1
大学数学基礎解説
文献あり

既約位相空間について

590
0
$$$$
既約な位相空間
  1. 位相空間$X\neq\varnothing$が条件
    $X$の空でない閉集合$Y,Z$で$X=Y\cup Z$を満たすものは存在しない.
    を満たすとき,$X$は既約であるという.

  2. 部分集合$Y\subseteq X$が条件
    $Y$に$X$からの相対位相を入れると,既約になる.
    を満たすとき,$Y$は既約部分集合であるという.

  3. 既約部分集合かつ閉集合であるものを既約閉集合という.

既約な位相空間の開集合は既約である.

$X$を既約な位相空間,$O$をその開集合とする.$O$が既約であることを示したら良い.$X=O$のときは明らかゆえ$X\neq O$のときについて考える.$O$における閉集合$F_1,F_2$$O=F_1\cup F_2$を満たしたとする.$X$の閉集合$G_1,G_2$が存在して,$i=1,2$に対して$F_i=G_i\cap O$を満たす.このとき,$X=(G_1\cup G_2)\cup(X\setminus O)$

が成立する.$X\neq O$ゆえ$G_i=\varnothing$なる$i\in\{1,2\}$が存在する.よって,$F_i=\varnothing$なる$i\in\{1,2\}$が存在するので$O$は既約である.

既約部分集合の閉包は既約である.

$X$を位相空間,$Y$を既約部分集合とする.$X$における$Y$の閉包$\overline{Y}$が既約であることを示したら良い.$O$における閉集合$F_1,F_2$$\overline{Y}=F_1\cup F_2$を満たしたとする.$Y=(F_1\cap Y)\cup(F_2\cap Y)$であるが,$F_1\cap Y,F_2\cap Y$$Y$の閉集合である.$Y$は既約ゆえ$i=1,2$が存在して$F_i\cap Y=Y$即ち$Y\subseteq F_i$が成立する.両辺の$X$における閉包をとって,$\overline{Y}\subseteq F_i$即ち$\overline{Y}=F_i$となる.よって,$\overline{Y}$は既約である.

既約集合の連続写像による像は既約である.

$f:X\rightarrow Y$を連続写像,$F\subseteq X$を既約集合とする.$f(F)$が既約であることを示したらよい.既約でないと仮定する.$f(F)$を含まない$Y$の閉集合$G_1,G_2$が存在して$f(F)\subseteq G_1\cup G_2$を満たす.一方$F\subseteq f^{-1}f(F)\subseteq f^{-1}(G_1)\cup f^{-1}(G_2)$が成立する.$F$は既約ゆえある$i=1,2$が存在して$F\subseteq f^{-1}(G_i)$となる.よって,$f(F)\subseteq ff^{-1}(G_i)\subseteq G_i$となるが,$G_i$$f(F)$を含まないので矛盾.よって,$f(F)$は既約である.

$X$を位相空間とする.部分集合$Y\subseteq X$に対して

$t(Y)=\left\{Z\subseteq X\middle|Z\subseteq Yで相対位相に関して既約閉集合\right\}$

とおく.このように定めた$t$について次が成立する.

  1. $t(\varnothing)=\varnothing.$

  2. $X$の閉集合$Y_1\subseteq Y_2$に対して$t(Y_1)\subseteq t(Y_2)$が成立する

  3. $Y_1,Y_2$が閉集合ならば$t(Y_1\cup Y_2)=t(Y_1)\cup t(Y_2)$が成立する.

  4. $\{Y_i\}$が閉集合ならば$t(\cap Y_i)=\cap t(Y_i)$が成立する.

  1. 既約空間が空でないことから従う.

  2. $F\in t(Y_1)$を任意の元とする.$F\subseteq Y_1\subseteq Y_2$である.$F\notin t(Y_2)$と仮定する.$Y_2$における閉集合$F\neq F_1,F_2$が存在して$F=F_1\cup F_2$となる.$Y_1\subseteq Y_2$は閉集合列ゆえ$F_1,F_2$$Y_1$の閉集合でもある.$F$$Y_1$における既約性より$F=F_i$なる$i=1,2$が存在するがこれは矛盾.よって,$F\in t(Y_2)$である.

