２次形式と素数改訂版

202

動機

素数 $p$ を表現する整数係数正定値 $2$ 次形式 $a^{2} + n b^{2} = p$ の
整数解の $a$ と $b$ を求める公式を作りたい。
$a^{2} + b^{2}$ と $a^{2} + 2 b^{2}$ の場合の公式を求めました。

準備

文字の約束
$p$ を奇素数とします。
$F_{p}$ を位数 $p$ の有限体とします。
$F_{p}^{\times}$ を位数 $p$ の有限体の乗法群とします。
$F_{p^{2}}$ を位数 $p^{2}$ の有限体とします。
$F_{p^{2}}^{\times}$ を位数 $p^{2}$ の有限体の乗法群とします。
$z$ は $F_{p^{2}}$ の元
$x, y$ は $F_{p}$ の元

トレース

T r (z)

とノルム

N (z)

の定義

トレース $T r (z)$ とノルム $N (z)$ および $F_{p}$ 線形写像 $t (z)$ を下記のように定義します。

$T r (z) := z + z^{p}$
$N (z) := z^{p + 1}$
$t (z) := \frac{T r (z)}{2}$

乗法群

F_{p^{2}}^{\times}

の部分群

G

と

G^{'}

$G$ を $F_{p^{2}}^{\times}$ の部分群で、
$| G |$ を位数としたとき、 $| G |$ が $p + 1$ を割りきるとします。
$F_{p^{2}}^{\times}$ は巡回群のため、 $G$ は位数のみで決まります。

$G^{'} = F_{p}^{\times} \cap G$ で $G^{'}$ を定義します。

G^{'}

の性質

$G^{'}$ は $| G |$ と $p - 1$ の最大公倍数に依存し、
次を満たします。
$| G | が偶数 ⟹ G^{'} = {1, - 1}$
$| G | が奇数 ⟹ G^{'} = {1}$

指標

θ (x)

$\hat{θ} : F_{p}^{\times} \overset{}{\to} C^{\times}$ は非自明群準同型と定義します。

$θ$ を下記で定義します。
$θ : F_{p} \overset{}{\to} C$
$x = 0 ⟹ θ (x) := 0$
$x \in F_{p}^{\times} ⟹ θ (x) := \hat{θ} (x)$

更に次の性質を満たすと仮定します。
$x \in G^{'} ⟹ θ (x) = 1$

関数

α^{^{'}} (z)

関数 $α^{^{'}} (z)$ を下記で定義します。

$α^{^{'}} : F_{p^{2}}^{\times} \overset{}{\to} C$
$α^{^{'}} (z) := \sum_{g G^{'} \in G / G^{'}} θ (t (g z))$

$α^{^{'}} (z)$ は、 $t (z)$ の $F_{p}$ 線形性及び、 $θ (x)$ の仮定より、
$G / G^{'}$ の代表元によらず定まる。

準備では次の定理 $1$ を証明します。

$| s |$ を複素数 $s$ の絶対値としたとき。
$p = \sum_{z F_{p}^{\times} G \in F_{p^{2}}^{\times} / F_{p}^{\times} G} | α^{^{'}} (z) |^{2}$

関数

α (z)

関数 $α (z)$ を下記で定義します。
$α : F_{p^{2}}^{\times} \overset{}{\to} C$
$α (z) := \sum_{g \in G} θ (t (g z))$

$θ (x)$ の準同型性と $t (z)$ の $F_{p}$ 線形性より
$x \in F_{p}^{\times}$ なら
$α (x z) = \sum_{g \in G} θ (t (g x z)) = θ (x) α (z)$

$θ (x)$ の準同型性より、
$θ (x)^{p - 1} = 1$ のため、
$θ (x)$ は $1$ の冪根
$\overset{―}{s}$ を複素数 $s$ の複素共役としたとき、
$θ (x)^{- 1} = \overset{―}{θ (x)}$
$| θ (x) |^{2} = 1$ となり。
$| α (x z) |^{2} = | θ (x) α (z) |^{2} = | α (z) |^{2}$

$θ (x)$ の仮定と補題 $2$ より
$x \in G^{'}$ なら
$α (x z) = \sum_{g \in G} θ (t (g x z)) = α (z)$
$α (z) = | G^{'} | α^{^{'}} (z)$

$α (z)$ の定義より
$g \in G$
$α (g z) = α (z)$

補題 $5$ より
$α (z)$ は $z G \in F_{p^{2}}^{\times} / G$ の代表元によらない。
また
補題 $3$ より
$| α (z) |^{2}$ は $z F_{p}^{\times} \in F_{p^{2}}^{\times} / F_{p}^{\times}$ の代表元によらない。
そのため、
$| α (z) |^{2}$ は $z F_{p}^{\times} G \in F_{p^{2}}^{\times} / F_{p}^{\times} G$ の代表元によらない。
$F_{p}^{\times} G$ の元の個数は、 $\frac{| F_{p}^{\times} | | G |}{| G^{'} |}$
$\sum_{z G \in F_{p^{2}}^{\times} / G} | α (z) |^{2} = \frac{| F_{p}^{\times} |}{| G^{'} |} \sum_{z F_{p}^{\times} G \in F_{p^{2}}^{\times} / (F_{p}^{\times} G)} | α (z) |^{2} = | F_{p}^{\times} | | G^{'} | \sum_{z F_{p}^{\times} G \in F_{p^{2}}^{\times} / (F_{p}^{\times} G)} | α^{^{'}} (z) |^{2}$

