二項定理の簡単な解説と使い方

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二項定理とは？

二項定理は、例えば $(a + b)^{6}$ , $(a + b)^{10}$ などの、二項の累乗の式 $(a + b)^{n}$ を展開するときに便利な定理です。

まずは定理の内容を確認してみましょう。

二項定理

自然数 $n$ に対して、 $(a + b)^{n}$ を展開したときの $a^{n - r} b^{r}$ の係数は、 $_{n} C_{r}$ に等しい。すなわち、次の展開式が成り立つ。
$(a + b)^{n} =_{n} C_{0} a^{n} +_{n} C_{1} a^{n - 1} b + \dots +_{n} C_{r} a^{n - r} b^{r} + \dots +_{n} C_{n} b^{n}$

次に具体的な例を挙げて解説していきます。

二項定理の解説

$(a + b)^{2}$ を例に考えてみます。

分配法則を用いて展開すると、

$(a + b)^{2} = (a + b) (a + b) = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

となり、例えば $a b$ の項に注目すると、 $a b$ となる項は、 $a b$ 、 $b a$ の2個です。この個数は2個の異なるものから1個選ぶ組合せの総数 $_{2} C_{1}$ と一致するため、展開式の $a b$ の項の係数は $_{2} C_{1} = 2$ となります。

この考え方を、 $(a + b)^{n}$ （ $n$ は自然数）の場合に適用すると、二項定理が成り立ちます。

$(a + b)^{n}$ を展開したときの、 $_{n} C_{r} a^{n - r} b^{r} (0 \leq r \leq n)$ を一般項といいます。

二項定理の使い方

例として、 $(a + b)^{4}$ を展開してみます。

$(a + b)^{4} =_{4} C_{0} a^{4} +_{4} C_{1} a^{3} b +_{4} C_{2} a^{2} b^{2} +_{4} C_{3} a b^{3} +_{4} C_{4} b^{4} = a^{4} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + b^{4}$