今日の積分(2020年11月9日)分の解答です。
・・・(1)∫01(xlogx)ndx,n=0,1,2,・・・を求めよ.
(2)∫01xxdxの値を,小数点以下第2位まで求めよ.
(平成11年度東京大学大学院数理科学研究科 専門科目A第2問)
【略解】
(1)t=−logxと変数変換するとdt=−1xdx=−etdxだから
∫01(xlogx)ndx=∫0∞(−te−t)ne−tdt=∫0∞(−t)ne−(n+1)tdt(*)
さらにu=(n+1)tと変数変換すると(*)は
∫0∞(−un+1)ne−udun+1=(−1)n(n+1)n+1∫0∞une−udu=(−1)nn!(n+1)n+1
となる。
(2)∫01xxdx=∫01exlogxdx=∫01∑n=0∞(xlogx)nn!dx(**)
ここでlimx→0xlogx=0よりxlogxは(0,1]上有界である。
すなわち正定数Mが存在して|xlogx|≦Mがすべてのx∈(0,1]に対して成り立つ。
∑n=0∞Mnn!が収束するので、WeierstrassのM判定法により
∑n=0∞(xlogx)nn!は(0,1]上一様収束する。
よって和と積分の交換ができて(**)は
∑n=0∞1n!∫01(xlogx)ndxとなるから(1)より
∫01xxdx=∑n=0∞(−1)n(n+1)n+1である。
1−14+127−1256<∑n=0∞(−1)n(n+1)n+1<1−14+127−1256+155
であり両辺の値は小数点以下第3位まででともに0.784となることから、求める積分値の小数点以下第2位までの値は0.78である。
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