CU22微積分学B2(3)期末試験略解

問1

$ z = f(x,y) $に於いて点$ (x,y) $が点$ (a,b) $に$ (x,y) \neq (a,b) $を満たしながら近づくとき，その近づき方に依らずに値$ f(x,y) $が一定の値$ \alpha $に限りなく近づくとき，この$ \alpha $を$ z = f(x, y) $の$ (a, b) $に於ける極限値という．

または，$ \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta>0,\ \mathrm{s.t.}\ 0<\sqrt{ (x-a)^2+(y-b)^2 }<\delta\Rightarrow \left| f(x,y)-(\text{極限値}) \right|. $

問2

(1)

$ z_x = 3x^2-8xy+y,\ z_y=-4x^2+x+6y. $

(2)

$ z_x=yx^{y-1},\ z_y=x^y\ln x. $

問3

$ f_{xy}=1,\ f_{yx}=-1 $で$ f_{xy},f_{yx} $が存在しともに連続だが$ f_{xy}\neq f_{yx} $より$ f(x,y) $は存在しない．

問4

(1)

$ \displaystyle \int_0^{\pi/2}\mathrm{d}y\int_0^{\sin y}\mathrm{d}x\,x=\frac{\pi} 8.$

(2)

$ \displaystyle \int_0^1\mathrm{d}x\int_0^{1-x}\mathrm{d}y\,(x^2+y^2)=\frac16. $

問5

$ \displaystyle \int_D\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{e}^{-(x^2+y^2)}=\frac\pi4 $の平方根を取る．

問6

$ z $を極座標で表して$ \displaystyle z=\frac{r^4}8(3\cos4\theta+5) $．$ r\neq 0 $で$ z>0 $より$(0,0)$で極小値$0$を取る．