記事投稿の練習も兼ねて、試しに投稿してみました。
目標∑n=0∞(2n)!8n(n!)2の値を求める
非負整数nに対し以下が成り立つ。∫0π2sinnxdx={2nCn4n⋅π2 (n∈2Z≥0)12n+1⋅4n2nCn (n∉2Z≥0)
上を使い求める。で置換で置換∑n=0∞(2n)!8n(n!)2=∑n=0∞12n⋅(2n)!4n(n!)2=2π∑n=0∞12n∫0π2sin2nxdx=2π∫0π2∑n∞(sin2x2)ndx=2π∫0π211−sin2x2dx=4π∫0π211+cos2xdx=4π∫0π21cos2x⋅1tan2x+2dx=4π∫0∞1t2+2dt (t=tanxで置換)=22π∫0∞1u2+1du (u=t2で置換)=22π[arctanu]0∞=22π⋅π2=2
よって∑n=0∞(2n)!4n(n!)2=2
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