二元二次形式の代数

・任意の二次形式はある簡約な二次形式と同値である。
・異なる簡約な二次形式は異なる同値類を定める。
を示せばよい。
　正定値の二次形式を考えていたので$a,c\geq0$であることに注意する。

簡約化の存在

　任意の二次形式$f=[a,b,c]$に対して$f$と同値な二次形式$F=[A,B,C]$を$|B|$が最小となるように取る。このとき
$$\begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix} =\M1k01\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$$
という変換を考えると
$$F(X,Y)=Ax^2+(B+2kA)xy+C'y^2\quad(C'\in\Z)$$
が成り立つので$B'=B+2kA$が最小となるような$k$を取ることで
$$-A< B'\leq A$$
特に$|B'|\leq A$とできる。よって$B$の最小性より$|B|\leq|B'|\leq A$が成り立つ。同様に$|B|\leq C$もわかる。
　また$A>C$のとき変換$(X,Y)=(-y,x)$によって$[C,-B,A]$を再び$F$とおくことで$A\leq C$としてよく、
・$A=C$かつ$B<0$の場合は変換$(X,Y)=(-y,x)$によって$F'=[A,-B,A]$は簡約
・$A< C$かつ$B=-A$のとき$(X,Y)=(x+1,y)$によって$F'=[A,A,C]$は簡約
・$A< C$かつ$B\neq-A$のとき$F$は簡約
となるので$f$はある簡約な二次形式と同値であることが示された。

非同値性

　$f=[a,b,c]$を簡約な二次形式とすると
$f(x,y)\geq(a-|b|+c)(\min\{x,y\})^2$
が成り立つので$xy\neq0$において
$f(x,y)\geq a-|b|+c\geq c\geq a$
が成り立つ。よって$a$は$f(x,y)$が$(x,y)=(0,0)$を除く整数点上で表現する最小の整数であり、$c$は二番目に小さい整数となる。
　いま簡約な二次形式$g=[a',b',c']$が$f$と同値であるとして、$(a,b,c)=(a',b',c')$となることを示す。

• $a< c< a-|b|+c$であるとき
  $a,a'$の最小性から$a=a'$が直ちに導かれる。このとき$f(x,y)=a,c$の解はそれぞれ$(\pm1,0),(0,\pm1)$の丁度$2$つであることに注意すると$a=c'$ならば$g(x,y)=a$の解が$4$つになり矛盾。よって$a< c'$であり、$c,c'$の二番目の最小性から$c=c'$が導かれる。
  　いま
  $$f(px+qy,rx+sy)=g(x,y)\quad(ps-qr=1)$$
  とおくと
  $$a=g(1,0)=f(p,q),\;c=g(0,1)=f(r,s)$$
  であるので$(p,q)=(\pm1,0),(q,r)=(0,\pm1)$が成り立つ。また$ps-qr=1$より複号同順であることがわかるので
  $$g(x,y)=f(\pm x,\pm y)=f(x,y)$$
  を得る。
• $|b|=a$または$a=c$のとき
  $c=a-|b|+c$または$a=c$なので$f,g$は$4$点以上で最小値、あるいは二番目の最小値を取ることから同様にして$(a,c)=(a',c')$がわかる。判別式の不変性から$b^2=b'^2$がわかるので$b,b'\geq0$より$b=b'$を得る。

　$\gcd(2a,2a')=2$および
$$b\equiv b'\pmod2\quad(\because D\equiv b^2\equiv b'^2\pmod 4)$$
から中国剰余定理より
\begin{eqnarray} B&\equiv&b\pmod{2a} \\B&\equiv&b'\pmod{2a'} \end{eqnarray}
なる$B$が$\operatorname{lcm}(2a,2a')=2aa'$を法としてただ一つ存在することがわかる。
　具体的には
$$pa+qa'=1$$
を満たすような整数$p,q$に対して
$$B=pab'+qa'b$$
がその解となる。
　また
$$ab'^2\equiv aD,\quad a'b^2\equiv a'D\pmod{4aa'}$$
に注意すると$B=pab'+qa'b$に対して
$$(b+b')B\equiv(pa+qa')(D+bb')=D+bb'\pmod{4aa'}$$
つまり
\begin{eqnarray} B^2-D&\equiv&B^2-(b+b')B+bb' \\&=&(B-b)(B-b')\equiv0\pmod{4aa'} \end{eqnarray}
が成り立つことがわかる。

