x^xの不定積分

$x^x$は⠀ ⠀⠀⠀⠀⠀⠀
$$x^x=e^{x\log x}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(x\log x{)}^n}{n!}$$
と展開できる.よって
$$\int x^x\mathrm{d}x=\int \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(x\log x{)}^n}{n!}\mathrm{d}x$$
ここで,積分と無限和は交換できる（項別積分ができる）ので,
$$\int \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(x\log x{)}^n}{n!}\mathrm{d}x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}\int (x\log x{)}^n\mathrm{d}x$$
となる.また,
$$\begin{gathered} \int (x\log x{)}^n\mathrm{d}x=\frac{x^{-n}(x\log x{)}^{n}n!e^{(n+1)\log x}}{(-(n+1)\log x{)}^n(n+1)}\sum _{k=0}^n\frac{(-(n+1)\log x{)}^k}{k!}+C \\ =\frac{(-1{)}^{n}n!x^{n+1}}{(n+1{)}^{n+1}}\sum _{k=0}^n\frac{(-(n+1)\log x{)}^k}{k!}+C \end{gathered}$$
となるので,
$$\begin{gathered} \int x^x\mathrm{d}x \\ =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{n+1}}{(n+1{)}^{n+1}}\sum _{k=0}^n\frac{(-(n+1)\log x{)}^k}{k!}+C \\ =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=0}^n\frac{(-1{)}^n{x}^{n+1}(-1{)}^k(n+1{)}^k{\log }^{k}x}{(n+1{)}^{n+1}k!}+C \\ =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=0}^n\frac{(-1{)}^{n+k}{x}^{n+1}{\log }^{k}x}{k!(n+1{)}^{n+1-k}}+C \end{gathered}$$
が求まる.