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大学数学基礎解説
文献あり

log Γ(z)のフーリエ級数展開

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$$\newcommand{a}[0]{\alpha} \newcommand{b}[0]{\beta} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{d}[0]{\delta} \newcommand{dis}[0]{\displaystyle} \newcommand{e}[0]{\varepsilon} \newcommand{farc}[2]{\frac{#1}{#2}} \newcommand{G}[0]{\Gamma} \newcommand{g}[0]{\gamma} \newcommand{Gal}[0]{\operatorname{Gal}} \newcommand{id}[0]{\operatorname{id}} \newcommand{Im}[0]{\operatorname{Im}} \newcommand{Ker}[0]{\operatorname{Ker}} \newcommand{l}[0]{\left} \newcommand{L}[0]{\Lambda} \newcommand{la}[0]{\lambda} \newcommand{Li}[0]{\operatorname{Li}} \newcommand{li}[0]{\operatorname{li}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{ord}[0]{\operatorname{ord}} \newcommand{P}[0]{\mathfrak{P}} \newcommand{p}[0]{\mathfrak{p}} \newcommand{q}[0]{\mathfrak{q}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{r}[0]{\right} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Re}[0]{\operatorname{Re}} \newcommand{s}[0]{\sigma} \newcommand{t}[0]{\theta} \newcommand{ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{vp}[0]{\varphi} \newcommand{vt}[0]{\vartheta} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} \newcommand{z}[0]{\zeta} \newcommand{ZZ}[1]{\mathbb{Z}/#1\mathbb{Z}} \newcommand{ZZt}[1]{(\mathbb{Z}/#1\mathbb{Z})^\times} $$

はじめに

 この記事では後の記事に向けて$\log\G(x)$$0< x<1$におけるフーリエ級数展開
\begin{eqnarray} \log\frac{\G(x)}{\sqrt{2\pi}} &=&\sum^\infty_{n=1}\l(\frac1{2n}\cos2\pi nx+\frac{\g+\log2\pi n}{\pi n}\sin2\pi nx\r) \\&=&\l(\frac12-x\r)(\g+\log2\pi)-\frac12\log(2\sin\pi x) +\frac1\pi\sum^\infty_{n=1}\frac{\log n}n\sin2\pi nx \end{eqnarray}
を証明していきます。この公式はKummerの公式と言います。

補題

$$\log x=\int^\infty_0(e^{-t}-e^{-xt})\frac{dt}t$$
が成り立つ。

\begin{eqnarray} \log x&=&\int^x_1\frac1udu \\&=&\int^x_1\int^\infty_0e^{-ut}dtdu \\&=&\int^\infty_0(e^{-t}-e^{-xt})\frac{dt}t \end{eqnarray}
とわかる。

\begin{eqnarray} \g&=&\int^\infty_0\l(\frac{e^{-t}}{1-e^{-t}}-\frac{e^{-t}}t\r)dt \\&=&\int^\infty_0\l(\frac1{1+t^2}-e^{-t}\r)\frac{dt}t \end{eqnarray}
が成り立つ。

 一つ目の等号は
\begin{eqnarray} \g&=&\lim_{n\to\infty}\l(\sum^n_{k=1}\frac1k-\log n\r) \\&=&\lim_{n\to\infty}\l(\sum^n_{k=1}\int^\infty_0e^{-kt}dt-\int^\infty_0(e^{-t}-e^{-nt})\frac{dt}t\r) \\&=&\int^\infty_0\l(\frac{e^{-t}}{1-e^{-t}}-\frac{e^{-t}}t\r)dt \end{eqnarray}
とわかる。
 二つ目の等号は
$$-\frac{\G'(z)}{\G(z)}=\g+\frac1z+\sum^\infty_{n=1}\l(\frac1{z+n}-\frac1n\r)$$
より
\begin{eqnarray} \g&=&-\G'(1) \\&=&-\int^\infty_0e^{-t}\log t\;dt \\&=&-\int^\infty_0\int^\infty_0(e^{-u}-e^{-ut})e^{-t}dt\frac{du}u \\&=&\int^\infty_0\l(\frac1{1+u}-e^{-u}\r)\frac{du}u \end{eqnarray}
であることと任意の$\a>0$に対し
\begin{eqnarray} &&\int^\infty_0\l(\frac1{1+t^\a}-\frac1{1+t}\r)\frac{dt}t \\&=&\int^\infty_0\l(\frac{u^{\a-1}}{1+u^\a}-\frac1{1+u}\r)du\quad(t=1/u) \\&=&\l[\frac1\a\log(1+u^\a)-\log(1+u)\r]^\infty_0=0 \end{eqnarray}
が成り立つことからわかる。

