積分公式

${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{dx}{1+x^{2n}}=\frac{\pi }{n\sin \frac{\pi }{2n}}}$の証明

関数${\displaystyle f(z)=\frac{1}{1+z^{2n}}}$について

今回考える関数は、${\displaystyle f(z)=\frac{1}{1+z^{2n}}}$ここで$n$は$n\in \mathbb{N}$とする。

${\displaystyle z^{2n}=-1}$の解について

従って、今回求めるべきである$z^{2n}+1=0$は公式1から
$$z=e^{\frac{\pi ki}{n}-\frac{\pi i}{2n}}(k=1,2,...,2n)$$ である。

${\displaystyle {\int }_C\frac{dz}{1+z^{2n}}}$の値

ここから、複素関数を用いて議論していく。まず、積分経路$C$を次の様に取る。

積分経路

ここで、$C_1$は実軸上にあり、$R$は十分大きいとする。$C_2$は半時計回りに$0\le \theta \le \pi$と取る。そうすると次のようになる。
$${\int }_{C}f(z)dz={\int }_{C_1}\frac{dz}{1+z^{2n}}+{\int }_{C_2}\frac{dz}{1+z^{2n}}$$積分経路$C_1$は実軸上にあるのでさらに書き換えると、$${\int }_{C}f(z)dz={\int }_{-R}^R\frac{dz}{1+z^{2n}}+{\int }_{C_2}\frac{dz}{1+z^{2n}}$$の様になる。

ここで、経路内の極は$n$個でありその値は、${\displaystyle e^{\frac{\pi ki}{n}-\frac{\pi i}{2n}}(k=1,2,...,n)}$となっている。

従って、留数定理を用いて値を求める。

この公式1を用いて留数を求める。$p(z)=1$,$q(z)=1+z^{2n}$として考えると、留数は
$$Res[\frac{1}{1+z^{2n}},e^{\frac{\pi ik}{n}-\frac{\pi i}{2n}}]=\sum _{k=1}^n\frac{1}{2n}\frac{1}{e^{\frac{\pi ik}{n}-\frac{\pi i}{2n}}}$$となる。ここで、$|e^{\frac{\pi k}{n}-\frac{\pi }{2n}}|=1$より
$$\sum _{k=1}^n-\frac{1}{2n}\frac{1}{e^{\frac{\pi ik}{n}-\frac{\pi i}{2n}}}=\sum _{k=1}^n\frac{1}{2n}{e}^{\frac{\pi ik}{n}-\frac{\pi i}{2n}}=-\frac{1}{2n}{e}^{-\frac{\pi i}{2n}}\sum _{k=1}^n{e}^{\frac{\pi ik}{n}}$$と書ける。ここで、${\displaystyle \sum _{k=1}^n{e}^{\frac{\pi ik}{n}}}$は、初項$e^{\frac{\pi ik}{n}}$公比$e^{\frac{\pi ik}{n}}$の等比数列の和なので、$$-\sum _{k=1}^n{e}^{\frac{\pi ik}{n}}=-\frac{e^{\frac{\pi i}{n}}(1-e^{\pi i})}{1-e^{\frac{\pi i}{n}}}=-\frac{2e^{\frac{\pi i}{n}}}{1-e^{\frac{\pi i}{n}}}$$これより求める値は、$$-\frac{1}{2n}{e}^{-\frac{\pi i}{2n}}(\frac{2e^{\frac{\pi i}{n}}}{1-e^{\frac{\pi i}{n}}})=-\frac{1}{n}(\frac{e^{\frac{\pi i}{2n}}}{1-e^{\frac{\pi i}{n}}})$$分母,分子に$e^{-\frac{\pi i}{2n}}$と、留数定理から$2\pi i$をかけて$\frac{e^{\frac{\pi i}{2n}}-e^{\frac{-\pi i}{2n}}}{2i}=\sin (\frac{\pi }{2n})$の関係より　
$$\frac{\pi }{n}(\frac{1}{\frac{e^{\frac{\pi i}{2n}}-e^{\frac{-\pi i}{2n}}}{2i}})=\frac{\pi }{n\sin (\frac{\pi }{2n})}$$以上より、$${\int }_C\frac{dz}{1+z^{2n}}=\frac{\pi }{n\sin (\frac{\pi }{2n})}$$ここから、各積分経路ごとに値を見ていく。

積分${\displaystyle {\int }_0^{\pi }\frac{iR{e}^{i\theta }}{1+R^{2n}{e}^{2ni\theta }}d\theta }$の評価

