調和積の定義と連結和

多重ゼータ値には調和積というものがあります. この記事ではその定義を確認して, その連結和を見いだすまでの発想を書いていきたいと思います. 多重ゼータ値を${\mathit{n}}^{\mathit{k}}:=\prod _{i=1}^a{n}_i^{k_i}$
$$\begin{array}{r}\zeta (\mathit{k}):=\sum _{0<n_1<\cdots <n_a}\frac{1}{{\mathit{n}}^{\mathit{k}}}\end{array}$$として, と定義します. その積を考えてみます.
$$\begin{array}{rcl}\zeta (\mathit{k})\zeta (\mathit{l})& =& \sum _{\begin{array}{c}0<n_1\cdots <n_a\\ 0<m_1\cdots <m_b\end{array}}\frac{1}{{\mathit{n}}^{\mathit{k}}}\frac{1}{{\mathit{m}}^{\mathit{l}}}\end{array}$$
調和積とは, $n_i,m_j$の間に$n_i<m_j,n_i>m_j{n}_i=m_j$のいずれかの順序を入れて展開していったものです. 具体例で考えてみます. 双方がdepth 1の場合,
$$\begin{array}{rcl}\zeta (k)\zeta (l)& =& \sum _{0<n,m}\frac{1}{n^k{m}^l}\\ & =& \sum _{0<n<m}\frac{1}{n^k{m}^l}+\sum _{0<m<n}\frac{1}{n^k{m}^l}+\sum _{0<n=m}\frac{1}{n^k{m}^l}\\ & =& \zeta (k,l)+\zeta (l,k)+\zeta (k+l)\end{array}$$のようになります. 一般の場合は全てこのように展開するわけにはいかないので, 最後の$n_a,m_b$について考えて, 再帰的に定義してみます.
$$\begin{array}{rcl}\zeta (\mathit{k})\zeta (\mathit{l})& =& \sum _{\begin{array}{c}0<n_1<\cdots <n_a\\ 0<m_1<\cdots <m_b\end{array}}\frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_a^{k_a}{m}_1^{l_1}\cdots m_b^{l_b}}\\ & =& \sum _{\begin{array}{c}0<n_1<\cdots <n_a<m_b\\ 0<m_1<\cdots <m_b\end{array}}\frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_a^{k_a}{m}_1^{l_1}\cdots m_b^{l_b}}\\ & +& \sum _{\begin{array}{c}0<n_1<\cdots <n_a\\ 0<m_1<\cdots <m_b<n_a\end{array}}\frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_a^{k_a}{m}_1^{l_1}\cdots m_b^{l_b}}\\ & +& \sum _{\begin{array}{c}0<n_1<\cdots <n_a=m_b\\ 0<m_1<\cdots <m_b\end{array}}\frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_a^{k_a}{m}_1^{l_1}\cdots m_b^{l_b}}\end{array}$$のようになりますね. これを書き直すと,
$$\begin{array}{rcl}\zeta (\mathit{k})\zeta (\mathit{l})& =& \sum _{\begin{array}{c}0<n_1<\cdots <n_a\\ 0<m_1<\cdots <m_b\end{array}}\frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_a^{k_a}{m}_1^{l_1}\cdots m_b^{l_b}}\\ & =& \sum _{\begin{array}{c}0<n_1<\cdots <n_a<r\\ 0<m_1<\cdots <m_{b-1}<r\end{array}}\frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_a^{k_a}{m}_1^{l_1}\cdots m_{b-1}^{l_{b-1}}{r}^{l_b}}\\ & +& \sum _{\begin{array}{c}0<n_1<\cdots <n_{a-1}<r\\ 0<m_1<\cdots <m_b<r\end{array}}\frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_{a-1}^{k_{a-1}}{m}_1^{l_1}\cdots m_b^{l_b}{r}^{k_a}}\\ & +& \sum _{\begin{array}{c}0<n_1<\cdots <n_{a-1}<r\\ 0<m_1<\cdots <m_{b-1}<r\end{array}}\frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_{a-1}^{k_{a-1}}{m}_1^{l_1}\cdots m_{b-1}^{l_{b-1}}{r}^{k_a+l_b}}\end{array}$$と表すことができます. つまり調和積$\ast$は再帰的に,
$$\begin{array}{rcl}\zeta ((k_1,\dots ,k_a)\ast (l_1,\dots ,l_b))& =& \zeta ((k_1,\dots ,k_{a-1})\ast (l_1,\dots ,l_b),k_a)\\ & +& \zeta ((k_1,\dots ,k_a)\ast (l_1,\dots ,l_{b-1}),l_b)\\ & +& \zeta ((k_1,\dots ,k_{a-1})\ast (l_1,\dots ,l_{b-1}),k_a+l_b)\end{array}$$となることが分かります. そこで, 一般にその途中過程
$$\begin{array}{r}\zeta ((k_1,\dots ,k_a)\ast (l_1,\dots ,l_b),h_1,\dots ,h_c)\end{array}$$を考えてみます. これを具体的に書いてみると,
$$\begin{array}{r}\zeta ((k_1,\dots ,k_a)\ast (l_1,\dots ,l_b),h_1,\dots ,h_c)=\sum _{\begin{array}{c}0<n_1<\cdots <n_a<r_1\\ 0<m_1<\cdots <m_b<r_1\\ r_1<\cdots <r_c\end{array}}\frac{1}{{\mathit{n}}^{\mathit{k}}{\mathit{m}}^{\mathit{l}}{\mathit{r}}^{\mathit{h}}}\end{array}$$というふうになりますね. これを連結和, と考えて$Z(\mathit{k};\mathit{l};\mathit{h})$と書いてみます. すると, その輸送関係式は
$$\begin{array}{rcl}Z(\mathit{k},k;\mathit{l},l;\mathit{h})& =& Z(\mathit{k};\mathit{l},l;k,\mathit{h})+Z(\mathit{k},k;\mathit{l};l,\mathit{h})+Z(\mathit{k};\mathit{l};k+l,\mathit{h})\end{array}$$
となります. しかしこれはdepthごとの輸送になっていて, 矢印記号,
$$\begin{array}{rcl}{\mathit{k}}_{\to }& =& (k_1,\dots ,k_a,1)\\ {\mathit{k}}_{\uparrow }& =& (k_1,\dots ,k_{a-1},k_a+1)\\ {}_{\uparrow }\mathit{k}& =& (k_1+1,\dots ,k_{a-1},k_a)\\ {}_{\leftarrow }\mathit{k}& =& (1,k_1,\dots ,k_{a-1},k_a)\\ {\mathit{k}}_{\downarrow }& =& (k_1,\dots ,k_{a-1},k_a-1)\\ {}_{\downarrow }\mathit{k}& =& (k_1-1,\dots ,k_{a-1},k_a)\end{array}$$で輸送関係式を表すことができていません. 例えば, $k=l=1$とすることにより,
$$\begin{array}{r}Z({\mathit{k}}_{\to };{\mathit{l}}_{\to };\mathit{h})=Z(\mathit{k};{\mathit{l}}_{\to };{}_{\leftarrow }\mathit{h})+Z({\mathit{k}}_{\to };\mathit{l};{}_{\leftarrow }\mathit{h})+Z(\mathit{k};\mathit{l};{}_{\uparrow \leftarrow }\mathit{h})\end{array}$$となりますが, 縦矢印の輸送を表すことができません. ここで, weightごとの輸送関係式を行うために連結和の定義を工夫します.
