『多様体の基礎』定理12.4の証明の修正案

$p\in M$で$q=f(p)$とする。定理10.5を用いて、$M$の座標近傍$(U_1,\varphi )$と$N$の座標近傍$(V_1,\psi )$で次の条件を全て満たすものをとる:
$\{\begin{array}{l}p\in U_1,\\ q\in V_1,\\ f(U_1)\subset V_1,\\ U_1,V_1\text{に関する}f\text{の局所座標表示は}f(x_1,\cdots ,x_m)=(x_1,\cdots ,x_m,0,\cdots ,0).\end{array}$

今、$f:M\to f(M)$は同相であるから、$f(U_1)$は$f(M)$の開集合である。よって$N$のある開集合$W$を用いて$f(U_1)=f(M)\cap W$と書ける。

さて、次の約束をする:
$U_1$の部分集合であって、$\varphi$による像が開直方体$(a_1,b_1)\times \cdots \times (a_m,b_m)$に等しいもののことも$(a_1,b_1)\times \cdots \times (a_m,b_m)$と書き、開直方体と呼ぶことにする。$V_1$の部分集合についても$\varphi$を$\psi$に変更して同様の約束をする。

$p\in U_2\subset U_1$を満たす開直方体$U_2=(a_1,b_1)\times \cdots \times (a_m,b_m)$と、$q\in V_2\subset V_1\cap W$を満たす開直方体$V_2=(a_1^{\prime },b_1^{\prime })\times \cdots \times (a_n^{\prime },b_n^{\prime })$をとる。$\varphi (p)=(p_1,\cdots ,p_m)$とすると、$\psi (p)=(p_1,\cdots ,p_m,0,\cdots ,0)$である。よって、$1\le i\le m$に対して、$\mathbb{R}$の部分集合としての$(a_i,b_i)$と$(a_i^{\prime },b_i^{\prime })$について、$p_i\in (a_i,b_i)\cap (a_i^{\prime },b_i^{\prime })$が成り立つ。$(a_i^{″},b_i^{″})=(a_i,b_i)\cap (a_i^{\prime },b_i^{\prime })$を満たす$a_i^{″},b_i^{″}\in \mathbb{R}$をとる。

$$\begin{gathered} U=(a_1^{″},b_1^{″})\times \cdots \times (a_m^{″},b_m^{″})\subset U_1, \\ V=(a_1^{″},b_1^{″})\times \cdots \times (a_m^{″},b_m^{″})\times (a_{m+1}^{\prime },b_{m+1}^{\prime })\times \cdots \times (a_n^{\prime },b_n^{\prime })\subset V_1 \end{gathered}$$
とおく。すると、$A:=\{(y_1,\cdots ,y_n)\in V|y_{m+1},\cdots ,y_n=0\}$について$A\subset f(M)\cap V\subset f(U)\subset A$を示すことができ、$f(M)\cap V=\{(y_1,\cdots ,y_n)\in V|y_{m+1},\cdots ,y_n=0\}$を得る。
あとの議論は本と同様。