まず全体で$R\to \mathrm{\infty }$として考える。その時、経路$C_1$は、$${\int }_{C_1}\frac{dz}{1+z^{2n}}=\underset{R\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_{-R}^R\frac{dz}{1+z^{2n}}={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{dz}{1+z^{2n}}$$の様になる。次に、経路$C_2$は、$z=R{e}^{i\theta }$と変数変換を行うと
$${\int }_{C_2}\frac{dz}{1+z^{2n}}={\int }_0^{\pi }\frac{iR{e}^{i\theta }}{1+R^{2n}{e}^{2ni\theta }}d\theta$$と書ける。従って、次の様に絶対値をとって評価する。
$$|{\int }_0^{\pi }\frac{iR{e}^{i\theta }}{1+R^{2n}{e}^{2ni\theta }}d\theta |<{\int }_0^{\pi }|\frac{iR{e}^{i\theta }}{R^{2n}{e}^{2ni\theta }}|d\theta =\underset{R\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\pi }{R^{2n-1}}=0$$となるので、$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{dz}{1+z^{2n}}=\frac{\pi }{n\sin (\frac{\pi }{2n})}$$に収束すること分かる。

${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{z^{2n}+a^{2n}}dz=\frac{\pi }{n{a}^{2n-1}\sin \frac{\pi }{2n}}}$の証明

次に考える関数は${\displaystyle f(z)=\frac{1}{z^{2n}+a^{2n}}}$で$n\in \mathbb{N},|a|>0,a\in \mathbb{C}$とする。

$z^{2n}+a^{2n}=0$の解

公式1を用いると、$$z=e^{\frac{1}{2n}\{(2k-1)\pi i+2n\log a\}}=e^{\frac{\pi i}{2n}(2k-1)+\log a} (k=1,2,...,2n)$$これを用いて、${\displaystyle {\int }_C\frac{dz}{z^{2n}+a^{2n}}}$を求める。

${\displaystyle {\int }_C\frac{dx}{z^{2n}+a^{2n}}}$の値

積分経路$C$を図1の通りに取るとすると
${\displaystyle {\int }_C\frac{dx}{z^{2n}+a^{2n}}}$に対し$x=e^{\frac{1}{2n}\{(2k-1)\pi i+2n\log a\}}=e^{\frac{\pi i}{2n}(2k-1)+\log a} (k=1,2,...,n)$が極である。

次に、$R$は十分大きいとして考える。

そうすると、${\displaystyle {\int }_C\frac{dz}{z^{2n}+a^{2n}}}$は留数定理により求まる。この時留数は、$$\begin{array}{rc}Res[\frac{1}{z^{2n}+a^{2n}},e^{\frac{\pi i}{2n}(2k-1)+\log q}]& =\frac{1}{2n}\sum _{k=1}^n\frac{1}{e^{(\frac{\pi i}{2n}(2k-1)+\log q)(2n-1)}}\\ & =\frac{1}{2n}\sum _{k=1}^n\frac{1}{(-1)a^{2n}{e}^{-\frac{\pi i}{2n}(2k-1)-\log a}}\\ & =-\frac{1}{2n{a}^{2n-1}}{e}^{-\frac{\pi i}{2n}}\sum _{k=1}^n{e}^{\frac{\pi i}{n}k}\\ & =\frac{1}{n{a}^{2n-1}}(\frac{e^{\frac{\pi i}{2n}}}{e^{\frac{\pi i}{n}}-1})\end{array}$$である。ここで留数定理より値が求まるので、$$2\pi i\{\frac{1}{n{a}^{2n-1}}(\frac{e^{\frac{\pi i}{2n}}}{e^{\frac{\pi i}{n}}-1})\}=\frac{\pi }{n{a}^{2n-1}}(\frac{2i}{e^{\frac{\pi i}{2n}}-e^{-\frac{\pi i}{2n}}})=\frac{\pi }{a^{2n-1}n\sin (\frac{\pi }{2n})}$$の様になって結果

積分${\displaystyle \underset{R\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_0^{\pi }\frac{iR{e}^{i\theta }}{R^{2n}{e}^{2ni\theta }+a^{2n}}d\theta }$の評価

