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2次形式と素数改訂版

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$$$$

動機

素数$p$を表現する整数係数正定値$2$次形式$a^2+nb^2=p$
整数解の$a$$b$を求める公式を作りたい。
$a^2+b^2$$a^2+2b^2$の場合の公式を求めました。

準備

文字の約束
$p$を奇素数とします。
$\mathbb{F}_p $を位数$p$の有限体とします。
$\mathbb{F}_p^{\times} $を位数$p$の有限体の乗法群とします。
$\mathbb{F}_{p^2} $を位数$p^2$の有限体とします。
$\mathbb{F}_{p^2}^{\times} $を位数$p^2$の有限体の乗法群とします。
$z$$\mathbb{F}_{p^2} $の元
$x,y$$\mathbb{F}_p $の元

トレース$Tr(z)$とノルム$N(z)$の定義

トレース$Tr(z)$とノルム$N(z)$および$\mathbb{F}_p $線形写像$t(z)$を下記のように定義します。

$Tr(z):=z+z^p$
$N(z):=z^{p+1}$
$t(z):=\frac{Tr(z)}{2}$

乗法群$\mathbb{F}_{p^2}^{\times} $の部分群$G$$G'$

$G$$\mathbb{F}_{p^2}^{\times} $の部分群で、
$|G|$を位数としたとき、$|G|$$p+1$を割りきるとします。
$\mathbb{F}_{p^2}^{\times}$は巡回群のため、$G$は位数のみで決まります。

$G'=\mathbb{F}_{p}^{\times} \cap G$$G'$を定義します。

$G'$の性質

$G'$$|G|$$p-1$の最大公倍数に依存し、
次を満たします。
$|G|が偶数 \Longrightarrow G'= \lbrace 1,-1 \rbrace $
$|G|が奇数 \Longrightarrow G'= \lbrace 1 \rbrace $

指標$\theta(x)$

$ \widehat{\theta}:\mathbb{F}_{p}^{\times} \xrightarrow{} \mathbb{C}^\times $は非自明群準同型と定義します。

$\theta$を下記で定義します。
$\theta:\mathbb{F}_{p} \xrightarrow{} \mathbb{C}$
$x=0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \theta(x):=0 \ \ \ $
$x \in \mathbb{F}_{p}^{\times} \ \ \Longrightarrow \ \ \ \theta(x):=\widehat{\theta}(x) \ \ \ $

更に次の性質を満たすと仮定します。
$x \in G'\ \ \Longrightarrow \ \ \ \ \theta(x)=1$

関数$\alpha^{'}(z)$

関数$\alpha^{'}(z)$を下記で定義します。

$\alpha^{'}:\mathbb{F}_{p^2}^{\times} \xrightarrow{} \mathbb{C} $
$$\alpha^{'}(z):=\sum_{gG'\in G/G'}\theta(t(gz))$$

$\alpha^{'}(z)$は、$t(z)$$\mathbb{F}_{p}$線形性及び、$\theta(x)$の仮定より、
$G/G'$の代表元によらず定まる。

準備では次の定理$1$を証明します。

$|s|$を複素数$s$の絶対値としたとき。
$$p=\sum_{z\mathbb{F}_{p}^{\times}G\in \mathbb{F}_{p^2}^{\times}/\mathbb{F}_{p}^{\times}G}|\alpha^{'}(z)|^2$$

関数$\alpha(z)$

関数$\alpha(z)$を下記で定義します。
$$\alpha:\mathbb{F}_{p^2}^{\times} \xrightarrow{} \mathbb{C} $$
$$\alpha(z):=\sum_{g\in G}\theta(t(gz))$$

$\theta(x)$の準同型性と$t(z)$$\mathbb{F}_{p}$線形性より
$x \in \mathbb{F}_{p}^{\times}$なら
$$\alpha(xz)=\sum_{g\in G}\theta(t(gxz))=\theta(x)\alpha(z)$$

$\theta(x)$の準同型性より、
$\theta(x)^{p-1}=1$のため、
$\theta(x)$$1$の冪根
$ \overline{ s} $を複素数$s$の複素共役としたとき、
$\theta(x)^{-1}= \overline{ \theta(x) }$
$|\theta(x)|^2=1$となり。
$$|\alpha(xz)|^2=|\theta(x)\alpha(z)|^2=|\alpha(z)|^2$$

