x^xの不定積分
前述
動画に使ったメモを置いておきます.
該当動画は
こちら
.
内容
$$ \int x^x \mathrm{d}x=\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^{n+k} x^{n+1} \log ^k x}{k!(n+1)^{n+1-k}}+C $$
$x^x$は⠀ ⠀⠀⠀⠀⠀⠀
$$
x^x =e^{x\log x}= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x \log x)^n}{n!}
$$
と展開できる.よって
$$
\int x^x \mathrm{d}x = \int \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x \log x)^n}{n!}\mathrm{d}x
$$
ここで,積分と無限和は交換できる（項別積分ができる）ので,
$$
\int \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x \log x)^n}{n!}\mathrm{d}x= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}\int ( x \log x) ^n \;\mathrm{d}x
$$
となる.また,
$$
\int ( x \log x) ^n \;\mathrm{d}x =\frac{x^{-n}(x \log x)^n n!e^{(n+1)\log x} }{( -(n+1) \log x)^{n} (n+1)}\sum _{k=0}^{n} \frac{(-(n+1)\log x)^k}{k!}+C
\\=\frac{(-1)^n n! x^{n+1}}{(n+1)^{n+1}} \sum _{k=0}^{n} \frac{(-(n+1)\log x)^k}{k!}+C
$$
となるので,
$$
\int x^x \mathrm{d}x\\=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{n+1}}{(n+1)^{n+1}} \sum _{k=0}^{n} \frac{(-(n+1)\log x)^k}{k!}+C
\\=\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^n x^{n+1}(-1)^k (n+1)^k \log ^k x }{(n+1)^{n+1}k!}+C
\\=\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^{n+k} x^{n+1} \log ^k x}{k!(n+1)^{n+1-k}}+C
$$
が求まる.