次に、積分経路は$C=C_1+C_2$であり、経路$C_1$に関しては実軸上を動いているから

の様に書ける。この時、$(R\to \mathrm{\infty })$として考えると、$$\underset{R\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_C\frac{dz}{z^{2n}+a^{2n}}={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{dx}{x^{2n}+a^{2n}}+\underset{R\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_{C_2}\frac{dz}{z^{2n}+a^{2n}}$$経路$C_2$に関して$z=R{e}^{i\theta }$の様に変数変換すると微小量は、$dz=iR{e}^{i\theta }d\theta$となって、積分区間が$0\to \pi$であるので、${\displaystyle \underset{R\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_{C_2}\frac{dz}{z^{2n}+a^{2n}}}$は次の様に変化する。
$$\underset{R\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_{C_2}\frac{dz}{z^{2n}+a^{2n}}=\underset{R\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_0^{\pi }\frac{iR{e}^{i\theta }}{R^{2n}{e}^{2ni\theta }+a^{2n}}d\theta$$${\displaystyle \underset{R\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_0^{\pi }\frac{iR{e}^{i\theta }}{R^{2n}{e}^{2ni\theta }+a^{2n}}d\theta }$の絶対値をとって評価すると、$$\underset{R\to \mathrm{\infty }}{lim}|{\int }_0^{\pi }\frac{iR{e}^{i\theta }}{R^{2n}{e}^{2ni\theta }+a^{2n}}d\theta |<\underset{R\to \mathrm{\infty }}{lim}|{\int }_0^{\pi }\frac{iR{e}^{i\theta }}{R^{2n}{e}^{2ni\theta }}d\theta |\le \underset{R\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_0^{\pi }\frac{|iR{e}^{i\theta }|}{|R^{2n}{e}^{2ni\theta }|}d\theta =\underset{R\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\pi }{R^{2n-1}}=0$$よって、$$\underset{R\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_{C_2}\frac{dz}{z^{2n}+a^{2n}}=0$$従って、(1),(2)から
$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{dx}{x^{2n}+a^{2n}}=\frac{\pi }{a^{2n-1}n\sin (\frac{\pi }{2n})}$$に収束する。

${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^p}{x^{2n}+a^{2n}}dx=\frac{a^p\pi (1+\cos \left(p\pi \right))}{2n{a}^{2n-1}\sin \left(\frac{p+1}{2n}\pi \right)}}$の証明

$$z=e^{\frac{1}{2n}\{(2k-1)\pi i+2n\log a\}}=e^{\frac{\pi i}{2n}(2k-1)+\log a} (k=1,2,...,2n)$$

この結果を参考に今から議論をする。ここで$p$を次の2つの場合に分けて考えることができる。
$$\begin{array}{r}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n}}{x^{2n}+a^{2n}}dx (p=2n)\\ {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^p}{x^{2n}+a^{2n}}dx (p<2n)\end{array}$$ $p=2n$の時は下に示すように$+\mathrm{\infty }$に発散していくことがわかる。

次に、$p<2n$の場合を取り扱うが、ここでも一点($p=2n-1$)で問題が発生するがその問題は後に任せるとして、$p<2n$の時の値を求めていく。

${\displaystyle {\int }_C\frac{z^p}{z^{2n}+a^{2n}}dz}$の値

まず、${\displaystyle {\int }_{C}f(z)dz={\int }_C\frac{z^p}{z^{2n}+a^{2n}}dz}$に対し図1のような積分経路$C$を取る。

