閉包作用素でみる数学的構造

任意の$i \in I$に対して
$$ \mathrm{Cl} \left( \bigcap_{i \in I} C_i \right) \subseteq \mathrm{Cl} (C_i) = C_i $$
より
$$ \mathrm{Cl} \left( \bigcap_{i \in I} C_i \right) \subseteq \bigcap_{i \in I} C_i $$
である.
また閉包作用素の定義より
$$ \mathrm{Cl} \left( \bigcap_{i \in I} C_i \right) \supseteq \bigcap_{i \in I} C_i $$
であるから
$$ \mathrm{Cl} \left( \bigcap_{i \in I} C_i \right) = \bigcap_{i \in I} C_i $$
がいえる.

$A$の部分集合$S$に対し, 集合
$$ \bigcup \set{\mathrm{Sg}_{\mathbb{A}}(\set{b_1, \dots, b_k}) \setm b_1, \dots, b_k \in S} $$
は$S$を含み, $\mathrm{Sg}_{\mathbb{A}}(S)$に含まれる. したがってこれが$\mathbb{A}$の部分台であることを示せば$\mathrm{Sg}_{\mathbb{A}}(S)$の最小性より
$$ \mathrm{Sg}_{\mathbb{A}}(S) = \bigcup \set{\mathrm{Sg}_{\mathbb{A}}(\set{b_1, \dots, b_k}) \setm b_1, \dots, b_k \in S} $$
となって命題が示される. いま, $\mathbb{A}$の$n$-項演算$f^{\mathbb{A}}$と$a_1, \dots, a_n \in \bigcup \set{\mathrm{Sg}_{\mathbb{A}}(\set{b_1, \dots, b_k}) \setm b_1, \dots, b_k \in S}$を任意にとり, 各$i = 1,\dots,n$に対して$a_i \in \mathrm{Sg}_{\mathbb{A}}\left(\set{b^i_1, \dots, b^i_{k_i}}\right)$となるような$b^i_1, \dots, b^i_{k_i} \in S$を固定する. このとき
$$ B := \bigcup_{i=1}^n \set{b^i_1, \dots, b^i_{k_i}} $$
とおけば, $B$は$S$の有限部分集合で, なおかつ$i = 1, \dots, n$に対して
$$ a_i \in \mathrm{Sg}_{\mathbb{A}}(\set{b^i_1, \dots, b^i_{k_i}}) \subseteq \mathrm{Sg}_{\mathbb{A}}(B) $$
より
$$ f^{\mathbb{A}}(a_1, \dots, a_k) \in \mathrm{Sg}_{\mathbb{A}}(B) \subseteq \bigcup \set{\mathrm{Sg}_{\mathbb{A}}(\set{b_1, \dots, b_k}) \setm b_1, \dots, b_k \in S} $$
となり, よって$\bigcup \set{\mathrm{Sg}_{\mathbb{A}}(\set{b_1, \dots, b_k}) \setm b_1, \dots, b_k \in S}$が$\mathbb{A}$の部分台であることがわかる.

$A$の任意の有限部分集合$B$とその閉包の要素$b \in \mathrm{Cl}(B)$に対し, $A$上の$n$-項演算$f^{\mathbb{A}}_{B, b}$（ただし$n$は$B$の要素数）を
$$ f^{\mathbb{A}}_{B, b} (a_1, \dots, a_n) := \begin{cases} b & B = \set{a_1, \dots, a_n} \\ a_1 & \textrm{otherwise} \end{cases} $$
と定め, それらの演算によって得られる代数系$\mathbb{A} = (A, (f^{\mathbb{A}}_{B, b})_{B, b})$を考える.
$S \subseteq A$を任意にとる.
$f^{\mathbb{A}}_{B, b}$の定め方より, 任意の$B$, $b$および$a_1, \dots, a_n \in \mathrm{Cl}(S)$に対して
$$ f^{\mathbb{A}}_{B, b}(a_1, \dots, a_n) \in \mathrm{Cl}(\set{a_1, \dots, a_n}) \subseteq \mathrm{Cl}(S) $$
が成り立つ. すなわち$\mathrm{Cl}(S)$は$\mathbb{A}$の部分台となるから, $\mathrm{Sg}_{\mathbb{A}}(S)$の最小性より
$$ \mathrm{Sg}_{\mathbb{A}}(S) \subseteq \mathrm{Cl}(S) $$
がいえる.
逆に, $S$の任意の有限部分集合$B = \set{a_1, \dots, a_n}$について, 要素$b \in \mathrm{Cl}(B)$は
$$ b = f^{\mathbb{A}}_{B, b} (a_1, \dots, a_n) $$
と表され, $a_1, \dots, a_n \in B \subseteq S \subseteq \mathrm{Sg}_{\mathbb{A}}(S)$より$b \in \mathrm{Sg}_{\mathbb{A}}(S)$となり, ゆえに
$$ \mathrm{Cl}(B) \subseteq \mathrm{Sg}_{\mathbb{A}}(S) $$
がわかる. $\mathrm{Cl}$が代数的であることより$\mathrm{Cl}(S)$は$\mathrm{Cl}(B)$たちの和集合であったから
$$ \mathrm{Cl}(S) \subseteq \mathrm{Sg}_{\mathbb{A}}(S) $$
が従う. 以上より
$$ \mathrm{Cl}(S) = \mathrm{Sg}_{\mathbb{A}}(S) $$
を得る.