$\theta(x)$の仮定と補題$2$より
$x \in G'$なら
$$\alpha(xz)=\sum_{g\in G}\theta(t(gxz))=\alpha(z)$$
$$\alpha(z)=|G'|\alpha^{'}(z)$$

$\alpha(z)$の定義より
$g\in G$
$$\alpha(gz)=\alpha(z)$$

1

補題$5$より
$\alpha(z)$$zG \in \mathbb{F}_{p^2}^{\times} /G$の代表元によらない。
また
補題$3$より
$|\alpha(z)|^2$$z\mathbb{F}_{p}^{\times}\in \mathbb{F}_{p^2}^{\times} /\mathbb{F}_{p}^{\times}$の代表元によらない。
そのため、
$|\alpha(z)|^2$$z\mathbb{F}_{p}^{\times}G \in \mathbb{F}_{p^2}^{\times} /\mathbb{F}_{p}^{\times}G$の代表元によらない。
$\mathbb{F}_{p}^{\times}G$の元の個数は、$\frac{|\mathbb{F}_{p}^{\times}||G|}{|G'|}$
$$\sum_{zG \in \mathbb{F}_{p^2}^{\times} /G}|\alpha(z)|^2= \frac{|\mathbb{F}_{p}^{\times}|}{|G'|}\sum_{z\mathbb{F}_{p}^{\times}G\in \mathbb{F}_{p^2}^{\times}/(\mathbb{F}_{p}^{\times}G)}|\alpha(z)|^2 \\ =|\mathbb{F}_{p}^{\times}||G'|\sum_{z\mathbb{F}_{p}^{\times}G\in \mathbb{F}_{p^2}^{\times}/(\mathbb{F}_{p}^{\times}G) }|\alpha^{'}(z)|^2$$

2

$$\sum_{zG \in \mathbb{F}_{p^2}^{\times} /G}|\alpha(z)|^2= \sum_{zG \in \mathbb{F}_{p^2}^{\times} /G}\sum_{g,g'\in G} \overline{(\theta(t(g'z))}\theta(t(gz)) \\ =\sum_{z \in \mathbb{F}_{p^2}^{\times} }\sum_{g\in G} \overline{\theta(t(z))}\theta(t(gz)) $$

$z$を基底$(1,\sqrt{M})$で表示すると、
ただし$M$$\mathbb{F}_{p}$で平方非剰余な元
$z=x+y\sqrt{M}$
$t(z)=x$
以下$\theta(x)$の定義より、
$x=0$の場合は$\theta(x)=0$のため、
$x\neq 0$ とします。

(続き)
$$=\sum_{x \in \mathbb{F}_{p}^{\times} }\sum_{y \in \mathbb{F}_{p}}\sum_{g\in G} \overline{\theta(x)}\theta(t(g(x+y\sqrt{M}))) \\ =\sum_{x \in \mathbb{F}_{p}^{\times} }\sum_{y \in \mathbb{F}_{p}}\sum_{g\in G} \theta(t(g(1+\frac{y}{x}\sqrt{M})))\\ $$

$y$$x$倍しても和の順番が変わるのみ、
すると和が$x$に依存しないため。
(続き)
$$ =|\mathbb{F}_{p}^{\times}|\sum_{y \in \mathbb{F}_{p}}\sum_{g\in G} \theta(t(g(1+y\sqrt{M}))) $$

$g=g_1+g_2\sqrt{M}$と基底で分けると。
$$t(g(1+y\sqrt{M}))=t(g)+\frac{gy\sqrt{M}-g^py\sqrt{M}}{2}\\ =t(g)+\frac{(g_1+g_2\sqrt{M}-g_1+g_2\sqrt{M})y\sqrt{M}}{2}\\ =t(g)+yg_2M\\ =g_1+yg_2M $$

$g_2=0$なら$g \in G'$
$g_2 \neq 0 $ なら$g_1+yg_2M=y'$$y$を変換しても、和の順番が変わるのみ

(続き)
$$ =|\mathbb{F}_{p}^{\times}|\sum_{y \in \mathbb{F}_{p}}\sum_{g\in G'} \theta(g) +|\mathbb{F}_{p}^{\times}|\sum_{y' \in \mathbb{F}_{p}}\sum_{g\in G-G'} \theta(y') $$
$1$項は$\theta(g)$$G'$$1$のため$|\mathbb{F}_{p}^{\times}||\mathbb{F}_{p}||G'|$