この時$R\to \mathrm{\infty }$の極限を考える。 そうすると、$$\underset{R\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_C\frac{z^p}{z^{2n}+a^{2n}}dz=\underset{R\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_{-R}^R\frac{x^p}{x^{2n}+a^{2n}}dx+\underset{R\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_{C_2}\frac{z^p}{z^{2n}+a^{2n}}dz$$の様に書ける。次に、留数定理より以下の様に書ける。
$${\int }_C\frac{z^p}{z^{2n}+a^{2n}}dz=2\pi i\sum _{k}Res[\frac{z^p}{z^{2n}+a^{2n}},z_k]$$ここで、積分経路$C$内における$f(z)$の極は、${\displaystyle z=e^{\frac{\pi i}{2n}(2k-1)+\log a}}$　$(k=1,2,...,n)$であるから、次のように書き換えられる。
$${\int }_C\frac{z^p}{z^{2n}+a^{2n}}dz=2\pi i\{-\frac{a^p{e}^{-\frac{\pi i}{2n}(p+1)}}{2n{a}^{2n-1}}\sum _{k=1}^n{e}^{\frac{pk}{n}\pi i+\frac{\pi i}{n}k}\}=2\pi i\{-\frac{a^p{e}^{-\frac{\pi i}{2n}(p+1)}}{2n{a}^{2n-1}}\sum _{k=1}^n{e}^{\frac{k}{n}\pi (p+1)}\}$$シグマの中身を初項$e^{\frac{1}{n}\pi (p+1)}$公比$e^{\frac{1}{n}\pi (p+1)}$として計算すると、$$\begin{array}{rcl}2\pi i\{-\frac{a^p{e}^{-\frac{\pi i}{2n}(p+1)}}{2n{a}^{2n-1}}\sum _{k=1}^n{e}^{\frac{k}{n}\pi (p+1)}\}& =& 2\pi i\{-\frac{a^p{e}^{-\frac{\pi i}{2n}(p+1)}}{2n{a}^{2n-1}}(\frac{e^{\frac{\pi i}{n}(p+1)}(1-e^{\pi i(p+1)})}{1-e^{\frac{\pi i}{n}(p+1)}})\}\\ & =& 2\pi i\{-\frac{a^p}{2n{a}^{2n-1}}(\frac{e^{\frac{\pi i}{2n}(p+1)}(1-e^{\pi i(p+1)})}{1-e^{\frac{\pi i}{n}(p+1)}})\}\\ & =& 2\pi i\{-\frac{a^p}{2n{a}^{2n-1}}(\frac{(1-e^{\pi i(p+1)})}{e^{-\frac{\pi i}{2n}(p+1)}-e^{\frac{\pi i}{2n}(p+1)}})\}\\ & =& 2\pi i\{\frac{a^p}{2n{a}^{2n-1}}(\frac{(1-(-1{)}^{(p+1)})}{e^{\frac{\pi i}{2n}(p+1)}-e^{-\frac{\pi i}{2n}(p+1)}})\}\end{array}$$ここで、$(-1{)}^n=\cos \left(\pi n\right)$の関係を用いて式を変形すると、
$$\begin{array}{r}2\pi i\{\frac{a^p{e}^{\frac{\pi i}{n}(p+1)}}{2n{a}^{2n-1}}(\frac{(1-(-1{)}^{(p+1)})}{e^{\frac{\pi i}{2n}(p+1)}-e^{-\frac{\pi i}{n}(p+1)}})\}=\frac{a^p\pi (1+\cos \left(p\pi \right))}{2n{a}^{2n-1}\sin \left(\frac{p+1}{2n}\pi \right)}\end{array}$$となる。従って
$${\int }_C\frac{z^p}{z^{2n}+a^{2n}}dz=\frac{a^p\pi (1+\cos \left(p\pi \right))}{2n{a}^{2n-1}\sin \left(\frac{p+1}{2n}\pi \right)}$$が成立する。次に、積分経路$C_2$を評価する。

積分${\int }_0^{\pi }\frac{R^p{e}^{pi\theta }}{R^{2n}{e}^{2ni\theta }+a^{2n}}iR{e}^{i\theta }d\theta$の評価

$${\int }_{C_2}\frac{z^p}{z^{2n}+a^{2n}}dz$$に対し、$z=R{e}^{i\theta }$と変数変換すると、$${\int }_{C_2}\frac{z^p}{z^{2n}+a^{2n}}dz={\int }_0^{\pi }\frac{R^p{e}^{pi\theta }}{R^{2n}{e}^{2ni\theta }+a^{2n}}iR{e}^{i\theta }d\theta$$の様になる。これから、この積分を評価していく。
$$|{\int }_0^{\pi }\frac{R^p{e}^{pi\theta }}{R^{2n}{e}^{2ni\theta }+a^{2n}}iR{e}^{i\theta }d\theta |$$を評価する。ここで、$t=e^{i\theta }$と変数変換すると $$\begin{array}{rcl}|{\int }_0^{\pi }\frac{R^p{e}^{pi\theta }}{R^{2n}{e}^{2ni\theta }+a^{2n}}iR{e}^{i\theta }d\theta |& =& |{\int }_1^{-1}\frac{R^p{t}^p}{R^{2n}{t}^{2n}+a^{2n}}Rdt|<|{\int }_1^{-1}\frac{R^{2n-1}{t}^{2n-1}}{R^{2n}{t}^{2n}+a^{2n}}dt|\\ & =& {\int }_1^{-1}\frac{R^{2n-1}{t}^{2n-1}}{R^{2n}{t}^{2n}+a^{2n}}dt=[\frac{R^{2n-2}}{2n}\log (R^{2n}{t}^{2n}+a^{2n}){]}_1^{-1}=0\end{array}$$このことから、 $${\int }_{C_2}\frac{z^p}{z^{2n}+a^{2n}}dz=0$$であるので、結果
$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^p}{x^{2n}+a^{2n}}dx=\frac{a^p\pi (1+\cos \left(p\pi \right))}{2n{a}^{2n-1}\sin \left(\frac{p+1}{2n}\pi \right)}$$となる。ここで、この式は、$p=2n-1$で$\frac{0}{0}$の不定形になってしまう