$\sum_{z G \in F_{p^{2}}^{\times} / G} | α (z) |^{2} = \sum_{z G \in F_{p^{2}}^{\times} / G} \sum_{g, g^{'} \in G} \overset{―}{(θ (t (g^{'} z))} θ (t (g z)) = \sum_{z \in F_{p^{2}}^{\times}} \sum_{g \in G} \overset{―}{θ (t (z))} θ (t (g z))$

$z$ を基底 $(1, \sqrt{M})$ で表示すると、
ただし $M$ は $F_{p}$ で平方非剰余な元
$z = x + y \sqrt{M}$
$t (z) = x$
以下 $θ (x)$ の定義より、
$x = 0$ の場合は $θ (x) = 0$ のため、
$x \neq 0$ とします。

(続き)
$= \sum_{x \in F_{p}^{\times}} \sum_{y \in F_{p}} \sum_{g \in G} \overset{―}{θ (x)} θ (t (g (x + y \sqrt{M}))) = \sum_{x \in F_{p}^{\times}} \sum_{y \in F_{p}} \sum_{g \in G} θ (t (g (1 + \frac{y}{x} \sqrt{M})))$

$y$ を $x$ 倍しても和の順番が変わるのみ、
すると和が $x$ に依存しないため。
(続き)
$= | F_{p}^{\times} | \sum_{y \in F_{p}} \sum_{g \in G} θ (t (g (1 + y \sqrt{M})))$

$g = g_{1} + g_{2} \sqrt{M}$ と基底で分けると。
$t (g (1 + y \sqrt{M})) = t (g) + \frac{g y \sqrt{M} - g^{p} y \sqrt{M}}{2} = t (g) + \frac{(g_{1} + g_{2} \sqrt{M} - g_{1} + g_{2} \sqrt{M}) y \sqrt{M}}{2} = t (g) + y g_{2} M = g_{1} + y g_{2} M$

$g_{2} = 0$ なら $g \in G^{'}$
$g_{2} \neq 0$ なら $g_{1} + y g_{2} M = y^{'}$ と $y$ を変換しても、和の順番が変わるのみ

(続き)
$= | F_{p}^{\times} | \sum_{y \in F_{p}} \sum_{g \in G^{'}} θ (g) + | F_{p}^{\times} | \sum_{y^{'} \in F_{p}} \sum_{g \in G - G^{'}} θ (y^{'})$
第 $1$ 項は $θ (g)$ が $G^{'}$ で $1$ のため $| F_{p}^{\times} | | F_{p} | | G^{'} |$

第 $2$ 項は $θ (x)$ が非自明のため、 $0$

(続き)
$= | F_{p}^{\times} | | F_{p} | | G^{'} |$

証明 (1) と証明 (2)を合わせて、
$\sum_{z G \in F_{p^{2}}^{\times} / G} | α (z) |^{2} = | F_{p}^{\times} | | G^{'} | \sum_{z F_{p}^{\times} G \in F_{p^{2}}^{\times} / (F_{p}^{\times} G)} | α^{^{'}} (z) |^{2} \sum_{z G \in F_{p^{2}}^{\times} / G} | α (z) |^{2} = | F_{p}^{\times} | | F_{p} | | G^{'} | p = | F_{p} | = \sum_{z F_{p}^{\times} G \in F_{p^{2}}^{\times} / (F_{p}^{\times} G)} | α^{^{'}} (z) |^{2}$

以上で定理 $1$ は証明された。

計算方法

$H := \frac{p^{2} - 1}{| G |}$ で $H$ を定義する。
$τ$ は $F_{p^{2}}^{\times}$ の生成元
$τ^{H f} = τ^{H p f}$ を満たす最小の正整数 $f$
$| G |$ と $p - 1$ の最小公倍数を $l$ としたとき、
$L = \frac{p^{2} - 1}{l}$

$F_{p^{2}}^{\times} / (F_{p}^{\times} G) ≃ {τ^{n} | 0 \leq n \leq L - 1}$
$α^{'} (τ^{n}) = \sum_{0 \leq k \leq f - 1} θ (\frac{τ^{H k + n} + τ^{p (H k + n)}}{2})$
$τ^{k} + τ^{p k}$ はリュカ数列の性質を満たす。