$$\begin{array}{rcl}Z(\mathit{k},k;\mathit{l},l;\mathit{h})& =& Z(\mathit{k};\mathit{l},l;k,\mathit{h})+Z(\mathit{k},k;\mathit{l};l,\mathit{h})+Z(\mathit{k};\mathit{l};k+l,\mathit{h})\end{array}$$をよく観察してみましょう, 左辺において, $\mathit{k},\mathit{l}$側にあった$k,l$が右辺において, $\mathit{h}$側に一気に輸送されているように見えます. これらを$\mathit{k},\mathit{l}$側にあるとみなすことを考えます. すると以下のような見方ができます.
$$\begin{array}{rcl}& & \sum _{\begin{array}{c}0<n_1<\cdots <n_a<n_{a+1}<r_1\\ 0<m_1<\cdots <m_b<m_{b+1}<r_1\\ r_1<\cdots <r_c\end{array}}\frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_a^{k_a}{n}_{a+1}^k{m}_1^{l_1}\cdots m_b^{l_b}{m}_{b+1}^l{r}_1^{h_1}\cdots r_c^{h_c}}\\ & =& \sum _{\begin{array}{c}0<n_1<\cdots <n_a<n_{a+1}=r_0\\ 0<m_1<\cdots <m_b<m_{b+1}<r_0\\ r_0<r_1<\cdots <r_c\end{array}}\frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_a^{k_a}{n}_{a+1}^k{m}_1^{l_1}\cdots m_b^{l_b}{m}_{b+1}^l{r}_1^{h_1}\cdots r_c^{h_c}}\\ & +& \sum _{\begin{array}{c}0<n_1<\cdots <n_a<n_{a+1}<r_0\\ 0<m_1<\cdots <m_b<m_{b+1}=r_0\\ r_0<r_1<\cdots <r_c\end{array}}\frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_a^{k_a}{n}_{a+1}^k{m}_1^{l_1}\cdots m_b^{l_b}{m}_{b+1}^l{r}_1^{h_1}\cdots r_c^{h_c}}\\ & +& \sum _{\begin{array}{c}0<n_1<\cdots <n_a<n_{a+1}=r_0\\ 0<m_1<\cdots <m_b<m_{b+1}=r_0\\ r_0<r_1<\cdots <r_c\end{array}}\frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_a^{k_a}{n}_{a+1}^k{m}_1^{l_1}\cdots m_b^{l_b}{m}_{b+1}^l{r}_1^{h_1}\cdots r_c^{h_c}}\end{array}$$$(\mathit{k},k)$を改めて$\mathit{k}$と置くなどして改めると,
$$\begin{array}{rcl}& & \sum _{\begin{array}{c}0<n_1<\cdots <n_a<r_1\\ 0<m_1<\cdots <m_b<r_1\\ r_1<\cdots <r_c\end{array}}\frac{1}{{\mathit{n}}^{\mathit{k}}{\mathit{m}}^{\mathit{l}}{\mathit{r}}^{\mathit{h}}}\\ & =& \sum _{\begin{array}{c}0<n_1<\cdots <n_a=r_0\\ 0<m_1<\cdots <m_b<r_0\\ r_0<r_1<\cdots <r_c\end{array}}\frac{1}{{\mathit{n}}^{\mathit{k}}{\mathit{m}}^{\mathit{l}}{\mathit{r}}^{\mathit{h}}}+\sum _{\begin{array}{c}0<n_1<\cdots <n_a<r_0\\ 0<m_1<\cdots <m_b=r_0\\ r_0<r_1<\cdots <r_c\end{array}}\frac{1}{{\mathit{n}}^{\mathit{k}}{\mathit{m}}^{\mathit{l}}{\mathit{r}}^{\mathit{h}}}+\sum _{\begin{array}{c}0<n_1<\cdots <n_a=r_0\\ 0<m_1<\cdots <m_b=r_0\\ r_0<r_1<\cdots <r_c\end{array}}\frac{1}{{\mathit{n}}^{\mathit{k}}{\mathit{m}}^{\mathit{l}}{\mathit{r}}^{\mathit{h}}}\end{array}$$よってあらためて,
$$\begin{array}{r}Z(\mathit{k};\mathit{l};\mathit{h}):=\sum _{\begin{array}{c}0<n_1<\cdots <n_a=r_1\\ 0<m_1<\cdots <m_b=r_1\\ r_1<\cdots <r_c\end{array}}\frac{1}{{\mathit{n}}^{\mathit{k}}{\mathit{m}}^{\mathit{l}}{\mathit{r}}^{\mathit{h}}}\end{array}$$と置いてみると, 上の輸送関係式は,
$$\begin{array}{r}Z(\mathit{k},0;\mathit{l},0;\mathit{h})=Z(\mathit{k};\mathit{l},0;0,\mathit{h})+Z(\mathit{k},0;\mathit{l};0,\mathit{h})+Z(\mathit{k};\mathit{l};0,\mathit{h})\end{array}$$さて, 輸送関係式に$0$を含んだインデックスが現れることは矢印記法においては好ましくないので, 再び定義を工夫します. 今度は最初から$\mathit{k},\mathit{l}$を下げて定義してみましょう.
