級数(ウォリス積分の応用)

記事投稿の練習も兼ねて、試しに投稿してみました。

目標$$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n)!}{8^n(n!)^2} $$の値を求める

上を使い求める。
$$ \begin{eqnarray} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n)!}{8^n(n!)^2} &=& \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n}\cdot\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2}\\ &=& \frac{2}{\pi}\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2^n}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2n}x\,dx\\ &=& \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sum_{n}^{\infty}\left(\frac{\sin^2x}{2}\right)^ndx\\ &=& \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{1-\frac{\sin^2x}{2}}dx\\ &=& \frac{4}{\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{1+\cos^2x}dx\\ &=& \frac{4}{\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\cos^2x}\cdot\frac{1}{\tan^2x+2}dx\\ &=& \frac{4}{\pi}\int_{0}^{\infty}\frac{1}{t^2+2}dt\ (t=\tan x\textrm{で置換})\\ &=& \frac{2\sqrt{2}}{\pi}\int_0^{\infty}\frac{1}{u^2+1}du\ (u=\frac{t}{\sqrt{2}}\textrm{で置換})\\ &=& \frac{2\sqrt{2}}{\pi}\left[\arctan u\right]_{0}^{\infty}\\ &=& \frac{2\sqrt{2}}{\pi}\cdot\frac{\pi}{2}\\ &=& \sqrt{2} \end{eqnarray} $$

よって$$ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2}=\sqrt{2} $$