${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^p}{x^{2n}+a^{2n}}dx}$における$p=2n-1$の問題

この問題を次の様にとらえてみる。
$$\underset{p\to 2n-1}{lim}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^p}{x^{2n}+a^{2n}}dx=\underset{p\to 2n-1}{lim}\frac{a^p\pi (1+\cos \left(p\pi \right))}{2n{a}^{2n-1}\sin \left(\frac{p+1}{2n}\pi \right)}$$そして、左辺を次の様に変形する。
$$\underset{p\to 2n-1}{lim}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^p}{x^{2n}+a^{2n}}dx=\underset{p\to 2n-1}{lim}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^0\frac{x^p}{x^{2n}+a^{2n}}dx+\underset{p\to 2n-1}{lim}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{x^p}{x^{2n}+a^{2n}}dx$$さらに$x=\frac{1}{t}$と変数変換すると、 $$\begin{array}{rcl}\underset{p\to 2n-1}{lim}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^p}{x^{2n}+a^{2n}}dx& =& \underset{p\to 2n-1}{lim}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}-\frac{\frac{1}{t^{p+1}}}{{\frac{1}{t}}^{2n}+a^{2n}}dt+\underset{p\to 2n-1}{lim}{\int }_{\mathrm{\infty }}^0-\frac{\frac{1}{t^{p+1}}}{{\frac{1}{t}}^{2n}+a^{2n}}dt\\ & =& -\underset{p\to 2n-1}{lim}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\frac{1}{t^{p+1}}}{{\frac{1}{t}}^{2n}+a^{2n}}dt+\underset{p\to 2n-1}{lim}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\frac{1}{t^{p+1}}}{{\frac{1}{t}}^{2n}+a^{2n}}dt\\ & =& \underset{p\to 2n-1}{lim}0=0\end{array}$$となって、$0$に収束する。次に右辺も
$$\underset{p\to 2n-1}{lim}\frac{a^p\pi (1+\cos \left(p\pi \right))}{2n{a}^{2n-1}\sin \left(\frac{p+1}{2n}\pi \right)}=0$$に収束することを示す。

まず、$$\begin{array}{}\text{...}\alpha & \underset{p\to 2n-1}{lim}{a}^p\pi \{1+\cos \left(p\pi \right)\}=\underset{p\to 2n-1}{lim}2n{a}^{2n-1}\sin (\frac{p+1}{2n}\pi )=0\end{array}$$である。次に、$2n-2<p<2n$の条件下では
$$\begin{array}{}\text{...}\beta & \frac{d}{dp}2n{a}^{2n-1}\sin (\frac{p+1}{2n}\pi )=\frac{d}{dp}\sin (\frac{\pi p}{2n}+\frac{\pi }{2n})=\frac{\pi }{2n}\cos (\frac{\pi p}{2n}+\frac{\pi }{2n})\ne 0\end{array}$$となる。さらに、$$\begin{array}{}\text{...}\gamma & \underset{p\to 2n-1}{lim}\frac{\frac{d}{dp}{a}^p\pi (1+\cos \left(p\pi \right))}{\frac{d}{dp}2n{a}^{2n-1}\sin \left(\frac{p+1}{2n}\pi \right)}=\underset{p\to 2n-1}{lim}\frac{a^p{\pi }^2\sin \left(p\pi \right)}{a^{2n-1}\pi \cos (\frac{\pi p}{2n}+\frac{\pi }{2n})}=0\end{array}$$ここで$\alpha ,\beta ,\gamma$は、ロピタルの定理 *4 の要件を満たしているので、今回示したかった極限の結果と一致する。従って、
$$\underset{p\to 2n-1}{lim}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^p}{x^{2n}+a^{2n}}dx=\underset{p\to 2n-1}{lim}\frac{a^p\pi (1+\cos \left(p\pi \right))}{2n{a}^{2n-1}\sin \left(\frac{p+1}{2n}\pi \right)}=0$$となる。

参考文献

[1]杉浦光夫 著『基礎数学2　解析入門I』　東京大学出版会

[2]杉浦光夫 著『基礎数学3　解析入門II』　東京大学出版会

[3]柴　雅和 著『複素関数論』　朝倉書店

[4]涌井貞美 著『道具としての複素関数』　日本実業出版社

[5]岡本和夫 著『新版数学シリーズ　新版微分積分』　実教出版

参照

      $$\int_{\partial G}f(x,y)dx+g(x,y)dy=\int\int_{G}\biggl(\frac{\partial g}{\partial x}-\frac{\partial f}{\partial y}\biggr)dxdy$$証明は、参考文献[2]のp.168を参照されたい。