今日の積分(2020年11月9日)解答

今日の積分(2020年11月9日)分の解答です。

$(1){\displaystyle {\int }_0^1(x\log x{)}^{n}dx,n=0,1,2,・・・}$を求めよ.

$(2){\displaystyle {\int }_0^1{x}^{x}dx}$の値を,小数点以下第2位まで求めよ.

(平成11年度東京大学大学院数理科学研究科 専門科目A第2問)

【略解】

$(1)t=-\log x$と変数変換すると$dt=-\frac{1}{x}dx=-e^{t}dx$だから

${\displaystyle {\int }_0^1(x\log x{)}^{n}dx={\int }_0^{\mathrm{\infty }}(-t{e}^{-t}{)}^n{e}^{-t}dt={\int }_0^{\mathrm{\infty }}(-t{)}^n{e}^{-(n+1)t}dt}$(＊)

さらに${\displaystyle u=(n+1)t}$と変数変換すると(＊)は

${\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{-u}{n+1}\right)}^n{e}^{-u}\frac{du}{n+1}=\frac{{(-1)}^n}{{(n+1)}^{n+1}}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{u}^n{e}^{-u}du=\frac{{(-1)}^{n}n!}{{(n+1)}^{n+1}}}$

となる。

$(2){\displaystyle {\int }_0^1{x}^{x}dx={\int }_0^1{e}^{x\log x}dx={\int }_0^1\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(x\log x)}^n}{n!}dx}$(＊＊)

ここで${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}x\log x=0}$より$x\log x$は$(0,1]$上有界である。

すなわち正定数$M$が存在して$|x\log x|\leqq M$がすべての$x\in (0,1]$に対して成り立つ。

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{M^n}{n!}}$が収束するので、WeierstrassのM判定法により

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(x\log x)}^n}{n!}}$は$(0,1]$上一様収束する。

よって和と積分の交換ができて(＊＊)は

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}{\int }_0^1{(x\log x)}^{n}dx}$となるから(1)より

${\displaystyle {\int }_0^1{x}^{x}dx=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(-1)}^n}{{(n+1)}^{n+1}}}$である。

${\displaystyle 1-\frac{1}{4}+\frac{1}{27}-\frac{1}{256}<\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(-1)}^n}{{(n+1)}^{n+1}}<1-\frac{1}{4}+\frac{1}{27}-\frac{1}{256}+\frac{1}{5^5}}$

であり両辺の値は小数点以下第3位まででともに0.784となることから、求める積分値の小数点以下第2位までの値は0.78である。