今日の問題(2020年11月10日)

今日は不等式の証明問題です。

$ad-bc\ne 0$ を満たす正定数$a,b,c,d$ に対して，

${\displaystyle f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}}$ $(x\ge 0)$

とおく．関数$\rho (x,y)$を

${\displaystyle \rho (x,y)=|\log \left(\frac{x}{y}\right)|(x,y>0)}$

で定める．このとき，任意の$x,y>0$に対して，次の二つの不等式が成り立つことを示せ．

1. ${\displaystyle \rho (f(x),f(y))\le |\log \left(\frac{ad}{bc}\right)|.}$

2. ${\displaystyle \rho (f(x),f(y))\le \left|\frac{\sqrt{ad}-\sqrt{bc}}{\sqrt{ad}+\sqrt{bc}}\right|\rho (x,y).}$

(平成22年度東京大学大学院数理科学研究科 専門科目A第7問)