　$\pm B=b+2ka$とおくと変換$(x',y')=(x+ky,y)$によって
$$f(x',y')=ax^2\pm Bxy+a'Cy^2\quad\l(C=\frac{B^2-D}{4aa'}\r)$$
が成り立つので$f=[a,\pm_1B,a'C]$および同様に$g=[a',\pm_2B,aC]$と置き直してよい。
　このとき
$$f(x,y)=a\l(x\pm\frac{B+\sqrt D}{2a}y\r)\l(x\pm\frac{B-\sqrt{D}}{2a}y\r)$$
と因数分解できることに注意して$\pm_3=\pm_1\cdot\pm_2$とおき$X,Y$を
\begin{eqnarray} X\pm_3\frac{B+\sqrt D}{2aa'}Y &=&\l(x\pm_1\frac{B+\sqrt D}{2a}y\r)\l(z\pm_2\frac{B+\sqrt D}{2a'}w\r) \\&=&xz+\frac{B+\sqrt D}{2aa'}(\pm_2axw+\pm_1a'yz)\pm_3\frac{2B^2+2B\sqrt D-(B^2-D)}{4aa'}yw \\&=&(xz\mp_3Cyw)\pm_3\frac{B+\sqrt D}{2aa'}(\pm_1axw\pm_2a'yz+Byw) \end{eqnarray}
によって定めると
$$f(x,y)g(z,w)=F(X,Y)$$
が成り立つことがわかる。

　$D\equiv0\pmod4$のときは$X,Y$を
\begin{eqnarray} X+\frac{\sqrt D}2Y&=&a\l(x+\frac{b+\sqrt D}{2a}y\r)\l(z+\frac{b-\sqrt D}{2a}w\r) \\&=&(axz+\frac b2(xw+yz)+cyw)+\frac{\sqrt D}2(yz-xw) \end{eqnarray}
によって定め、$D\equiv1\pmod4$のときは
\begin{eqnarray} X+\farc{1+\sqrt D}2Y&=&a\l(x+\frac{b+\sqrt D}{2a}y\r)\l(z+\frac{b-\sqrt D}{2a}w\r) \\&=&(axz+\frac{b+1}2xw+\farc{b-1}2yz+cyw)+\frac{1+\sqrt D}2(yz-xw) \end{eqnarray}
によって定めることでわかる。

　$\gcd(a,b,c)=1$より$\gcd(a,a+b+c,c)=1$でもあるので$n$の素因数$p$に対して$(x_p,y_p)=(1,0),(0,1),(1,1)$のいずれかは$f(x_p,y_p)$と$p$と互いに素となるように取れる。このとき中国剰余定理から任意の$p\mid n$に対し
$$x\equiv x_p,\quad y\equiv y_p\pmod p$$
となるような整数$x,y$を取ると
$$f(x,y)\equiv f(x_p,y_p)\not\equiv0\pmod p$$
つまり$f(x,y)$と$n$は互いに素となる。

　$f(\a,\g)=n$とすると$\a,\g$は互いに素であったのである整数$\b,\g$が存在して
$$\a\d-\b\g=1$$
が成り立つ。このとき変換
$$\begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix} =\M \a\b\g\d\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$$
によって
$$f(X,Y)=nx^2+mxy+ly^2$$
が成り立つことがわかる。

　ディリクレ積がwell-defined性についてはめんどくさそうなので省略する。
　$C(D)$がディリクレ積について閉じていること、つまり原始的な二次形式の積が再び原始的となることを示す。
　$f_\sim,g_\sim$の積$F_\sim=[a,b,c]_\sim$が$\gcd(a,b,c)=d>1$を満たすとする。このとき補題5よりある$x,y,z,w$が存在して$f(x,y),g(z,w)$は$d$と互いに素となり、ある整数$X,Y$が存在して
$$f(x,y)g(z,w)=F(X,Y)$$
が成り立つことから$F(X,Y)$も$d$と互いに素となるので$F(X,Y)$は常に$d$で割り切れることに矛盾。よって$d=1$を得る。

　ディリクレ積の結合性についてはめんどくさそうなので省略する。

$I_\sim$の単位性

　$I_\sim$と$[a,b,c]_\sim$のディリクレ積は$[a,B,C]_\sim$となるが、$B$の取り方は$B\equiv b\pmod{2a}$において自由なので$B=b$とでき、主張を得る。

$[a,b,c]_\sim$の可逆性

　$[a,b,c]_\sim$と$[a,-b,c]_\sim=[c,b,a]_\sim$のディリクレ積は$[ac,b,1]_\sim=[1,-b,ac]$となる(このことについてはおまけとして補足する)ので
$$X=\l\{\begin{array}{cl} x-\frac b2y&D\equiv0\pmod4 \\x-\frac{b+1}2y&D\equiv1\pmod4 \end{array}\r.$$
および$Y=y$によって
$$I(X,Y)=x^2-bxy+acy^2$$
が成り立つことから主張を得る。