 $0< x<1$において
\begin{eqnarray} x-\frac12&=&-\frac1\pi\sum^\infty_{n=1}\frac{\sin2\pi nx}n \\\log(2\sin\pi x)&=&-\sum^\infty_{n=1}\frac{\cos2\pi nx}n \end{eqnarray}
が成り立つ。

\begin{eqnarray} \log(1-e^{2\pi ix}) &=&\log(2\sin\pi x)+\log(-ie^{\pi ix}) \\&=&\log(2\sin\pi x)+i\pi\l(x-\frac12\r) \\&=&-\sum^\infty_{n=1}\frac{e^{2\pi inx}}n \\&=&-\sum^\infty_{n=1}\frac{\cos2\pi nx+i\sin2\pi nx}n \end{eqnarray}
の実部虚部を比較することでわかる。

証明

 $\Re(z)>0$において
$$\log\G(z)=\int^\infty_0\l(ze^{-t}-\frac{1-e^{-zt}}{1-e^{-t}}\r)\frac{dt}t$$
が成り立つ。

$$\g=\int^\infty_0\l(\frac{e^{-t}}{1-e^{-t}}-\frac{e^{-t}}t\r)dt$$
に注意すると$\Re(z)>0$において
\begin{eqnarray} -\frac{\G'(z)}{\G(z)} &=&\g+\frac1z+\sum^\infty_{n=1}\l(\frac1{z+n}-\frac1n\r) \\&=&\g+\frac1z+\sum^\infty_{n=1}\int^\infty_0(e^{-(z+n)t}-e^{-nt})dt \\&=&\g+\int^\infty_0e^{-zt}dt+\int^\infty_0\frac{e^{-(z+1)t}-e^{-t}}{1-e^{-t}}dt \\&=&\int^\infty_0\l(\frac{e^{-zt}}{1-e^{-t}}-\frac{e^{-t}}t\r)dt \end{eqnarray}
が成り立つのでこれを$z:1\to z$で積分することで
\begin{eqnarray} \log\G(z)&=&\int^\infty_0\l((z-1)\frac{e^{-t}}t-\frac1t\frac{e^{-t}-e^{-zt}}{1-e^{-t}}\r)dt \\&=&\int^\infty_0\l(ze^{-t}-\frac{1-e^{-zt}}{1-e^{-t}}\r)\frac{dt}t \end{eqnarray}
とわかる。

Kummerの公式

 $0< x<1$において
\begin{eqnarray} \log\frac{\G(x)}{\sqrt{2\pi}} &=&\sum^\infty_{n=1}\l(\frac1{2n}\cos2\pi nx+\frac{\g+\log2\pi n}{\pi n}\sin2\pi nx\r) \\&=&\l(\frac12-x\r)(\g+\log2\pi)-\frac12\log(2\sin\pi x) +\frac1\pi\sum^\infty_{n=1}\frac{\log n}n\sin2\pi nx \end{eqnarray}
が成り立つ。

