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級数(ウォリス積分の応用)

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記事投稿の練習も兼ねて、試しに投稿してみました。

目標n=0(2n)!8n(n!)2の値を求める

ウォリス積分

非負整数nに対し以下が成り立つ。
0π2sinnxdx={2nCn4nπ2 (n2Z0)12n+14n2nCn (n2Z0)

上を使い求める。
n=0(2n)!8n(n!)2=n=012n(2n)!4n(n!)2=2πn=012n0π2sin2nxdx=2π0π2n(sin2x2)ndx=2π0π211sin2x2dx=4π0π211+cos2xdx=4π0π21cos2x1tan2x+2dx=4π01t2+2dt (t=tanxで置換)=22π01u2+1du (u=t2で置換)=22π[arctanu]0=22ππ2=2

よってn=0(2n)!4n(n!)2=2

投稿日:2020119
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wai
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