$2$項は$\theta(x)$が非自明のため、$0$

(続き)
$$=|\mathbb{F}_{p}^{\times}||\mathbb{F}_{p}||G'|$$

3

証明 (1) と証明 (2)を合わせて、
$$\sum_{zG \in \mathbb{F}_{p^2}^{\times} /G}|\alpha(z)|^2=|\mathbb{F}_{p}^{\times}||G'|\sum_{z\mathbb{F}_{p}^{\times}G\in \mathbb{F}_{p^2}^{\times}/(\mathbb{F}_{p}^{\times}G) }|\alpha^{'}(z)|^2\\ \sum_{zG \in \mathbb{F}_{p^2}^{\times} /G}|\alpha(z)|^2=|\mathbb{F}_{p}^{\times}||\mathbb{F}_{p}||G'| \\ p=|\mathbb{F}_{p}|=\sum_{z\mathbb{F}_{p}^{\times}G\in \mathbb{F}_{p^2}^{\times}/(\mathbb{F}_{p}^{\times}G) }|\alpha^{'}(z)|^2 $$

以上で定理$1$は証明された。

計算方法

$H:=\frac{p^2-1}{|G|}$$H$を定義する。
$\tau$$\mathbb{F}_{p^2}^{\times}$の生成元
$\tau^{Hf}=\tau^{Hpf} $を満たす最小の正整数$f$
$|G|$$p-1$の最小公倍数を$l$としたとき、
$L=\frac{p^2-1}{l}$

$\mathbb{F}_{p^2}^{\times}/(\mathbb{F}_{p}^{\times}G)\simeq \lbrace \tau^n | 0 \leq n \leq L-1\rbrace $
$$\alpha'(\tau^n )=\sum_{0 \leq k \leq f-1}\theta(\frac{\tau^{Hk+n}+\tau^{p(Hk+n)}}{2})$$
$\tau^{k}+\tau^{pk}$はリュカ数列の性質を満たす。

具体例

$p=a^2+b^2$

$p$$4$で割って$1$余る素数
$G:= \lbrace g \in \mathbb{F}_{p^2}^{\times} | g^{p+1}=1 \rbrace $
$\theta(x):=(\frac{x}{p})$
$(\frac{x}{p})$はルジャンドル記号
$\mathbb{F}_{p} \cap G=G'=\lbrace \pm 1 \rbrace$

$p$$4$で割って$1$余る素数のため、
$\theta(\pm1)=1$
$\mathbb{F}_{p}^\times G$の元は生成元$\tau$を用いて、
$\tau^{2n}$とあらせる。
$\tau^{2\frac{p-1}{4}+1} =\tau^{\frac{p+1}{2}}$$p-1$乗すると$-1$なので、平方非剰余な$\mathbb{F}_{p}$の元を$M$用いて、$\tau^{\frac{p+1}{2}}=\sqrt{M}$

$$\mathbb{F}_{p^2}^{\times} /(\mathbb{F}_{p}^\times G)\simeq\lbrace 1,\tau \rbrace \simeq\lbrace 1,\tau^{2n+1} \rbrace \simeq\lbrace 1,\sqrt{M} \rbrace$$

$\alpha'(z)$はルジャンドル記号の整数性より整数

$p=\alpha'(1)^2+\alpha'(\sqrt{M})^2$

$p=z^2+2y^2$

$p$$8$で割って$3$余る素数

$G:= \lbrace g \in \mathbb{F}_{p^2}^{\times} | g^{\frac{p+1}{4}}=1 \rbrace $
$\theta(x):=(\frac{x}{p})$
$(\frac{x}{p})$はルジャンドル記号
$\mathbb{F}_{p} \cap G=G'=\lbrace 1 \rbrace$
$\theta(1)=1$

$\mathbb{F}_{p}^\times G$の元は生成元$\tau$を用いて、
$\tau^{4n}$とあらせる。
$p=8q+3$とすると。
$\tau^{\frac{p^2-1}{4}}=\tau^{4(4q^2+3q)+2} $
$\tau^{\frac{p^2-1}{8}}= \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \tau^{4(2q^2+3\frac{q}{2})+1} \ \ \ \ q \equiv 0\mod{2} \\ \tau^{4(2q^2+\frac{3q-1}{2})+3} \ \ \ \ q \equiv 1 \mod{2} \end{array} \right. \end{eqnarray}$

