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既約位相空間について

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既約な位相空間

位相空間$X\neq\varnothing$が条件
$X$の空でない閉集合$Y,Z$で$X=Y\cup Z$を満たすものは存在しない．
を満たすとき，$X$は既約であるという．
部分集合$Y\subseteq X$が条件
$Y$に$X$からの相対位相を入れると，既約になる．
を満たすとき，$Y$は既約部分集合であるという．
既約部分集合かつ閉集合であるものを既約閉集合という．

既約な位相空間の開集合は既約である．

$X$を既約な位相空間，$O$をその開集合とする．$O$が既約であることを示したら良い．$X=O$のときは明らかゆえ$X\neq O$のときについて考える．$O$における閉集合$F_1,F_2$が$O=F_1\cup F_2$を満たしたとする．$X$の閉集合$G_1,G_2$が存在して，$i=1,2$に対して$F_i=G_i\cap O$を満たす．このとき，$X=(G_1\cup G_2)\cup(X\setminus O)$

が成立する．$X\neq O$ゆえ$G_i=\varnothing$なる$i\in\{1,2\}$が存在する．よって，$F_i=\varnothing$なる$i\in\{1,2\}$が存在するので$O$は既約である．

既約部分集合の閉包は既約である．

$X$を位相空間，$Y$を既約部分集合とする．$X$における$Y$の閉包$\overline{Y}$が既約であることを示したら良い．$O$における閉集合$F_1,F_2$が$\overline{Y}=F_1\cup F_2$を満たしたとする．$Y=(F_1\cap Y)\cup(F_2\cap Y)$であるが，$F_1\cap Y,F_2\cap Y$は$Y$の閉集合である．$Y$は既約ゆえ$i=1,2$が存在して$F_i\cap Y=Y$即ち$Y\subseteq F_i$が成立する．両辺の$X$における閉包をとって，$\overline{Y}\subseteq F_i$即ち$\overline{Y}=F_i$となる．よって，$\overline{Y}$は既約である．

既約集合の連続写像による像は既約である．

$f:X\rightarrow Y$を連続写像，$F\subseteq X$を既約集合とする．$f(F)$が既約であることを示したらよい．既約でないと仮定する．$f(F)$を含まない$Y$の閉集合$G_1,G_2$が存在して$f(F)\subseteq G_1\cup G_2$を満たす．一方$F\subseteq f^{-1}f(F)\subseteq f^{-1}(G_1)\cup f^{-1}(G_2)$が成立する．$F$は既約ゆえある$i=1,2$が存在して$F\subseteq f^{-1}(G_i)$となる．よって，$f(F)\subseteq ff^{-1}(G_i)\subseteq G_i$となるが，$G_i$は$f(F)$を含まないので矛盾．よって，$f(F)$は既約である．

$X$を位相空間とする．部分集合$Y\subseteq X$に対して

$t(Y)=\left\{Z\subseteq X\middle|Z\subseteq Yで相対位相に関して既約閉集合\right\}$

とおく．このように定めた$t$について次が成立する．

$t(\varnothing)=\varnothing.$
$X$の閉集合$Y_1\subseteq Y_2$に対して$t(Y_1)\subseteq t(Y_2)$が成立する
$Y_1,Y_2$が閉集合ならば$t(Y_1\cup Y_2)=t(Y_1)\cup t(Y_2)$が成立する．
$\{Y_i\}$が閉集合ならば$t(\cap Y_i)=\cap t(Y_i)$が成立する．

既約空間が空でないことから従う．
$F\in t(Y_1)$を任意の元とする．$F\subseteq Y_1\subseteq Y_2$である．$F\notin t(Y_2)$と仮定する．$Y_2$における閉集合$F\neq F_1,F_2$が存在して$F=F_1\cup F_2$となる．$Y_1\subseteq Y_2$は閉集合列ゆえ$F_1,F_2$は$Y_1$の閉集合でもある．$F$の$Y_1$における既約性より$F=F_i$なる$i=1,2$が存在するがこれは矛盾．よって，$F\in t(Y_2)$である．
(2)より$\supseteq$が従うので逆の包含を示す．$F\in t(Y_1)$を任意の元とする．$F\subseteq Y_1\cup Y_2$である．$F\notin t(Y_1\cup Y_2)$だとするとある閉集合$F\neq F_1,F_2\subseteq Y_1\cup Y_2$が存在して$F=F_1\cup F_2$となる．$F\subseteq Y_1$ゆえ$F=(F_1\cap Y_1)\cup(F_2\cap Y_1)$となる．$F$の$Y_1$における既約性よりある$i=1,2$が存在して$F\subseteq F_i\cap Y$即ち$F=F_i$となる．これは矛盾である．よって，$F\in t(Y_1\cup Y_2)$である．
(2)より$\subseteq$が従うので逆の包含を示す．$F\in\cap t(Y_i)$を任意の元とする．$F\subseteq\cap Y_i$なのは明らか．$F\notin t(\cap Y_i)$だと仮定して矛盾を導く．ある閉集合$F\neq F_1,F_2$が存在して$F=F_1\cup F_2$となる．添字$i$をとる．$F\subseteq\cap Y_i$ゆえ$F=(F_1\cap Y_i)\cup(F_2\cap Y_i)$となる．$F$の$Y_i$における既約性よりある$j=1,2$が存在して$F\subseteq F_j\cap Y_i$即ち$F=F_j$となる．これは矛盾である．よって，$F\in\cap t(Y_i)$である．

命題5より$t(X)$には

$\displaystyle\left\{t(Y)\middle|Y\subseteq Xは既約閉集合\right\}$

を閉集合とする位相をいれることができる．

$f:X\rightarrow Y$を位相空間の連続写像とする．命題3と命題4より$F\in t(X)$に対して$\overline{f(F)}\in t(Y)$が成立する．このようにして$t(f):t(X)\ni F\mapsto\overline{f(F)}\in t(Y)$が定められる．

上の$t(f):t(X)\rightarrow t(Y)$は連続写像である．

$t(Y)$の閉集合は$Y$の閉集合$Z\subseteq Y$を用いて$t(Z)$と表される．$f^{-1}(F)\subseteq X$は閉集合ゆえ$t(f)^{-1}(t(Z))=t(f^{-1}(Z))$が成立することを示したらよい．

$F\in t(f)^{-1}(t(Z))\subseteq t(X)$を任意の元とする．$t(Z)\ni t(f)(F)=\overline{f(F)}$ゆえ$\overline{f(F)}\subseteq Z$となる．よって，$F\subseteq f^{-1}(f(Z))\subseteq f^{-1}(\overline{f(Z)})\subseteq f^{-1}(\overline{f(F)})\subseteq f^{-1}(Z)$となる．$F\in t(X)$ゆえ$F$は既約であるから閉集合$f^{-1}(Z)$の中でも既約である．よって，$F\in t(f^{-1}(Z))$となる．

$F\in t(f^{-1}(Z))$を任意の元とする．$F$は$X$の既約閉集合ゆえその像の閉包$\overline{f(F)}$も既約である．$F\subseteq f^{-1}(Z)$ゆえ$f(F)\subseteq Z$を得るが$Z$は閉集合ゆえ$\overline{f(F)}\subseteq Z$となり$t(f)(F)=\overline{f(F)}\in t(Z)$即ち$F\in t(f)^{-1}(t(Z))$を得る．