　$f_\sim^2=I_\sim$ならば$f_\sim=f_\sim^{-1}=[a,-b,c]_\sim$が成り立つので$f=[a,b,c]$と$g=[a,-b,c]$が同値となるような条件を考えればよい。
・$0<|b|< a< c$のときは$f$と$g$は異なる簡約形式を定めるので不適
・$b=0$のとき$f=g$より適当
・$a=b$のとき$g(x+1,y)=f(x,y)$より適当
・$a=c$のとき$g(y,-x)=f(x,y)$より適当
よって主張を得る。

　$D\equiv0\pmod4$かつ$b=0$のとき$ac=-D'$なる互いに素な$a,c$の取り方は$D'$が奇数のとき$2^r$通り、$D'$が偶数のとき$2^{r+1}$通りであり、$a< c$なるものはその半分の$2^{r-1},2^r$通りとなる。$D\equiv1\pmod4$のときは$b$は奇数なので$b\neq0$である。
　あとは$a=c$のとき$b=2c-b'$とおくと$0< b< c$より$c< b'<2c$であり$(X,Y)=(x+y,-x)$によって
$$cX^2+(2c-b')XY+cY^2=b'x^2+b'xy+cy^2$$
が成り立つので$b=a< c$のときと合わせて$D=b(b-4c)$なる互いに素な$b,c\;(b<2c)$の個数を考えればよい。

• $D\equiv1\pmod4$のとき$b$は奇数なので$b$と$b-4c$は互いに素であり、$-D=bd$なる互いに素な$b,d$の取り方は$2^r$通りで$b<2c=(b+d)/2$つまり$b< d$なる取り方は$2^{r-1}$通りである。
• $D\equiv0\pmod4$のとき$b=2b'$とおいて$D'=b'(b'-2c)$を考える。
  • $D'\equiv1\pmod4$のとき$c$は$b$と互いに素、特に奇数であったので
    $$b'(b'-2c)\equiv b'(b'-2)\equiv -1\pmod4$$
    つまり$D'=b'(b'-2c)$なる$b',c$は存在しない。
  • $D'\equiv 2\pmod4$または$D'\equiv4\pmod8$のとき、同様に$c$は奇数$b'$は偶数なので
    $$b'(b'-2c)\equiv b'(b'-2)\equiv0\pmod8$$
    となって$D'=b'(b'-2c)$なる$b',c$は存在しない。
  • $D'\equiv3\pmod4$のとき$-D'=b'd'$なる互いに素な$b',d'$の取り方は$2^r$通りで$b'< c=(b'+d')/2$つまり$b'< d'$なる取り方は$2^{r-1}$通りである。
  • $D'\equiv0\pmod8$のとき、$b'=2b''$とおいて$D'/4=b''(b''-c)$を考えると$-D'/4=b''d''$なる互いに素な$b'',d''$の取り方は$2^{r+1}$通りで$2b''< c=b''+d''$つまり$b''< d''$なる取り方は$2^r$通りである。

　以上より主張を得る。

\begin{eqnarray} b&\equiv&b'\pmod2 \\\frac{D+bb'}2&=&\frac{b^2-4ac+bb'}2\equiv\frac{b+b'}2b\pmod{2a} \\\frac{D+bb'}2&=&\frac{b'^2-4a'c'+bb'}2\equiv\frac{b+b'}2b'\pmod{2a'} \end{eqnarray}
に注意すると$m=2aa'$および
\begin{eqnarray} (a_1,a_2,a_3)&=&(a',a,\frac{b+b'}2) \\(b_1,b_2,b_3)&=&(a'b,ab',\frac{D+bb'}2) \end{eqnarray}
に対して以下に示す補題が適用でき、
$$\frac{b+b'}2B\equiv\farc{D+bb'}2\pmod{2aa'}$$
は
$$B^2-D\equiv(B-b)(B-b')\pmod{4aa'}$$
と同値であることから主張を得る。

　方程式に解が存在すれば
$$a_ia_jx\equiv a_ib_j\equiv a_jb_i\pmod m$$
が成り立たなければならない。
　逆に
$$a_ib_j\equiv a_jb_i\pmod m$$
が成り立つとき、仮定より
$$pm+\sum^n_{k=1}p_ka_k=1$$
なる整数$p,p_k$を取り
$$x=\sum^n_{k=1}p_kb_k$$
とおくと
$$a_ix=\sum^n_{j=1}p_ja_ib_j\equiv\l(\sum^n_{j=1}p_ja_j\r)b_i\equiv b_i\pmod m$$
よりこれがその解となる。
　また$y$も同じ方程式を満たすとき
$$a_k(x-y)\equiv 0\pmod m$$
より
$$x-y\equiv\l(\sum^n_{k=1}p_ka_k\r)(x-y)\equiv\sum^n_{k=1}p_k0=0\pmod m$$
と一意性がわかる。