多項式環の剰余環の冪等元について

冪等元
$$e={\lambda }_0+{\lambda }_1\bar{t}+\cdots +{\lambda }_{m-1}{\bar{t}}^{m-1}\in A$$
を取る．
整数$0\le i\le 2m-2$に対して${\mu }_i\in K$を
$${\mu }_i={\displaystyle \sum _{0\le j,k<m:j+k=i}{\lambda }_j{\lambda }_k}$$
で定めるとき，
$$e^2={\mu }_0+{\mu }_1\bar{t}+\cdots +{\mu }_{2m-2}{\bar{t}}^{2m-2}={\mu }_0+{\mu }_1\bar{t}+\cdots +{\mu }_{m-1}{\bar{t}}^{m-1},$$
であり$e$は冪等なので，$0\le i<m$に対して${\lambda }_i={\mu }_i$が成り立つ．実際，
$$p:=({\lambda }_0-{\mu }_0)+({\lambda }_1-{\mu }_1)t+\cdots +({\lambda }_{m-1}-{\mu }_{m-1})t^{m-1}\in K[t]$$
に対して，$e^2-e=0$より$p\in ⟨t^m⟩$である，すなわち$p$は$t^m$で割り切れるので，$p=0$となる必要がある．
${\lambda }_0={\mu }_0={\lambda }_0^2$より${\lambda }_0({\lambda }_0-1)=0$で，$K$が整域であることから${\lambda }_0$は$0$または$1$である．
$1\le i<m$に対しては，
$${\mu }_i={\displaystyle \sum _{0\le j,k<m:j+k=i}{\lambda }_j{\lambda }_k={\displaystyle \sum _{0\le j\le i}{\lambda }_j{\lambda }_{i-j}=2{\lambda }_0{\lambda }_i+{\displaystyle \sum _{1\le j\le i-1}{\lambda }_j{\lambda }_{i-j},}}}$$
だから
$${\lambda }_i=2{\lambda }_0{\lambda }_i+{\displaystyle \sum _{1\le j\le i-1}{\lambda }_j{\lambda }_{i-j}}$$
が成り立つ．
任意の$1\le i<m$に対して${\lambda }_i=0$であることを帰納法で示そう．
${\lambda }_1={\mu }_1=2{\lambda }_0{\lambda }_1$と${\lambda }_0\in \{0,1\}$より${\lambda }_1=0$または${\lambda }_1=2{\lambda }_1$だから${\lambda }_1=0$となる．
任意の$1\le j\le i$に対して${\lambda }_j=0$ならば，
${\lambda }_{i+1}=2{\lambda }_0{\lambda }_{i+1}+{\displaystyle \sum _{1\le j\le i}{\lambda }_j{\lambda }_{i+1-j}=2{\lambda }_0{\lambda }_{i+1},}$
であり，${\lambda }_0\in \{0,1\}$より${\lambda }_{i+1}=0$または${\lambda }_{i+1}=2{\lambda }_{i+1}$だから${\lambda }_{i+1}=0$となる．
ゆえに，$e={\lambda }_0$は$0$または$1$となって，証明が完了する．

冪等元
$$e={\lambda }_0+{\lambda }_1\bar{t}+\cdots +{\lambda }_{m-1}{\bar{t}}^{m-1}\in A$$
を取る．
$$w:={\lambda }_{1}t+\cdots +{\lambda }_{m-1}{t}^{m-1}$$
と定めれば，$e={\lambda }_0+\bar{w}$かつ
$$e^2=({\lambda }_0+\bar{w}{)}^2={\lambda }_0^2+2{\lambda }_0\bar{w}+{\bar{w}}^2,$$
であり，$e$は冪等なので，
$${\lambda }_0^2+2{\lambda }_0\bar{w}+{\bar{w}}^2={\lambda }_0+\bar{w}$$
であり
$({\lambda }_0^2-{\lambda }_0)+(2{\lambda }_0-1)\bar{w}+{\bar{w}}^2=0.$
を得る．
$w$の定め方から$(2{\lambda }_0-1)\bar{w}+{\bar{w}}^2$は$\bar{t},\dots ,{\bar{t}}^{m-1}$の線形結合なので${\lambda }_0^2-{\lambda }_0=0$かつ$(2{\lambda }_0-1)\bar{w}+{\bar{w}}^2=0$となって，1つ目の証明と同様に${\lambda }_0$は$0$または$1$である．
このとき$-\bar{w}+{\bar{w}}^2=0$または$\bar{w}+{\bar{w}}^2=0$だから，$\sigma \in \{1,-1\}$を用いて$\bar{w}=\sigma {\bar{w}}^2$と書けて，$m$に関する帰納法により$\bar{w}={\sigma }^{m-1}{\bar{w}}^m={\sigma }^{m-1}\overline{w^m}$を得る．
$w\in ⟨t⟩$から$w^m\in ⟨t{⟩}^m\subset ⟨t^m⟩$であり$\overline{w^m}=0$なので，上の等式から$\bar{w}={\sigma }^{m-1}\overline{w^m}=0$である．
ゆえに，$e={\lambda }_0$は$0$または$1$となって，証明が完了する．

「$0$を代入する」という環準同型$K[t]\to K,p\mapsto p(0)$は，各$\lambda \in K$に対して$\lambda +t$を$\lambda$に写すので全射であり，さらに$t^m$を$0^m=0$に写すので全射環準同型$A\to K,\bar{p}\mapsto p(0)$を引き起こす．
この核は$⟨\bar{t}⟩$に等しいので，環同型$A/⟨\bar{t}⟩\cong K$を得る．
$K$は体だから$⟨\bar{t}⟩$は$A$の極大イデアルである．

$\bar{t}\notin J$なら$J⊊J+⟨\bar{t}⟩$なので，$J$の極大性から$J+⟨\bar{t}⟩=A$であり，$x+\bar{t}a=1$をみたす$x\in J,a\in A$がある．
それゆえ$1-\bar{t}a=x\in J$だが，$(\bar{t}a{)}^m={\bar{t}}^m{a}^m=0$より
$$1=1-(\bar{t}a{)}^m=(1+\cdots +(\bar{t}a{)}^{m-1})(1-\bar{t}a)\in J,$$
だから，$J=A$となって矛盾が生じた．
従って$\bar{t}\in J$であり，$⟨\bar{t}⟩\subset J⊊A$であり，$⟨\bar{t}⟩$の極大性から$⟨\bar{t}⟩=J$となって示された．

$e\in A$を冪等元とする．
$1-e$と$e$が共に単元でなければ，Zorn の補題から$1-e\in J^{\prime }$かつ$e\in J^{″}$をみたす$A$の極大イデアル$J^{\prime },J^{″}$が取れて，補題 2 より$J^{\prime }=J^{″}$なので，$1-e,e\in J^{\prime }$であり$1=(1-e)+e\in J^{\prime }$となって矛盾が生じる．
ゆえに，$1-e$と$e$のいずれかは単元である．
$e$は冪等なので，$e^2=e$より$(1-e)e=0$である．
$1-e$が単元ならば
$$e=(1-e{)}^{-1}(1-e)e=(1-e{)}^{-1}0=0.$$
であり，$e$が単元ならば
$$e=1-(1-e)=1-(1-e)e{e}^{-1}=1-0\cdot e^{-1}=1.$$
なので，$e$は$0$または$1$となって，証明が完了する．