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高校数学解説
文献あり

平方根を整数で近似

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$$\tan 2 \theta=\frac{2 \tan \theta}{1-\tan^2 \theta}$$

$$\tan 2 \theta = \frac{b}{a}$$
とおく.
$$\tan^2 \theta +\frac{2a}{b} \tan \theta -1 =0$$
より
$$\tan \theta = \frac{-a + \sqrt{a^2+b^2}}{b}$$
を得る.
$$m^2-(a^2+b^2)n^2=\pm 1$$
を満たす整数$m,n$を選ぶと,
$$\tan \theta \fallingdotseq \frac{m-na}{nb}$$
と近似できる.
$$A=nb , B=m-na$$
とおくと,
$$\tan \theta \fallingdotseq \frac{B}{A}$$
$$\frac{b}{a} = \tan 2 \theta \fallingdotseq \frac{2AB}{A^2-B^2} $$
$$\left (A^2-B^2 \right )^2+(2AB)^2=(A^2+B^2)^2$$
$$\sqrt{(A^2-B^2-ka)^2+(2AB-kb)^2}+k\sqrt{a^2+b^2} \fallingdotseq A^2+B^2$$

$$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5} \fallingdotseq 2+\frac{1}{4+\frac{1}{4}}=\frac{38}{17}$$
$$A=34,B=38-17=21$$
$$\frac{2AB}{A^2-B^2}=\frac{2*34*21}{55*13}=2\frac{714}{715}\fallingdotseq 2$$
$$715^2+1428^2=(34^2+21^2)^2=1597^2$$
$$(715-1)^2+(1428-2)^2=714^2+4*713^2=2543272$$
$\sqrt{2543272} \fallingdotseq 1594.763932373691$
$\sqrt{2543272}+\sqrt{5} \fallingdotseq 1597.000000351191 \fallingdotseq 1597$

参考文献

投稿日:202314

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tfshhiy
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