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位数2023の群は可換群のみである！

代数学,2023,群論

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明けましておめでとうございます．今年は2023年ということで，2023に関する数学の命題について書きます．

位数2023の群は全て可換群である．

証明中で「4.5.7」などと書いてあるのは，参考文献『代数学1』(雪江明彦)の命題や定理の番号を表します．

$G$ は位数 $2023$ の群とする．その単位元を $e$ とする．
$2023 = 17^{2} \cdot 7$ である．シローの定理(4.5.7)を用いて，位数 $17^{2}, 7$ の部分群 $H, K$ をそれぞれとる． $H, K$ の共役部分群の個数をそれぞれ $s, t$ とする． $s$ は $\frac{| G |}{| H |} = 7$ の約数であり， $s \equiv 1 \mod 17$ を満たす( $∵$ 4.5.7)．ゆえ， $s = 1$ で $G ▹ H$ ．同様にして $t = 1 ， G ▹ K$ ．
$H K$ は $G$ の部分群である( $∵$ 2.10.3)．また $H$ と $K$ は $H K$ の部分群である．ラグランジュの定理の系(2.6.21)により， $| H K |$ は $| G | = 17^{2} \cdot 7$ の約数であり， $| H | = 17^{2}$ と $| K | = 7$ の公倍数である．よって， $| H K | = 17^{2} \cdot 7$ となるしかなく， $H K = G$ を得る．同様にして $H \cap K = {e}$ を得る．
2.9.2により， $G ≅ H \times K$ である．
今，位数が素数の群は可換群である．また，位数が素数の2乗の群も可換群である( $∵$ 4.4.4)．よって $H$ と $K$ は可換群である．したがって， $G ≅ H \times K$ も可換群である．