２次形式と素数改訂版

$p$を$4$で割って$1$余る素数
$G:= \lbrace g \in \mathbb{F}_{p^2}^{\times} | g^{p+1}=1 \rbrace $
$\theta(x):=(\frac{x}{p})$
$(\frac{x}{p})$はルジャンドル記号
$\mathbb{F}_{p} \cap G=G'=\lbrace \pm 1 \rbrace$

$p$は$4$で割って$1$余る素数のため、
$\theta(\pm1)=1$
$\mathbb{F}_{p}^\times G$の元は生成元$\tau$を用いて、
$\tau^{2n}$とあらせる。
$\tau^{2\frac{p-1}{4}+1} =\tau^{\frac{p+1}{2}}$は$p-1$乗すると$-1$なので、平方非剰余な$\mathbb{F}_{p}$の元を$M$用いて、$\tau^{\frac{p+1}{2}}=\sqrt{M}$

$$\mathbb{F}_{p^2}^{\times} /(\mathbb{F}_{p}^\times G)\simeq\lbrace 1,\tau \rbrace \simeq\lbrace 1,\tau^{2n+1} \rbrace \simeq\lbrace 1,\sqrt{M} \rbrace$$

$\alpha'(z)$はルジャンドル記号の整数性より整数

$p=\alpha'(1)^2+\alpha'(\sqrt{M})^2$

$p$を$8$で割って$3$余る素数

$G:= \lbrace g \in \mathbb{F}_{p^2}^{\times} | g^{\frac{p+1}{4}}=1 \rbrace $
$\theta(x):=(\frac{x}{p})$
$(\frac{x}{p})$はルジャンドル記号
$\mathbb{F}_{p} \cap G=G'=\lbrace 1 \rbrace$
$\theta(1)=1$

$\mathbb{F}_{p}^\times G$の元は生成元$\tau$を用いて、
$\tau^{4n}$とあらせる。
$p=8q+3$とすると。
$\tau^{\frac{p^2-1}{4}}=\tau^{4(4q^2+3q)+2} $
$\tau^{\frac{p^2-1}{8}}= \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \tau^{4(2q^2+3\frac{q}{2})+1} \ \ \ \ q \equiv 0\mod{2} \\ \tau^{4(2q^2+\frac{3q-1}{2})+3} \ \ \ \ q \equiv 1 \mod{2} \end{array} \right. \end{eqnarray}$

$\tau^{3\frac{p^2-1}{8}}= \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \tau^{4(6q^2+\frac{9q}{2})+3} \ \ \ \ q \equiv 0\mod{2} \\ \tau^{4(6q^2+\frac{9q+1}{2})+1} \ \ \ \ q \equiv 1 \mod{2} \end{array} \right. \end{eqnarray}$

$\mathbb{F}_{p^2}^{\times} /(\mathbb{F}_{p}^\times G)\simeq \lbrace 1,\tau , \tau^2 , \tau^3 \rbrace \simeq \lbrace 1,\tau^{\frac{p^2-1}{4}} ,\tau^{\frac{p^2-1}{8}} , \tau^{3\frac{p^2-1}{8}} \rbrace $
$G^p=G$,$t(g^pz^p)=t(gz)$より
$\alpha'(z^p)=\alpha'(z)$
$(\tau^{\frac{p^2-1}{4}})^p=\tau^{\frac{p^2-1}{4}p}=\tau^{\frac{p^2-1}{4}3}=-\tau^{\frac{p^2-1}{4}}$
$( \tau^{a\frac{p^2-1}{8}})^p=\tau^{3a\frac{p^2-1}{8}}$
$\alpha'(\tau^{\frac{p^2-1}{4}} )=\alpha'((\tau^{\frac{p^2-1}{4}})^p)=\alpha'(-\tau^{\frac{p^2-1}{4}})=-\alpha'(\tau^{\frac{p^2-1}{4}}) $
$\alpha'(\tau^{\frac{p^2-1}{4}})=0$
$\theta(-1)=-1$を用いた。
$\alpha'( \tau^{\frac{p^2-1}{8}})= \alpha'(( \tau^{\frac{p^2-1}{8}})^p)=\alpha'( \tau^{3\frac{p^2-1}{8}})$

$\alpha'(z)$はルジャンドル記号の整数性より整数
$$p=\alpha'(1)^2+\alpha'(\tau^{\frac{p^2-1}{4}})^2+\alpha'(\tau^{\frac{p^2-1}{8}})^2+\alpha'(\tau^{3\frac{p^2-1}{8}})^2 \\ =\alpha'(1)^2+2\alpha'(\tau^{\frac{p^2-1}{8}})^2$$

$p=a^2+2b^2$
$p$を$8$で割って$1$余る素数
$G:= \lbrace g \in \mathbb{F}_{p^2}^{\times} | g^{p+1}=1 \rbrace $
$T$を$ \mathbb{F}_{p}$での、$1$の原始$4$乗根の$1$つとする。
$x^{\frac{p-1}{4}}$には$T$を用いて、
$x^{\frac{p-1}{4}}=T^v$となる、$v$が存在する。
$\theta(x)={(\sqrt{-1})}^v$で$\theta(x)$を定義する。