$\tau^{3\frac{p^2-1}{8}}= \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \tau^{4(6q^2+\frac{9q}{2})+3} \ \ \ \ q \equiv 0\mod{2} \\ \tau^{4(6q^2+\frac{9q+1}{2})+1} \ \ \ \ q \equiv 1 \mod{2} \end{array} \right. \end{eqnarray}$

$\mathbb{F}_{p^2}^{\times} /(\mathbb{F}_{p}^\times G)\simeq \lbrace 1,\tau , \tau^2 , \tau^3 \rbrace \simeq \lbrace 1,\tau^{\frac{p^2-1}{4}} ,\tau^{\frac{p^2-1}{8}} , \tau^{3\frac{p^2-1}{8}} \rbrace $
$G^p=G$,$t(g^pz^p)=t(gz)$より
$\alpha'(z^p)=\alpha'(z)$
$(\tau^{\frac{p^2-1}{4}})^p=\tau^{\frac{p^2-1}{4}p}=\tau^{\frac{p^2-1}{4}3}=-\tau^{\frac{p^2-1}{4}}$
$( \tau^{a\frac{p^2-1}{8}})^p=\tau^{3a\frac{p^2-1}{8}}$
$\alpha'(\tau^{\frac{p^2-1}{4}} )=\alpha'((\tau^{\frac{p^2-1}{4}})^p)=\alpha'(-\tau^{\frac{p^2-1}{4}})=-\alpha'(\tau^{\frac{p^2-1}{4}}) $
$\alpha'(\tau^{\frac{p^2-1}{4}})=0$
$\theta(-1)=-1$を用いた。
$\alpha'( \tau^{\frac{p^2-1}{8}})= \alpha'(( \tau^{\frac{p^2-1}{8}})^p)=\alpha'( \tau^{3\frac{p^2-1}{8}})$

$\alpha'(z)$はルジャンドル記号の整数性より整数
$$p=\alpha'(1)^2+\alpha'(\tau^{\frac{p^2-1}{4}})^2+\alpha'(\tau^{\frac{p^2-1}{8}})^2+\alpha'(\tau^{3\frac{p^2-1}{8}})^2 \\ =\alpha'(1)^2+2\alpha'(\tau^{\frac{p^2-1}{8}})^2$$

$p=a^2+2b^2$
$p$$8$で割って$1$余る素数
$G:= \lbrace g \in \mathbb{F}_{p^2}^{\times} | g^{p+1}=1 \rbrace $
$T$$ \mathbb{F}_{p}$での、$1$の原始$4$乗根の$1$つとする。
$x^{\frac{p-1}{4}}$には$T$を用いて、
$x^{\frac{p-1}{4}}=T^v$となる、$v$が存在する。
$\theta(x)={(\sqrt{-1})}^v$$\theta(x)$を定義する。

$ \mathbb{F}_{p} \cap G=G'=\lbrace \pm 1 \rbrace$
$\frac{p-1}{4}$は偶数のため、
$\theta(\pm 1)=1$

$\mathbb{F}_{p^2}^{\times} /( \mathbb{F}_{p} ^\times G)\simeq\lbrace 1,\sqrt{M} \rbrace $
$\theta(M)=\sqrt{-1}$となるように$M$を選べる。
$M$が平方非剰余で$\theta(M)=-\sqrt{-1}$なら
$M^3$も平方非剰余で$\theta(M^3)=\sqrt{-1}$
$\sqrt{M}$$M\sqrt{M}$$\mathbb{F}_{p} ^\times G$剰余類で同じ剰余類に入る。

$\alpha'(z)$はガウス整数

$g=g_1+g_2\sqrt{M}$,$g \in G$,$g_1=t(g)$ならば,$g^{p+1}=g_1^2-Mg_2^2=1$を変形すると、
$(\frac{1}{g_1})^2-M\frac{(\sqrt{-1}g_2)^2}{g_1^2}=1$
($g_1=0$なら両辺の平方剰余、非剰余が異なるため$g_1\neq0$)
$j(g)=\frac{1}{g_1}+\sqrt{M}(\frac{\sqrt{-1}g_2}{g_1})\in G$
$j(j(g))=g^p$より$j(g)$は全単射
$t(j(g))=\frac{1}{g_1}$
$t(g)^{-1}=t(j(g))$

$$\overline{\alpha(1)}=\sum_{g \in G}{\overline{\theta(t(g))}} =\sum_{g \in G}{\theta(t(g)^{-1})}\\ =\sum_{g \in G}{\theta(t(j(g)))}=\sum_{g \in G}{\theta(t(g))}\\ =\alpha(1) $$
$\alpha(1)$は整数
$\alpha'(1)$も整数

