平方根を整数で近似

$$\tan 2\theta =\frac{b}{a}$$
とおく.
$${\tan }^2\theta +\frac{2a}{b}\tan \theta -1=0$$
より
$$\tan \theta =\frac{-a+\sqrt{a^2+b^2}}{b}$$
を得る.
$$m^2-(a^2+b^2)n^2=\pm 1$$
を満たす整数$m,n$を選ぶと,
$$\tan \theta \fallingdotseq \frac{m-na}{nb}$$
と近似できる.
$$A=nb,B=m-na$$
とおくと,
$$\tan \theta \fallingdotseq \frac{B}{A}$$
$$\frac{b}{a}=\tan 2\theta \fallingdotseq \frac{2AB}{A^2-B^2}$$
$${(A^2-B^2)}^2+(2AB{)}^2=(A^2+B^2{)}^2$$
$$\sqrt{(A^2-B^2-ka{)}^2+(2AB-kb{)}^2}+k\sqrt{a^2+b^2}\fallingdotseq A^2+B^2$$