{\Gamma }(n)\\ & =& n(n-1)\mathrm{\Gamma }(n-1)\\ & =& \cdots \\ & =& n(n-1)\cdots \cdot 2\cdot 1\cdot \mathrm{\Gamma }(1)\\ & =& n!\end{array}$$

従って,

が成り立ちます.
$$

以上より, $\Gamma$関数は, 階乗の概念の一般化と言うことができます.

階乗の一般化はいくつもあり得るのでは, と思う方もいるかもしれませんが, 実は, 自然数のときに階乗と一致してかつ良い性質(複素微分可能性と対数凸性などです)を持つような一般化は, この$\Gamma$関数しかないことが知られています.
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$B$関数の定義と性質

正の実数$x,y$に対し, $B$関数$B(x,y)$を以下で定義します.

まず, 実数$\alpha ,\beta (\alpha <\beta )$に対して$${\displaystyle s=\alpha +t(\beta -\alpha )=(1-t)\alpha +t\beta }$$と置換すると, ${\displaystyle t=\frac{s-\alpha }{\beta -\alpha },1-t=\frac{\beta -s}{\beta -\alpha }}$ なので,

$$\begin{array}{rcl}{\int }_0^1{t}^{x-1}(1-t{)}^{y-1}dt& =& {\int }_{\alpha }^{\beta }(\frac{s-\alpha }{\beta -\alpha }{)}^{x-1}(\frac{\beta -s}{\beta -\alpha }{)}^{y-1}\frac{ds}{\beta -\alpha }\\ & =& \frac{1}{(\beta -\alpha {)}^{x+y-1}}{\int }_{\alpha }^{\beta }(s-\alpha {)}^{x-1}(\beta -s{)}^{y-1}ds\end{array}$$

従って,

となります.

これは俗に言う1/6公式などの一般化になっていることがわかると思います. ($B$関数の値の求め方は次節で紹介します.)
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次に, 定義式において $t={\sin }^2\theta$ と置換すると,
$$\begin{array}{rcl}{\int }_0^1{t}^{x-1}(1-t{)}^{y-1}dt& =& {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}({\sin }^2\theta {)}^{x-1}({\cos }^2\theta {)}^{y-1}\cdot 2\sin \theta \cos \theta d\theta \\ & =& 2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{2x-1}\theta {\cos }^{2y-1}\theta d\theta \end{array}$$

従って,

となります.
$$

Γ関数とB関数の関係のお話

この節では, 綺麗な関係式

の証明をしていきます.

これには重積分が必要となるので, 多少, 厳密さを欠いた証明となってしまいますが許してください.

定義式より,
$$\begin{array}{rcl}\mathrm{\Gamma }(x+y)B(x,y)& =& {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{x+y-1}{e}^{-t}dt\cdot 2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{2x-1}\theta {\cos }^{2y-1}\theta d\theta \\ & =& 2{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{r}^{2(x+y)-1}{e}^{-r^2}dr\cdot 2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{2x-1}\theta {\cos }^{2y-1}\theta d\theta (t=r^2)\\ & =& 4{\int }_{r=0}^{r=\mathrm{\infty }}{\int }_{\theta =0}^{\theta =\frac{\pi }{2}}(r\cos \theta {)}^{2x-1}(r\sin \theta {)}^{2y-1}{e}^{-r^2}\cdot rd\theta dr\end{array}$$

ここで, $u=r\cos \theta ,v=r\sin \theta$ とおくと, $r,\theta$の動きに合わせて, $(u,v)$は, $uv$平面の第1象限, 即ち $u>0,v>0$ を動きます.

いま, この重積分の意味を考えてみると, $r\theta$平面上の微小な長方形$drd\theta$ ($2$変数なので微小な区間ではなく微小な長方形となります. ) に対して, 関数の値と微小面積の積を足し合わせたものと捉えられます.

この長方形が $u=r\cos \theta ,v=r\sin \theta$ なる変数変換によって$uv$平面でどのような図形になるかを考えると, これは各辺が$dr,rd\theta$の長方形となります. (具体的には, $r,\theta$が$dr,d\theta$増えたときの点$(u,v)$の移動を考えると, ベクトル${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{\cos \theta }{\sin \theta })dr,(\genfrac{}{}{0ex}{}{-r\sin \theta }{r\cos \theta })d\theta }$ によって囲まれた部分を動くとわかります. )

従って, 微小面積は$uv$平面では$rdrd\theta$となることがわかりました. つまり $rdrd\theta =dudv$ となります.