$g=g_1+g_2\sqrt{M}$,$g \in G$,

$g^{p+1}=g_1^2-Mg_2^2=1$
$1+Mg_2^2=g_1^2$

$t(g\sqrt{M})=Mg_2$

任意の$x \in \mathbb{F}_{p}^\times$に対して、
$1+Mx^2$は平方剰余か平方非剰余
($-1$が平方剰余、$M$が平方非剰余なので、$1+Mx^2=0$にはならいない。)

$1+Mx^2$が平方剰余なら$Mx=t(g\sqrt{M})$を満たす$g \in G$$2$個あり。
$1+Mx^2=y^2$なら$g=\pm y +x\sqrt{M}$
$1+Mx^2$が平方非剰余なら$1+Mx^2=y^2M$より
$1+M\frac{1}{x^2M^2}=\frac{y^2}{x^2}$となり、
$\frac{1}{x}=t(g\sqrt{M})となるg \in G$$2$個ある。
$1+Mx^2=y^2M$なら$g=\pm \frac{y}{x} +\frac{1}{xM}\sqrt{M}$

$x \in \mathbb{F}_{p}^\times$
次で関数$\chi(x)$を定義する。
$\chi(x)= \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 1 \ \ \ 1+Mx^2が平方剰余\\ 0 \ \ \ 1+Mx^2が平方非剰余 \end{array} \right. \end{eqnarray}$

$\frac{1}{xM}$$x$に関して対合で不動点はない。

$1=\chi(x)+\chi(\frac{1}{xM}) \ \ \ x\neq0 $
$$\alpha(\sqrt{M})=\sum_{x \in \mathbb{F}_{p}^\times}\chi(x)2\theta(Mx)=\sum_{x \in \mathbb{F}_{p}^\times}\chi(x)2i\theta(x) $$

$$\alpha(\sqrt{M})=\sum_{x \in \mathbb{F}_{p}^\times}\chi(\frac{1}{xM})2\theta(\frac{1}{x})=\sum_{x \in \mathbb{F}_{p}^\times}\chi(\frac{1}{xM})2 \overline{\theta(x)} $$
$$(-\sqrt{-1} .\alpha(\sqrt{M})+\overline{\alpha(\sqrt{M})})=\sum_{x \in \mathbb{F}_{p}^\times}(\chi(x)+\chi(\frac{1}{xM}))2\theta(x)\\ =2\sum_{x \in \mathbb{F}_{p}^\times}\theta(x)=0$$
最後は$\theta(x)$の非自明性より

これにより、$\alpha(\sqrt{M})$$1-\sqrt{-1}$の整数倍
$|\alpha'(\sqrt{M})|^2=2d^2$
$p=|\alpha'(1)|^2+|\alpha'(\sqrt{M})|^2=\alpha'(1)^2+2d^2$
となる。

研究ノート

研究ノート$1$
$p$$4$で割って$1$余る素数かつ$N$で割って$1$余る素数
$\frac{p-1}{N}$は偶数とする。

$G:= \lbrace g \in \mathbb{F}_{p^2}^{\times} | g^{p+1}=1 \rbrace $
$\mathbb{F}_{p} \cap G =G'=\lbrace \pm 1 \rbrace$

$T_N$$ \mathbb{F}_{p}$での、$1$の原始$N$乗根の$1$つとする。
$\theta(x)$$x^{\frac{p-1}{N}}$$T_N$を用いて、
$x^{\frac{p-1}{N}}=T_N^v$となる、$v$が存在する。
$\zeta_N$$\mathbb{C}$での$1$の原始$N$乗根
$\theta(x)=\zeta_N^v$$\theta(x)$を定義する。

$\theta(1)=1$
$\frac{p-1}{N}$は偶数ゆえに、
$\theta(-1)=1$

$3$と同じ推論により、

$$\overline{\alpha(1)}=\alpha(1) $$
$\alpha(1)$は実数である。

$$\theta(M)\alpha(\sqrt{M})+\overline{\alpha(\sqrt{M})}=0$$

$\theta(M)=1$なら
$\alpha(\sqrt{M})$は純虚数である。
$\theta(M)\neq 1$なら
$\alpha(\sqrt{M})$$1-\overline{\theta(M)}$の実数倍である。

