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今日の積分(2020年11月9日)解答

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今日の積分(2020年11月9日)分の解答です。

(1)01(xlogx)ndx,n=0,1,2,を求めよ.

(2)01xxdxの値を,小数点以下第2位まで求めよ.

(平成11年度東京大学大学院数理科学研究科 専門科目A第2問)

【略解】

(1)t=logxと変数変換するとdt=1xdx=etdxだから

01(xlogx)ndx=0(tet)netdt=0(t)ne(n+1)tdt(*)

さらにu=(n+1)tと変数変換すると(*)は

0(un+1)neudun+1=(1)n(n+1)n+10uneudu=(1)nn!(n+1)n+1

となる。

(2)01xxdx=01exlogxdx=01n=0(xlogx)nn!dx(**)

ここでlimx0xlogx=0よりxlogx(0,1]上有界である。

すなわち正定数Mが存在して|xlogx|Mがすべてのx(0,1]に対して成り立つ。

n=0Mnn!が収束するので、WeierstrassのM判定法により

n=0(xlogx)nn!(0,1]上一様収束する。

よって和と積分の交換ができて(**)は

n=01n!01(xlogx)ndxとなるから(1)より

01xxdx=n=0(1)n(n+1)n+1である。

114+1271256<n=0(1)n(n+1)n+1<114+1271256+155

であり両辺の値は小数点以下第3位まででともに0.784となることから、求める積分値の小数点以下第2位までの値は0.78である。

投稿日:2020119
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PCを持っておらずiPadで書いている為見づらいかもしれませんが、ご容赦ください。横浜市立大学理学部数理科学科卒業。東京大学大学院数理科学研究科修士課程終了。

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