今日の問題(2020年11月10日)

今日は不等式の証明問題です。

$ad-bc≠0 $ を満たす正定数$a,b,c,d $ に対して，

$\displaystyle f(x)=\frac{ax+b}{cx+d} $ $(x\geq0) $

とおく．関数$\rho(x,y) $を

$\displaystyle \rho(x,y)=\left|\log\left(\frac{x}{y}\right)\right| (x,y>0) $

で定める．このとき，任意の$x,y>0 $に対して，次の二つの不等式が成り立つことを示せ．

1. $\displaystyle\rho(f(x),f(y))\leq\left|\log\left(\frac{ad}{bc}\right)\right|. $

2. $\displaystyle\rho(f(x),f(y))\leq\left|\frac{\sqrt{ad}-\sqrt{bc}}{\sqrt{ad}+\sqrt{bc}}\right|\rho(x,y). $

(平成22年度東京大学大学院数理科学研究科 専門科目A第7問)