研究ノート$2$
$p$$4$で割って$3$余り、$N$で割って$1$余る素数
$\frac{p-1}{N}$は偶数とする。
$G:= \lbrace g \in \mathbb{F}_{p^2}^{\times} | g^{p+1}=1 \rbrace $
$\mathbb{F}_{p} \cap G =G'=\lbrace \pm 1 \rbrace$

$\theta(x)$は研究ノート$1$と同じとします。

$\mathbb{F}_{p}^\times G$の元は、$\tau^{2 n}$と表せる。
$\mathbb{F}_{p^2}^{\times} /(\mathbb{F}_{p}^\times G)\simeq \lbrace 1,\tau \rbrace $

$\mathbb{F}_{p^2}$の基底として$(1,\sqrt{-1})$が取れます。
$G$の定義式は、
$g=g_1+g_2\sqrt{-1} \ \ \ g \in G$なら
$g^{p+1}=1=g_1^2+g_2^2$
$x^2-1$が平方非剰余なら、
$x=t(g)$となる、$g\in G$$2$個ある。
$g=x\pm g_2 \sqrt{-1}$

$x^2-1$が平方剰余なら、
$x\neq 0$かつ
$x^2-1=y^2$なので、
$\frac{1}{x^2}-1=-\frac{y^2}{x^2}$
$\frac{1}{x}=t(g)$となる、$g\in G$$2$個ある。
$g=\frac{1}{x} \pm \frac{y}{x} \sqrt{-1}$

$x= \pm1 $なら、
$x=t(g)$となる、$g\in G$$1$個ある。
$x=g$

$\frac{1}{x}$$x$に関して対合で不動点は$\pm 1$
$\chi(x)= \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 1 \ \ \ x^2-1が平方剰余\\ 0 \ \ \ x^2-1が平方非剰余\\ \frac{1}{2} \ \ \ x^2-1=0 \end{array} \right. \end{eqnarray}$

$1=\chi(x)+\chi(\frac{1}{x}) \ \ \ x\neq0 $
$$\alpha(1)=\sum_{x \in \mathbb{F}_{p}^\times}\chi(x)2\theta(x) $$

$$\alpha(1)=\sum_{x \in \mathbb{F}_{p}^\times}\chi(\frac{1}{x})2\theta(\frac{1}{x})=\sum_{x \in \mathbb{F}_{p}^\times}\chi(\frac{1}{x})2 \overline{\theta(x)} $$
$$\alpha(1)+\overline{\alpha(1)}=\sum_{x \in \mathbb{F}_{p}^\times}(\chi(x)+\chi(\frac{1}{x}))2\theta(x)\\ =2\sum_{x \in \mathbb{F}_{p}^\times}\theta(x)=0$$
最後は$\theta(x)$の非自明性より

$\alpha(1)$は純虚数

$p=4q+3$
$M=\tau^{p+1}$$M$で定義する。
$M$は平方非剰余
$-1=\tau^{\frac{p^2-1}{2}}=M^{\frac{p-1}{2}}\\ =M^{\frac{p-3}{2}}M=M^{2q}M$

$(g\tau)^{p+1}=\tau^{p+1}=M$を満たす。
$g\tau=h_1+h_2\sqrt{-1}$としたとき、

$h_1^2+h_2^2=M$かつ$h_1\neq 0$
これを変形すると。
$h_1^2-M=-h_2^2$
$$\frac{M^2}{h_1^2}-M=M\frac{h_2^2}{h_1^2}=-{(\frac{h_2}{M^qh_1})}^2$$
このため、

$$j(g\tau)=\frac{M}{h_1}+\frac{h_2}{M^q h_1}\sqrt{-1}$$
$$j(j(g\tau))=(g\tau)^p$$
のため、$j(g\tau)$は全単射

$$ \alpha(\tau)=\sum_{g \in G}\theta(t(g\tau))=\sum_{g \in G}\theta(t(j(g\tau)))=\sum_{g \in G}\theta(\frac{M}{t(g\tau)})\\ =\theta(M)\sum_{g \in G} \overline{\theta(t(g\tau))}\\= \theta(M)\overline{\alpha(\tau)} $$
$$M^{\frac{p-1}{N}}=\tau^{\frac{p^2-1}{N}}$$
なので$\theta(M)=\zeta_N^l$
$l$$N$と互いに素な整数である。

$\alpha(\tau)$$1+\theta(M)$の実数倍
$$p=|\alpha'(1)|^2+|\alpha'(\tau)|^2$$

投稿日:202321

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