CU22微積分学B2(3)期末試験略解

問1

$z=f(x,y)$に於いて点$(x,y)$が点$(a,b)$に$(x,y)\ne (a,b)$を満たしながら近づくとき，その近づき方に依らずに値$f(x,y)$が一定の値$\alpha$に限りなく近づくとき，この$\alpha$を$z=f(x,y)$の$(a,b)$に於ける極限値という．

または，$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\delta >0,\mathrm{s}.\mathrm{t}.0<\sqrt{(x-a{)}^2+(y-b{)}^2}<\delta \Rightarrow |f(x,y)-(\text{極限値})|.$

問2

(1)

$z_x=3x^2-8xy+y,z_y=-4x^2+x+6y.$

(2)

$z_x=y{x}^{y-1},z_y=x^y\ln x.$

問3

$f_{xy}=1,f_{yx}=-1$で$f_{xy},f_{yx}$が存在しともに連続だが$f_{xy}\ne f_{yx}$より$f(x,y)$は存在しない．

問4

(1)

${\displaystyle {\int }_0^{\pi /2}\mathrm{d}y{\int }_0^{\sin y}\mathrm{d}xx=\frac{\pi }{8}.}$

(2)

${\displaystyle {\int }_0^1\mathrm{d}x{\int }_0^{1-x}\mathrm{d}y(x^2+y^2)=\frac{1}{6}.}$

問5

${\displaystyle {\int }_D\mathrm{d}x\mathrm{d}y{\mathrm{e}}^{-(x^2+y^2)}=\frac{\pi }{4}}$の平方根を取る．

問6

$z$を極座標で表して${\displaystyle z=\frac{r^4}{8}(3\cos 4\theta +5)}$．$r\ne 0$で$z>0$より$(0,0)$で極小値$0$を取る．