 $\log\G(x)/\sqrt{2\pi}$$0< x<1$の部分を周期$1$の関数とみなしてフーリエ級数展開
$$\log\frac{\G(x)}{\sqrt{2\pi}} =\frac{a_0}2+\sum^\infty_{n=1}(a_n\cos 2\pi nx+b_n\sin 2\pi nx)$$
を考える。
 $a_n$については相反公式
$$\G(x)\G(1-x)=\frac\pi{\sin\pi x}$$
の対数を取ることで
\begin{eqnarray} \log\frac{\G(x)}{\sqrt{2\pi}}+\log\frac{\G(1-x)}{\sqrt{2\pi}} &=&a_0+2\sum^\infty_{n=1}a_n\cos 2\pi nx \\&=&-\log(2\sin\pi x) \\&=&\sum^\infty_{n=1}\frac1n\cos2\pi nx \end{eqnarray}
と決定できる。
 また$b_n$については補題4より
\begin{eqnarray} \frac{b_n}2 &=&\int^1_0\log\G(x)\sin2\pi nx\;dx \\&=&\int^\infty_0\int^1_0\l(xe^{-t}-\frac{1-e^{-xt}}{1-e^{-t}}\r)\frac{\sin2\pi nx}tdxdt \end{eqnarray}
と表すと
\begin{eqnarray} \int^1_0\sin2\pi nx\;dx&=&0 \\\int^1_0x\sin2\pi nx\;dx&=&-\frac1{2\pi n} \\\int^1_0e^{-xt}\sin2\pi nx\;dx &=&\Im\l(\int^1_0e^{-(t-2\pi i n)x}dx\r) \\&=&\Im\l(\frac{1-e^{-t+2\pi in}}{t-2\pi ni}\r) \\&=&\frac{2\pi n}{t^2+4\pi^2n^2}(1-e^{-t}) \end{eqnarray}
から
\begin{eqnarray} \frac{b_n}2 &=&\int^\infty_0\l(\frac{2\pi n}{t^2+4\pi^2n^2}-\frac{e^{-t}}{2\pi n}\r)\frac{dt}t \\&=&\frac1{2\pi n}\int^\infty_0\l(\frac1{1+t^2}-e^{-2\pi nt}\r)\frac{dt}t \\&=&\frac1{2\pi n}\int^\infty_0\l(\frac1{1+t^2}-e^{-t}+e^{-t}-e^{-2\pi nt}\r)\frac{dt}t \\&=&\frac1{2\pi n}(\g+\log2\pi n) \end{eqnarray}
と計算できる。
 以上より主張を得る。

おまけ:$\G$関数の倍数公式

 Kummerの論文ではこの公式は$\G$関数の倍数公式を導出することに使用されています。

$$\G(nz)=\frac{n^{nz-\frac12}}{(2\pi)^{\frac{n-1}2}}\prod^{n-1}_{k=1}\G\l(z+\frac kn\r)$$
が成り立つ。

 $0< z<1/n$に対して示せばよい(解析接続すればいいので)。
 いま周期関数
$$f(x)=\sum^\infty_{n=-\infty}c_ne^{2\pi inx}$$
に対して
\begin{eqnarray} \sum^{n-1}_{k=0}f\l(x+\frac kn\r) &=&\sum^\infty_{m=-\infty}c_me^{2\pi imx}\sum^{n-1}_{k=0}e^{\frac{2\pi ik}nm} \\&=&n\sum^\infty_{l=-\infty}c_{ln}e^{2\pi ilnx} \end{eqnarray}
が成り立つことに注意するとKummerの公式から
\begin{eqnarray} \sum^{n-1}_{k=0}\log\frac{\G(x+\frac kn)}{\sqrt{2\pi}} &=&n\sum^\infty_{k=1}(a_{kn}\cos2\pi knx+b_{kn}\sin2\pi knx) \\&=&n\sum^\infty_{k=1}\l(\frac1{2kn}\cos2\pi knx+\frac{\g+\log2\pi kn}{\pi kn}\sin2\pi knx\r) \\&=&\sum^\infty_{k=1}\l(\frac1{2k}\cos2\pi knx+\frac{\g+\log2\pi k}{\pi k}\sin2\pi knx\r)+\frac{\log n}\pi\sum^\infty_{k=1}\frac1k\sin2\pi knx \\&=&\log\farc{\G(nx)}{\sqrt{2\pi}}-\l(nx-\frac12\r)\log n \end{eqnarray}
を得る。

参考文献

[1]
E. Kummer, Beitrag zur Theorie der Function., J. reine angew. Math. (Crelle’s J.), 1847, pp. 1-4
[3]
E. T. Whittaker, G. N. Watson, A Course of Modern Analysis, Cambridge University Press, 1927, p. 247
投稿日:2023126

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投稿者

子葉
子葉
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主に複素解析、代数学、数論を学んでおります。 私の経験上、その証明が簡単に探しても見つからない、英語の文献を漁らないと載ってない、なんて定理の解説を主にやっていきます。 同じ経験をしている人の助けになれば。最近は自分用のノートになっている節があります。

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