$$\begin{array}{r}Z(\mathit{k};\mathit{l};\mathit{h}):=\sum _{\begin{array}{c}0<n_1<\cdots <n_a=r_1\\ 0<m_1<\cdots <m_b=r_1\\ r_1<\cdots <r_c\end{array}}\frac{1}{{\mathit{n}}^{{\mathit{k}}_{\downarrow }}{\mathit{m}}^{{\mathit{l}}_{\downarrow }}{\mathit{r}}^{\mathit{h}}}\end{array}$$この効果は上の$0$をつける操作が矢印記号で表すことができるようになるということです. それによって, 上の式は,
$$\begin{array}{rcl}Z({\mathit{k}}_{\to };{\mathit{l}}_{\to };\mathit{h})& =& Z({\mathit{k}}_{\uparrow };{\mathit{l}}_{\to };0,\mathit{h})+Z({\mathit{k}}_{\to };{\mathit{l}}_{\uparrow };0,\mathit{h})+Z({\mathit{k}}_{\uparrow };{\mathit{l}}_{\uparrow };0,\mathit{h})\end{array}$$さて, $\mathit{h}$側には$0$が出てきていますが, ここで定義から明らかに分かる輸送関係式,
$$\begin{array}{r}Z({\mathit{k}}_{\uparrow };\mathit{l};\mathit{h})=Z(\mathit{k};{\mathit{l}}_{\uparrow };\mathit{h})=Z(\mathit{k};\mathit{l};{}_{\uparrow }\mathit{h})\end{array}$$によって,
$$\begin{array}{rcl}Z({\mathit{k}}_{\uparrow };{\mathit{l}}_{\to };0,\mathit{h})+Z({\mathit{k}}_{\to };{\mathit{l}}_{\uparrow };0,\mathit{h})+Z({\mathit{k}}_{\uparrow };{\mathit{l}}_{\uparrow };0,\mathit{h})& =& Z(\mathit{k};{\mathit{l}}_{\to };{}_{\leftarrow }\mathit{h})+Z({\mathit{k}}_{\to };\mathit{l};{}_{\leftarrow }\mathit{h})+Z(\mathit{k};\mathit{l};{}_{\uparrow \leftarrow }\mathit{h})\end{array}$$よって, まとめると,
$$\begin{array}{r}Z(\mathit{k};\mathit{l};\mathit{h}):=\sum _{\begin{array}{c}0<n_1<\cdots <n_a=r_1\\ 0<m_1<\cdots <m_b=r_1\\ r_1<\cdots <r_c\end{array}}\frac{1}{{\mathit{n}}^{\mathit{k}}{\mathit{m}}^{\mathit{l}}{\mathit{r}}^{\mathit{h}}}\end{array}$$と定義したとき,

参考文献

S. Seki, Connectors, arXiv:2006.09076