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既約位相空間について

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既約な位相空間

位相空間 $X \neq \emptyset$ が条件
$X$ の空でない閉集合 $Y, Z$ で $X = Y \cup Z$ を満たすものは存在しない．
を満たすとき， $X$ は既約であるという．
部分集合 $Y \subseteq X$ が条件
$Y$ に $X$ からの相対位相を入れると，既約になる．
を満たすとき， $Y$ は既約部分集合であるという．
既約部分集合かつ閉集合であるものを既約閉集合という．

既約な位相空間の開集合は既約である．

$X$ を既約な位相空間， $O$ をその開集合とする． $O$ が既約であることを示したら良い． $X = O$ のときは明らかゆえ $X \neq O$ のときについて考える． $O$ における閉集合 $F_{1}, F_{2}$ が $O = F_{1} \cup F_{2}$ を満たしたとする． $X$ の閉集合 $G_{1}, G_{2}$ が存在して， $i = 1, 2$ に対して $F_{i} = G_{i} \cap O$ を満たす．このとき， $X = (G_{1} \cup G_{2}) \cup (X ∖ O)$

が成立する． $X \neq O$ ゆえ $G_{i} = \emptyset$ なる $i \in {1, 2}$ が存在する．よって， $F_{i} = \emptyset$ なる $i \in {1, 2}$ が存在するので $O$ は既約である．

既約部分集合の閉包は既約である．

$X$ を位相空間， $Y$ を既約部分集合とする． $X$ における $Y$ の閉包 $\overset{―}{Y}$ が既約であることを示したら良い． $O$ における閉集合 $F_{1}, F_{2}$ が $\overset{―}{Y} = F_{1} \cup F_{2}$ を満たしたとする． $Y = (F_{1} \cap Y) \cup (F_{2} \cap Y)$ であるが， $F_{1} \cap Y, F_{2} \cap Y$ は $Y$ の閉集合である． $Y$ は既約ゆえ $i = 1, 2$ が存在して $F_{i} \cap Y = Y$ 即ち $Y \subseteq F_{i}$ が成立する．両辺の $X$ における閉包をとって， $\overset{―}{Y} \subseteq F_{i}$ 即ち $\overset{―}{Y} = F_{i}$ となる．よって， $\overset{―}{Y}$ は既約である．

既約集合の連続写像による像は既約である．

$f : X \to Y$ を連続写像， $F \subseteq X$ を既約集合とする． $f (F)$ が既約であることを示したらよい．既約でないと仮定する． $f (F)$ を含まない $Y$ の閉集合 $G_{1}, G_{2}$ が存在して $f (F) \subseteq G_{1} \cup G_{2}$ を満たす．一方 $F \subseteq f^{- 1} f (F) \subseteq f^{- 1} (G_{1}) \cup f^{- 1} (G_{2})$ が成立する． $F$ は既約ゆえある $i = 1, 2$ が存在して $F \subseteq f^{- 1} (G_{i})$ となる．よって， $f (F) \subseteq f f^{- 1} (G_{i}) \subseteq G_{i}$ となるが， $G_{i}$ は $f (F)$ を含まないので矛盾．よって， $f (F)$ は既約である．

$X$ を位相空間とする．部分集合 $Y \subseteq X$ に対して

$t (Y) = {Z \subseteq X | Z \subseteq Y で相対位相に関して既約閉集合}$

とおく．このように定めた $t$ について次が成立する．

$t (\emptyset) = \emptyset .$
$X$ の閉集合 $Y_{1} \subseteq Y_{2}$ に対して $t (Y_{1}) \subseteq t (Y_{2})$ が成立する
$Y_{1}, Y_{2}$ が閉集合ならば $t (Y_{1} \cup Y_{2}) = t (Y_{1}) \cup t (Y_{2})$ が成立する．
${Y_{i}}$ が閉集合ならば $t (\cap Y_{i}) = \cap t (Y_{i})$ が成立する．

