今日の積分(2020年11月9日)解答

今日の積分(2020年11月9日)分の解答です。

$(1)\displaystyle\int_{0}^{1}{(x\log x)^n}dx, n=0,1,2,・・・$を求めよ.

$(2)\displaystyle\int_{0}^{1}{x^x}dx$の値を,小数点以下第2位まで求めよ.

(平成11年度東京大学大学院数理科学研究科 専門科目A第2問)

【略解】

$(1)t=-\log x $と変数変換すると$dt=-\frac{1}{x}dx=-{e^t}dx $だから

$\displaystyle\int_{0}^{1}{(x\log x)^n}dx=\int_{0}^{\infty}{(-t{e^{-t}})^n}{e^{-t}}dt=\int_{0}^{\infty}{(-t)^n}{e^{-(n+1)t}}dt$(＊)

さらに$\displaystyle u=(n+1)t $と変数変換すると(＊)は

$\displaystyle\int_{0}^{\infty}{{\left(\frac{-u}{n+1}\right)}^n}{e^{-u}}\frac{du}{n+1}=\frac{{(-1)}^n}{{(n+1)}^{n+1}}\int_{0}^{\infty}{u^n}{e^{-u}}du=\frac{{{(-1)}^n}n!}{{(n+1)}^{n+1}}$

となる。

$ (2)\displaystyle \int_{0}^{1}{x^x}dx=\int_{0}^{1}{e^{x\log x}}dx=\int_{0}^{1}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{{(x\log x)}^n} {n!} dx$(＊＊)

ここで$\displaystyle\lim_{x\to0}x\log x=0 $より$x\log x $は$(0,1] $上有界である。

すなわち正定数$M$が存在して$|x\log x|≦M$がすべての$x∈(0,1]$に対して成り立つ。

$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{M^n}{n!} $が収束するので、WeierstrassのM判定法により

$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{{(x\log x)}^n}{n!} $は$(0,1]$上一様収束する。

よって和と積分の交換ができて(＊＊)は

$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\int_{0}^{1}{{(x\log x)}^n}dx$となるから(1)より

$\displaystyle \int_{0}^{1}{x^x}dx= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{{{(-1)}^n}}{{(n+1)}^{n+1}}$である。

$\displaystyle 1-\frac{1}{4}+\frac{1}{27}-\frac{1}{256}<\sum_{n=0}^{\infty}\frac{{{(-1)}^n}}{{(n+1)}^{n+1}}< 1-\frac{1}{4}+\frac{1}{27}-\frac{1}{256}+\frac{1}{5^5}$

であり両辺の値は小数点以下第3位まででともに0.784となることから、求める積分値の小数点以下第2位までの値は0.78である。