反転を知る人のためのトレミーの定理の証明方法

初等幾何,反転

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この記事は，「反転を知らない人のためのトレミーの定理の証明方法」とは異なります．

はじめに

トレミーの定理

円 $Γ$ 上の(凸)四角形 $A B C D$ について、
$A B \cdot C D + B C \cdot D A = A C \cdot B D$
トレミーの定理

有名事実

トレミーの定理は反転で証明しなければならない。

トレミーの定理の証明は、反転以外認められないということが広く知られています。
では，等角共役線を引く方法は許されないのしょうか？
もちろんそんなことはありません！

証明

反転する

中心 $A$ ，半径 $\sqrt{A B \cdot A C}$ の円による反転の写像と， $∠ B A D$ の二等分線による対称移動の写像の合成を $f$ とします．
$f (B) = D$ , $f (D) = B$ より， $f$ による円 $Γ$ の像 $f [Γ]$ は直線 $B D$ です．
$f$ は， $A$ を通る直線をその等角共役線にうつすので， $f (C)$ は，直線 $A C$ の等角共役線と直線 $B D$ の交点です．
直線 $A C$ およびその等角共役線は $∠ B A D$ の内部にあるので，直線 $B D$ とは $2$ 点 $B, D$ の間で交わります．
すなわち， $f (C) B + D f (C) = B D$ です．

長さの変換

反転の性質

$A$ と異なる任意の $2$ 点 $X, Y$ に対し，
$X Y = f (X) f (Y) \cdot \frac{A B \cdot A D}{A f (X) \cdot A f (Y)}$

$C D = f (C) f (D) \cdot \frac{A B \cdot A D}{A f (C) \cdot A f (D)} = f (C) B \cdot \frac{A B \cdot A D}{A f (C)} \nabla \cdot A B$
$B C = f (B) f (C) \cdot \frac{A B \cdot A D}{A f (B) \cdot A f (C)} = D f (C) \cdot \frac{A B \cdot A D}{A f (C)} \nabla \cdot A D$
$A C = \frac{A B \cdot A D}{A f (C)}$

これを用いて，主張から点 $C$ を消去すると，

$f (C) B \cdot \frac{A B \cdot A D}{A f (C)} + D f (C) \cdot \frac{A B \cdot A D}{A f (C)} = B D \cdot \frac{A B \cdot A D}{A f (C)}$

です．
両辺を $\frac{A B \cdot A D}{A f (C)}$ で割ります．

トレミーの定理の反転

トレミーの定理は以下と同値
$f (C) B + D f (C) = B D$

前の節の最後で確認したとおり，これは成立します．
これでトレミーの定理が証明されました！

補足

以上の証明を，反転を知らない人向けに書き直したもの，すなわち，「反転を知らない人のための反転を知る人のためのトレミーの定理の証明」が，よく知られた証明になります．
つまり，「補助線が天下りすぎる」「反転で証明しろ」などと散々言われてきた(*誰によって?*)あの証明も，明示的に反転が登場するわけではありませんが，やっていることは反転なので，実はトレミーの定理の証明として適切でした．