閉包作用素$\mathrm{Cl}$が位相的かつ代数的ならば, 任意の部分集合$S \subseteq X$に対して
$$ \begin{align*} \mathrm{Cl}(S) &= \bigcup \set{ \mathrm{Cl}(\set{x_1, \dots, x_n}) \setm x_1, \dots, x_n \in S } \\ &= \bigcup \set{ \mathrm{Cl}(\set{x_1}) \cup \cdots \cup \mathrm{Cl}(\set{x_n}) \setm x_1, \dots, x_n \in S } \\ &= \bigcup \set{\mathrm{Cl}(\set{x}) \setm x \in S} \end{align*} $$
が成り立つ. よって(1)$\implies$(2)がいえる. そのほかについても容易なので省略する.

前順序集合$(X, \preceq)$の下方集合の族$\set{L_i}_{i \in I}$に対し, 和集合$\bigcup_{i \in I} L_i$は再び下方集合である. ゆえに$X$の任意の部分集合の族$\set{S_i}_{i \in I}$に対して
$$ {\downarrow}_{\preceq}\left( \bigcup_{i \in I} S_i \right) \subseteq {\downarrow}_{\preceq}\left( \bigcup_{i \in I} {\downarrow}_{\preceq}(S_i) \right) = \bigcup_{i \in I} {\downarrow}_{\preceq}(S_i) $$
が成り立つ. 一方, 一般の閉包作用素$\mathrm{Cl}$について, $i \in I$に対して
$$ \mathrm{Cl}\left( \bigcup_{i \in I} S_i \right) \supseteq \mathrm{Cl}(S_i) $$
より
$$ \mathrm{Cl}\left( \bigcup_{i \in I} S_i \right) \supseteq \bigcup_{i \in I} \mathrm{Cl}(S_i) $$
であるから
$$ {\downarrow}_{\preceq}\left( \bigcup_{i \in I} S_i \right) = \bigcup_{i \in I} {\downarrow}_{\preceq}(S_i) $$
がいえる.
以上より補題４を適用して命題がいえる.

$x \in X$に対して
$$ {\downarrow}_{\sqsubseteq_{\mathrm{Cl}}}(\set{x}) = \set{y \in X \setm y \sqsubseteq_{\mathrm{Cl}} x} = \set{y \in X \setm y \in \mathrm{Cl}(\set{x})} = \mathrm{Cl}(\set{x}) $$
と書ける. ゆえに$\mathrm{Cl}$が位相的かつ代数的であるとき補題４と補題５より任意の部分集合$S \subseteq X$について
$$ \mathrm{Cl}(S) = \bigcup \set{\mathrm{Cl}(\set{x}) \setm x \in S} =\bigcup \set{{\downarrow}_{\sqsubseteq_{\mathrm{Cl}}}(\set{x}) \setm x \in S} = {\downarrow}_{\sqsubseteq_{\mathrm{Cl}}}(S) $$
がいえる.

任意の$x, y \in X$に関して
$$ \begin{align*} y \sqsubseteq_{{\downarrow}_{\preceq}} x \iff y \subseteq {\downarrow}_{\preceq}(\set{x}) \iff y \preceq x \end{align*} $$
より従う.

$X$の部分集合$S$を任意に取る. 任意の$x, y \in X$に関して
$$ y \preceq x \iff y = f^{\mathbb{X}}_y(x) $$
が成り立つことより${\downarrow}_{\preceq}(S) = \set{y \in X \setm \exists x \in S: y \preceq x}$は$S$を含み$\mathrm{Sg}_{\mathbb{X}}$に含まれるから, 例のごとく${\downarrow}_{\preceq}(S)$が$\mathbb{X}$の部分台であることがいえればよいが, 任意の$z \in X$と$y \in {\downarrow}_{\preceq}(S)$に対し, $z \preceq y$ならばある$x \in S$が存在して$z \preceq y \preceq x$であるから
$$ f^{\mathbb{X}}_z(y) = z \in {\downarrow}_{\preceq}(S) $$
となり, そうでなければ
$$ f^{\mathbb{X}}_z(y) = y \in {\downarrow}_{\preceq}(S) $$
となり, いずれの場合にも$f^{\mathbb{X}}_z(y) \in {\downarrow}_{\preceq}(S)$であるから${\downarrow}_{\preceq}(S)$は$\mathbb{X}$の部分台であることがわかり, 証明が完了する.