反転を知る人のためのトレミーの定理の証明方法

はじめに

トレミーの定理の証明は、反転以外認められないということが広く知られています。
では，等角共役線を引く方法は許されないのしょうか？
もちろんそんなことはありません！

証明

反転する

中心$A$，半径$\sqrt{AB \cdot AC}$の円による反転の写像と，$\angle BAD$の二等分線による対称移動の写像の合成を$f$とします．
$f(B)=D$,$f(D)=B$より，$f$による円$\Gamma$の像$f[\Gamma]$は直線$BD$です．
$f$は，$A$を通る直線をその等角共役線にうつすので，$f(C)$は，直線$AC$の等角共役線と直線$BD$の交点です．
直線$AC$およびその等角共役線は$\angle BAD$の内部にあるので，直線$BD$とは$2$点$B,D$の間で交わります．
すなわち，$f(C)B + Df(C)= BD$です．

長さの変換

これを用いて，主張から点$C$を消去すると，

です．
両辺を$\dfrac{AB \cdot AD}{Af(C)}$で割ります．

前の節の最後で確認したとおり，これは成立します．
これでトレミーの定理が証明されました！

補足

以上の証明を， 反転を知らない人 向けに書き直したもの，すなわち，「反転を知らない人のための反転を知る人のためのトレミーの定理の証明」が， よく知られた 証明になります．
つまり，「補助線が天下りすぎる」「反転で証明しろ」などと散々言われてきた(*誰によって?*)あの証明も，明示的に反転が登場するわけではありませんが，やっていることは反転なので，実はトレミーの定理の証明として適切でした．