既約空間が空でないことから従う．
$F \in t (Y_{1})$ を任意の元とする． $F \subseteq Y_{1} \subseteq Y_{2}$ である． $F \notin t (Y_{2})$ と仮定する． $Y_{2}$ における閉集合 $F \neq F_{1}, F_{2}$ が存在して $F = F_{1} \cup F_{2}$ となる． $Y_{1} \subseteq Y_{2}$ は閉集合列ゆえ $F_{1}, F_{2}$ は $Y_{1}$ の閉集合でもある． $F$ の $Y_{1}$ における既約性より $F = F_{i}$ なる $i = 1, 2$ が存在するがこれは矛盾．よって， $F \in t (Y_{2})$ である．
(2)より $\supseteq$ が従うので逆の包含を示す． $F \in t (Y_{1})$ を任意の元とする． $F \subseteq Y_{1} \cup Y_{2}$ である． $F \notin t (Y_{1} \cup Y_{2})$ だとするとある閉集合 $F \neq F_{1}, F_{2} \subseteq Y_{1} \cup Y_{2}$ が存在して $F = F_{1} \cup F_{2}$ となる． $F \subseteq Y_{1}$ ゆえ $F = (F_{1} \cap Y_{1}) \cup (F_{2} \cap Y_{1})$ となる． $F$ の $Y_{1}$ における既約性よりある $i = 1, 2$ が存在して $F \subseteq F_{i} \cap Y$ 即ち $F = F_{i}$ となる．これは矛盾である．よって， $F \in t (Y_{1} \cup Y_{2})$ である．
(2)より $\subseteq$ が従うので逆の包含を示す． $F \in \cap t (Y_{i})$ を任意の元とする． $F \subseteq \cap Y_{i}$ なのは明らか． $F \notin t (\cap Y_{i})$ だと仮定して矛盾を導く．ある閉集合 $F \neq F_{1}, F_{2}$ が存在して $F = F_{1} \cup F_{2}$ となる．添字 $i$ をとる． $F \subseteq \cap Y_{i}$ ゆえ $F = (F_{1} \cap Y_{i}) \cup (F_{2} \cap Y_{i})$ となる． $F$ の $Y_{i}$ における既約性よりある $j = 1, 2$ が存在して $F \subseteq F_{j} \cap Y_{i}$ 即ち $F = F_{j}$ となる．これは矛盾である．よって， $F \in \cap t (Y_{i})$ である．

命題5より $t (X)$ には

${t (Y) | Y \subseteq X は既約閉集合}$

を閉集合とする位相をいれることができる．

$f : X \to Y$ を位相空間の連続写像とする．命題3と命題4より $F \in t (X)$ に対して $\overset{―}{f (F)} \in t (Y)$ が成立する．このようにして $t (f) : t (X) ∋ F \mapsto \overset{―}{f (F)} \in t (Y)$ が定められる．

上の $t (f) : t (X) \to t (Y)$ は連続写像である．

$t (Y)$ の閉集合は $Y$ の閉集合 $Z \subseteq Y$ を用いて $t (Z)$ と表される． $f^{- 1} (F) \subseteq X$ は閉集合ゆえ $t (f)^{- 1} (t (Z)) = t (f^{- 1} (Z))$ が成立することを示したらよい．

$F \in t (f)^{- 1} (t (Z)) \subseteq t (X)$ を任意の元とする． $t (Z) ∋ t (f) (F) = \overset{―}{f (F)}$ ゆえ $\overset{―}{f (F)} \subseteq Z$ となる．よって， $F \subseteq f^{- 1} (f (Z)) \subseteq f^{- 1} (\overset{―}{f (Z)}) \subseteq f^{- 1} (\overset{―}{f (F)}) \subseteq f^{- 1} (Z)$ となる． $F \in t (X)$ ゆえ $F$ は既約であるから閉集合 $f^{- 1} (Z)$ の中でも既約である．よって， $F \in t (f^{- 1} (Z))$ となる．

$F \in t (f^{- 1} (Z))$ を任意の元とする． $F$ は $X$ の既約閉集合ゆえその像の閉包 $\overset{―}{f (F)}$ も既約である． $F \subseteq f^{- 1} (Z)$ ゆえ $f (F) \subseteq Z$ を得るが $Z$ は閉集合ゆえ $\overset{―}{f (F)} \subseteq Z$ となり $t (f) (F) = \overset{―}{f (F)} \in t (Z)$ 即ち $F \in t (f)^{- 1} (t (Z))$ を得る．