これを用いて変数変換を行うと, $u,v$の積分区間はどちらも$0\to \mathrm{\infty }$であることにも注意して,

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{\Gamma }(x+y)B(x,y)& =& 4{\int }_{r=0}^{r=\mathrm{\infty }}{\int }_{\theta =0}^{\theta =\frac{\pi }{2}}(r\cos \theta {)}^{2x-1}(r\sin \theta {)}^{2y-1}{e}^{-r^2}\cdot rd\theta dr\\ & =& 4{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{u}^{2x-1}\cdot v^{2y-1}\cdot e^{-(u^2+v^2)}dudv\end{array}$$

となります. 後はこれを変形していけば,
$$\begin{array}{rcl}\mathrm{\Gamma }(x+y)B(x,y)& =& 4{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{u}^{2x-1}\cdot v^{2y-1}\cdot e^{-(u^2+v^2)}dudv\\ & =& 2{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{u}^{2x-1}{e}^{-u^2}du\cdot 2{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{v}^{2y-1}{e}^{-v^2}dv\\ & =& {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{s}^{x-1}{e}^{-s}ds\cdot {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{y-1}{e}^{-t}dt(u^2=s,v^2=t)\\ & =& \mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)\end{array}$$

以上より, 示すことができました. お疲れ様でした.
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その応用

では, $\Gamma$関数と$B$関数の関係式

を用いて, いろいろな計算をしていきましょう.
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まずは, 1/6公式の一般化として紹介した式

の右辺を具体的に計算してみます. 簡単のため自然数$m,n$を用いて$x=m+1,y=n+1$ とおくと,
$$\begin{array}{rcl}{\int }_{\alpha }^{\beta }(s-\alpha {)}^m(\beta -s{)}^{n}ds& =& (\beta -\alpha {)}^{m+n+1}B(m+1,n+1)\\ & =& (\beta -\alpha {)}^{m+n+1}\frac{\mathrm{\Gamma }(m+1)\mathrm{\Gamma }(n+1)}{\mathrm{\Gamma }(m+n+2)}\\ & =& \frac{m!n!}{(m+n+1)!}(\beta -\alpha {)}^{m+n+1}\end{array}$$

と計算できます. 見やすいように積分変数を$x$に変えて,

を得ます. 実際に$m=n=1$とすると1/6公式になっていることが分かると思います.
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次に, 例の関係式で ${\displaystyle x=y=\frac{1}{2}}$ としてみます. すると,
$$\begin{array}{rcl}B(\frac{1}{2},\frac{1}{2})& =& \frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2})\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2})}{\mathrm{\Gamma }(1)}\\ & =& \mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}{)}^2\end{array}$$

一方, $B$関数の, 三角関数を用いた積分表示から

$$\begin{array}{rcl}B(\frac{1}{2},\frac{1}{2})& =& 2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}d\theta \\ & =& \pi \end{array}$$

であるので, $\mathrm{\Gamma }(x)>0$ と併せて以下を得ます.

これは予想外の値になっていて面白いと思います.
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最後に, $B$関数の, 三角関数の積分による表示

において ${\displaystyle x=n+\frac{1}{2},y=\frac{1}{2}}$ としてみます. すると,

$$\begin{array}{rcl}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{2n}\theta d\theta & =& \frac{1}{2}B(n+\frac{1}{2},\frac{1}{2})\\ & =& \frac{1}{2}\cdot \frac{\mathrm{\Gamma }(n+\frac{1}{2})\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2})}{\mathrm{\Gamma }(n+1)}\\ & =& \frac{n-\frac{1}{2}}{n}\cdot \frac{\mathrm{\Gamma }(n-\frac{1}{2})}{\mathrm{\Gamma }(n)}\cdot \frac{\sqrt{\pi }}{2}\\ & =& \cdots \\ & =& \frac{n-\frac{1}{2}}{n}\cdot \frac{n-\frac{3}{2}}{n-1}\cdot \cdots \cdot \frac{\frac{1}{2}}{1}\cdot \frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2})}{\mathrm{\Gamma }(1)}\cdot \frac{\sqrt{\pi }}{2}\\ & =& \frac{2n-1}{2n}\cdot \frac{2n-3}{2n-2}\cdot \cdots \cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}\end{array}$$

のようになります. 奇数乗の場合も同様に求められます.
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おわりに

ここまで読んでくださった方, 本当にありがとうございます.

簡単な紹介と言ったのに, いろいろ書いて長くなってしまってすみません.

この先の発展としては, $\Gamma$関数の無限積表示, 対数微分, 相反公式, 等があると思います. 興味がある方はお勉強してみると, とても面白いですよ.

では改めて, ありがとうございました.