log Γ(z)のフーリエ級数展開

$$\begin{array}{rcl}\log x& =& {\int }_1^x\frac{1}{u}du\\ & =& {\int }_1^x{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-ut}dtdu\\ & =& {\int }_0^{\mathrm{\infty }}(e^{-t}-e^{-xt})\frac{dt}{t}\end{array}$$
とわかる。

　一つ目の等号は
$$\begin{array}{rcl}\gamma & =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}-\log n)\\ & =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\sum _{k=1}^n{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-kt}dt-{\int }_0^{\mathrm{\infty }}(e^{-t}-e^{-nt})\frac{dt}{t})\\ & =& {\int }_0^{\mathrm{\infty }}(\frac{e^{-t}}{1-e^{-t}}-\frac{e^{-t}}{t})dt\end{array}$$
とわかる。
　二つ目の等号は
$$-\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(z)}{\mathrm{\Gamma }(z)}=\gamma +\frac{1}{z}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{z+n}-\frac{1}{n})$$
より
$$\begin{array}{rcl}\gamma & =& -{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(1)\\ & =& -{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-t}\log tdt\\ & =& -{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}(e^{-u}-e^{-ut})e^{-t}dt\frac{du}{u}\\ & =& {\int }_0^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{1+u}-e^{-u})\frac{du}{u}\end{array}$$
であることと任意の$\alpha >0$に対し
$$\begin{array}{rcl}& & {\int }_0^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{1+t^{\alpha }}-\frac{1}{1+t})\frac{dt}{t}\\ & =& {\int }_0^{\mathrm{\infty }}(\frac{u^{\alpha -1}}{1+u^{\alpha }}-\frac{1}{1+u})du(t=1/u)\\ & =& {[\frac{1}{\alpha }\log (1+u^{\alpha })-\log (1+u)]}_0^{\mathrm{\infty }}=0\end{array}$$
が成り立つことからわかる。

$$\begin{array}{rcl}\log (1-e^{2\pi ix})& =& \log (2\sin \pi x)+\log (-i{e}^{\pi ix})\\ & =& \log (2\sin \pi x)+i\pi (x-\frac{1}{2})\\ & =& -\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{e^{2\pi inx}}{n}\\ & =& -\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos 2\pi nx+i\sin 2\pi nx}{n}\end{array}$$
の実部虚部を比較することでわかる。

$$\gamma ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}(\frac{e^{-t}}{1-e^{-t}}-\frac{e^{-t}}{t})dt$$
に注意すると$\mathrm{Re}(z)>0$において
$$\begin{array}{rcl}-\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(z)}{\mathrm{\Gamma }(z)}& =& \gamma +\frac{1}{z}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{z+n}-\frac{1}{n})\\ & =& \gamma +\frac{1}{z}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}(e^{-(z+n)t}-e^{-nt})dt\\ & =& \gamma +{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-zt}dt+{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{e^{-(z+1)t}-e^{-t}}{1-e^{-t}}dt\\ & =& {\int }_0^{\mathrm{\infty }}(\frac{e^{-zt}}{1-e^{-t}}-\frac{e^{-t}}{t})dt\end{array}$$
が成り立つのでこれを$z:1\to z$で積分することで
$$\begin{array}{rcl}\log \mathrm{\Gamma }(z)& =& {\int }_0^{\mathrm{\infty }}((z-1)\frac{e^{-t}}{t}-\frac{1}{t}\frac{e^{-t}-e^{-zt}}{1-e^{-t}})dt\\ & =& {\int }_0^{\mathrm{\infty }}(z{e}^{-t}-\frac{1-e^{-zt}}{1-e^{-t}})\frac{dt}{t}\end{array}$$
とわかる。

　$\log \mathrm{\Gamma }(x)/\sqrt{2\pi }$の$0<x<1$の部分を周期$1$の関数とみなしてフーリエ級数展開
$$\log \frac{\mathrm{\Gamma }(x)}{\sqrt{2\pi }}=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n\cos 2\pi nx+b_n\sin 2\pi nx)$$
を考える。
　$a_n$については相反公式
$$\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(1-x)=\frac{\pi }{\sin \pi x}$$
の対数を取ることで
$$\begin{array}{rcl}\log \frac{\mathrm{\Gamma }(x)}{\sqrt{2\pi }}+\log \frac{\mathrm{\Gamma }(1-x)}{\sqrt{2\pi }}& =& a_0+2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\cos 2\pi nx\\ & =& -\log (2\sin \pi x)\\ & =& \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}\cos 2\pi nx\end{array}$$
と決定できる。
　また$b_n$については補題4より
$$\begin{array}{rcl}\frac{b_n}{2}& =& {\int }_0^1\log \mathrm{\Gamma }(x)\sin 2\pi nxdx\\ & =& {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^1(x{e}^{-t}-\frac{1-e^{-xt}}{1-e^{-t}})\frac{\sin 2\pi nx}{t}dxdt\end{array}$$
と表すと
$$\begin{array}{rcl}{\int }_0^1\sin 2\pi nxdx& =& 0\\ {\int }_0^{1}x\sin 2\pi nxdx& =& -\frac{1}{2\pi n}\\ {\int }_0^1{e}^{-xt}\sin 2\pi nxdx& =& \mathrm{Im}\left({\int }_0^1{e}^{-(t-2\pi in)x}dx\right)\\ & =& \mathrm{Im}\left(\frac{1-e^{-t+2\pi in}}{t-2\pi ni}\right)\\ & =& \frac{2\pi n}{t^2+4{\pi }^2{n}^2}(1-e^{-t})\end{array}$$
から
$$\begin{array}{rcl}\frac{b_n}{2}& =& {\int }_0^{\mathrm{\infty }}(\frac{2\pi n}{t^2+4{\pi }^2{n}^2}-\frac{e^{-t}}{2\pi n})\frac{dt}{t}\\ & =& \frac{1}{2\pi n}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{1+t^2}-e^{-2\pi nt})\frac{dt}{t}\\ & =& \frac{1}{2\pi n}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{1+t^2}-e^{-t}+e^{-t}-e^{-2\pi nt})\frac{dt}{t}\\ & =& \frac{1}{2\pi n}(\gamma +\log 2\pi n)\end{array}$$
と計算できる。
　以上より主張を得る。

　$0<z<1/n$に対して示せばよい(解析接続すればいいので)。
　いま周期関数
$$f(x)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{e}^{2\pi inx}$$
に対して
$$\begin{array}{rcl}\sum _{k=0}^{n-1}f(x+\frac{k}{n})& =& \sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_m{e}^{2\pi imx}\sum _{k=0}^{n-1}{e}^{\frac{2\pi ik}{n}m}\\ & =& n\sum _{l=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_{ln}{e}^{2\pi ilnx}\end{array}$$
が成り立つことに注意するとKummerの公式から
$$\begin{array}{rcl}\sum _{k=0}^{n-1}\log \frac{\mathrm{\Gamma }(x+\frac{k}{n})}{\sqrt{2\pi }}& =& n\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(a_{kn}\cos 2\pi knx+b_{kn}\sin 2\pi knx)\\ & =& n\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{2kn}\cos 2\pi knx+\frac{\gamma +\log 2\pi kn}{\pi kn}\sin 2\pi knx)\\ & =& \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{2k}\cos 2\pi knx+\frac{\gamma +\log 2\pi k}{\pi k}\sin 2\pi knx)+\frac{\log n}{\pi }\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k}\sin 2\pi knx\\ & =& \log \frac{\mathrm{\Gamma }(nx)}{\sqrt{2\pi }}-(nx-\frac{1}{2})\log n\end{array}$$
を得る。