位数2023の群は可換群のみである！

$G$は位数$2023$の群とする．その単位元を$e$とする．
$2023=17^2 \cdot7$である．シローの定理(4.5.7)を用いて，位数$17^2,7$の部分群$H,K$をそれぞれとる．$H,K$の共役部分群の個数をそれぞれ$s,t$とする．$s$は$\frac{|G|}{|H|}=7$の約数であり，$s \equiv 1 \, \mathrm{mod} \,17$を満たす($\because$ 4.5.7)．ゆえ，$s=1$で$G \triangleright H$．同様にして$t=1，G \triangleright K$．
$HK$は$G$の部分群である($\because$ 2.10.3)．また$H$と$K$は$HK$の部分群である．ラグランジュの定理の系(2.6.21)により，$|HK|$は$|G|=17^2\cdot 7$の約数であり，$|H|=17^2$と$|K|=7$の公倍数である．よって，$|HK|=17^2\cdot 7$となるしかなく，$HK=G$を得る．同様にして$H\cap K=\{e\}$を得る．
2.9.2により，$G\cong H\times K$である．
今，位数が素数の群は可換群である．また，位数が素数の2乗の群も可換群である($\because$4.4.4)．よって$H$と$K$は可換群である．したがって，$G \cong H\times K$も可換群である．