$ \mathbb{F}_{p} \cap G=G'=\lbrace \pm 1 \rbrace$
$\frac{p-1}{4}$は偶数のため、
$\theta(\pm 1)=1$

$\mathbb{F}_{p^2}^{\times} /( \mathbb{F}_{p} ^\times G)\simeq\lbrace 1,\sqrt{M} \rbrace $
$\theta(M)=\sqrt{-1}$となるように$M$を選べる。
$M$が平方非剰余で$\theta(M)=-\sqrt{-1}$なら
$M^3$も平方非剰余で$\theta(M^3)=\sqrt{-1}$
$\sqrt{M}$と$M\sqrt{M}$は$\mathbb{F}_{p} ^\times G$剰余類で同じ剰余類に入る。

$\alpha'(z)$はガウス整数

$g=g_1+g_2\sqrt{M}$,$g \in G$,$g_1=t(g)$ならば,$g^{p+1}=g_1^2-Mg_2^2=1$を変形すると、
$(\frac{1}{g_1})^2-M\frac{(\sqrt{-1}g_2)^2}{g_1^2}=1$
($g_1=0$なら両辺の平方剰余、非剰余が異なるため$g_1\neq0$)
$j(g)=\frac{1}{g_1}+\sqrt{M}(\frac{\sqrt{-1}g_2}{g_1})\in G$
$j(j(g))=g^p$より$j(g)$は全単射
$t(j(g))=\frac{1}{g_1}$
$t(g)^{-1}=t(j(g))$

$$\overline{\alpha(1)}=\sum_{g \in G}{\overline{\theta(t(g))}} =\sum_{g \in G}{\theta(t(g)^{-1})}\\ =\sum_{g \in G}{\theta(t(j(g)))}=\sum_{g \in G}{\theta(t(g))}\\ =\alpha(1) $$
$\alpha(1)$は整数
$\alpha'(1)$も整数

$g=g_1+g_2\sqrt{M}$,$g \in G$,

$g^{p+1}=g_1^2-Mg_2^2=1$
$1+Mg_2^2=g_1^2$

$t(g\sqrt{M})=Mg_2$

任意の$x \in \mathbb{F}_{p}^\times$に対して、
$1+Mx^2$は平方剰余か平方非剰余
($-1$が平方剰余、$M$が平方非剰余なので、$1+Mx^2=0$にはならいない。)

$1+Mx^2$が平方剰余なら$Mx=t(g\sqrt{M})$を満たす$g \in G$が$２$個あり。
$1+Mx^2=y^2$なら$g=\pm y +x\sqrt{M}$
$1+Mx^2$が平方非剰余なら$1+Mx^2=y^2M$より
$1+M\frac{1}{x^2M^2}=\frac{y^2}{x^2}$となり、
$\frac{1}{x}=t(g\sqrt{M})となるg \in G$が$２$個ある。
$1+Mx^2=y^2M$なら$g=\pm \frac{y}{x} +\frac{1}{xM}\sqrt{M}$

$x \in \mathbb{F}_{p}^\times$
次で関数$\chi(x)$を定義する。
$\chi(x)= \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 1 \ \ \ 1+Mx^2が平方剰余\\ 0 \ \ \ 1+Mx^2が平方非剰余 \end{array} \right. \end{eqnarray}$

$\frac{1}{xM}$は$x$に関して対合で不動点はない。

$1=\chi(x)+\chi(\frac{1}{xM}) \ \ \ x\neq0 $
$$\alpha(\sqrt{M})=\sum_{x \in \mathbb{F}_{p}^\times}\chi(x)2\theta(Mx)=\sum_{x \in \mathbb{F}_{p}^\times}\chi(x)2i\theta(x) $$

$$\alpha(\sqrt{M})=\sum_{x \in \mathbb{F}_{p}^\times}\chi(\frac{1}{xM})2\theta(\frac{1}{x})=\sum_{x \in \mathbb{F}_{p}^\times}\chi(\frac{1}{xM})2 \overline{\theta(x)} $$
$$(-\sqrt{-1} .\alpha(\sqrt{M})+\overline{\alpha(\sqrt{M})})=\sum_{x \in \mathbb{F}_{p}^\times}(\chi(x)+\chi(\frac{1}{xM}))2\theta(x)\\ =2\sum_{x \in \mathbb{F}_{p}^\times}\theta(x)=0$$
最後は$\theta(x)$の非自明性より

これにより、$\alpha(\sqrt{M})$は$1-\sqrt{-1}$の整数倍
$|\alpha'(\sqrt{M})|^2=2d^2$ で
$p=|\alpha'(1)|^2+|\alpha'(\sqrt{M})|^2=\alpha'(1)^2+2d^2$
となる。