  3. (2)より$\supseteq$が従うので逆の包含を示す.$F\in t(Y_1)$を任意の元とする.$F\subseteq Y_1\cup Y_2$である.$F\notin t(Y_1\cup Y_2)$だとするとある閉集合$F\neq F_1,F_2\subseteq Y_1\cup Y_2$が存在して$F=F_1\cup F_2$となる.$F\subseteq Y_1$ゆえ$F=(F_1\cap Y_1)\cup(F_2\cap Y_1)$となる.$F$$Y_1$における既約性よりある$i=1,2$が存在して$F\subseteq F_i\cap Y$即ち$F=F_i$となる.これは矛盾である.よって,$F\in t(Y_1\cup Y_2)$である.

  4. (2)より$\subseteq$が従うので逆の包含を示す.$F\in\cap t(Y_i)$を任意の元とする.$F\subseteq\cap Y_i$なのは明らか.$F\notin t(\cap Y_i)$だと仮定して矛盾を導く.ある閉集合$F\neq F_1,F_2$が存在して$F=F_1\cup F_2$となる.添字$i$をとる.$F\subseteq\cap Y_i$ゆえ$F=(F_1\cap Y_i)\cup(F_2\cap Y_i)$となる.$F$$Y_i$における既約性よりある$j=1,2$が存在して$F\subseteq F_j\cap Y_i$即ち$F=F_j$となる.これは矛盾である.よって,$F\in\cap t(Y_i)$である.

命題5より$t(X)$には

$\displaystyle\left\{t(Y)\middle|Y\subseteq Xは既約閉集合\right\}$

を閉集合とする位相をいれることができる.

$f:X\rightarrow Y$を位相空間の連続写像とする.命題3と命題4より$F\in t(X)$に対して$\overline{f(F)}\in t(Y)$が成立する.このようにして$t(f):t(X)\ni F\mapsto\overline{f(F)}\in t(Y)$が定められる.

上の$t(f):t(X)\rightarrow t(Y)$は連続写像である.

$t(Y)$の閉集合は$Y$の閉集合$Z\subseteq Y$を用いて$t(Z)$と表される.$f^{-1}(F)\subseteq X$は閉集合ゆえ$t(f)^{-1}(t(Z))=t(f^{-1}(Z))$が成立することを示したらよい.

$F\in t(f)^{-1}(t(Z))\subseteq t(X)$を任意の元とする.$t(Z)\ni t(f)(F)=\overline{f(F)}$ゆえ$\overline{f(F)}\subseteq Z$となる.よって,$F\subseteq f^{-1}(f(Z))\subseteq f^{-1}(\overline{f(Z)})\subseteq f^{-1}(\overline{f(F)})\subseteq f^{-1}(Z)$となる.$F\in t(X)$ゆえ$F$は既約であるから閉集合$f^{-1}(Z)$の中でも既約である.よって,$F\in t(f^{-1}(Z))$となる.

$F\in t(f^{-1}(Z))$を任意の元とする.$F$$X$の既約閉集合ゆえその像の閉包$\overline{f(F)}$も既約である.$F\subseteq f^{-1}(Z)$ゆえ$f(F)\subseteq Z$を得るが$Z$は閉集合ゆえ$\overline{f(F)}\subseteq Z$となり$t(f)(F)=\overline{f(F)}\in t(Z)$即ち$F\in t(f)^{-1}(t(Z))$を得る.

よって,$t(f)$の逆像は閉集合を閉集合に移すので連続写像である.

上の諸々の命題はスキームが多様体を一般化した概念であることを示すのに使われている。ハーツホーンを参照せよ(してね)。

参考文献

[1]
Hartshone, 代数幾何学1, Springer, 2004
投稿日:2023125

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。

投稿者

コメント

他の人のコメント

コメントはありません。
読み込み中...
読み込み中