具体例

p = a^{2} + b^{2}

$p$ を $4$ で割って $1$ 余る素数
$G := {g \in F_{p^{2}}^{\times} | g^{p + 1} = 1}$
$θ (x) := (\frac{x}{p})$
$(\frac{x}{p})$ はルジャンドル記号
$F_{p} \cap G = G^{'} = {\pm 1}$

$p$ は $4$ で割って $1$ 余る素数のため、
$θ (\pm 1) = 1$
$F_{p}^{\times} G$ の元は生成元 $τ$ を用いて、
$τ^{2 n}$ とあらせる。
$τ^{2 \frac{p - 1}{4} + 1} = τ^{\frac{p + 1}{2}}$ は $p - 1$ 乗すると $- 1$ なので、平方非剰余な $F_{p}$ の元を $M$ 用いて、 $τ^{\frac{p + 1}{2}} = \sqrt{M}$

$F_{p^{2}}^{\times} / (F_{p}^{\times} G) ≃ {1, τ} ≃ {1, τ^{2 n + 1}} ≃ {1, \sqrt{M}}$

$α^{'} (z)$ はルジャンドル記号の整数性より整数

$p = α^{'} (1)^{2} + α^{'} (\sqrt{M})^{2}$

p = z^{2} + 2 y^{2}

$p$ を $8$ で割って $3$ 余る素数

$G := {g \in F_{p^{2}}^{\times} | g^{\frac{p + 1}{4}} = 1}$
$θ (x) := (\frac{x}{p})$
$(\frac{x}{p})$ はルジャンドル記号
$F_{p} \cap G = G^{'} = {1}$
$θ (1) = 1$

$F_{p}^{\times} G$ の元は生成元 $τ$ を用いて、
$τ^{4 n}$ とあらせる。
$p = 8 q + 3$ とすると。
$τ^{\frac{p^{2} - 1}{4}} = τ^{4 (4 q^{2} + 3 q) + 2}$
$τ^{\frac{p^{2} - 1}{8}} = \begin{array}{r} {\begin{cases} τ^{4 (2 q^{2} + 3 \frac{q}{2}) + 1} q \equiv 0 \mod 2 \\ τ^{4 (2 q^{2} + \frac{3 q - 1}{2}) + 3} q \equiv 1 \mod 2 \end{cases} \end{array}$

$τ^{3 \frac{p^{2} - 1}{8}} = \begin{array}{r} {\begin{cases} τ^{4 (6 q^{2} + \frac{9 q}{2}) + 3} q \equiv 0 \mod 2 \\ τ^{4 (6 q^{2} + \frac{9 q + 1}{2}) + 1} q \equiv 1 \mod 2 \end{cases} \end{array}$

$F_{p^{2}}^{\times} / (F_{p}^{\times} G) ≃ {1, τ, τ^{2}, τ^{3}} ≃ {1, τ^{\frac{p^{2} - 1}{4}}, τ^{\frac{p^{2} - 1}{8}}, τ^{3 \frac{p^{2} - 1}{8}}}$
$G^{p} = G$ , $t (g^{p} z^{p}) = t (g z)$ より
$α^{'} (z^{p}) = α^{'} (z)$
$(τ^{\frac{p^{2} - 1}{4}})^{p} = τ^{\frac{p^{2} - 1}{4} p} = τ^{\frac{p^{2} - 1}{4} 3} = - τ^{\frac{p^{2} - 1}{4}}$
$(τ^{a \frac{p^{2} - 1}{8}})^{p} = τ^{3 a \frac{p^{2} - 1}{8}}$
$α^{'} (τ^{\frac{p^{2} - 1}{4}}) = α^{'} ((τ^{\frac{p^{2} - 1}{4}})^{p}) = α^{'} (- τ^{\frac{p^{2} - 1}{4}}) = - α^{'} (τ^{\frac{p^{2} - 1}{4}})$
$α^{'} (τ^{\frac{p^{2} - 1}{4}}) = 0$
$θ (- 1) = - 1$ を用いた。
$α^{'} (τ^{\frac{p^{2} - 1}{8}}) = α^{'} ((τ^{\frac{p^{2} - 1}{8}})^{p}) = α^{'} (τ^{3 \frac{p^{2} - 1}{8}})$

$α^{'} (z)$ はルジャンドル記号の整数性より整数
$p = α^{'} (1)^{2} + α^{'} (τ^{\frac{p^{2} - 1}{4}})^{2} + α^{'} (τ^{\frac{p^{2} - 1}{8}})^{2} + α^{'} (τ^{3 \frac{p^{2} - 1}{8}})^{2} = α^{'} (1)^{2} + 2 α^{'} (τ^{\frac{p^{2} - 1}{8}})^{2}$

$p = a^{2} + 2 b^{2}$
$p$ を $8$ で割って $1$ 余る素数
$G := {g \in F_{p^{2}}^{\times} | g^{p + 1} = 1}$
$T$ を $F_{p}$ での、 $1$ の原始 $4$ 乗根の $1$ つとする。
$x^{\frac{p - 1}{4}}$ には $T$ を用いて、
$x^{\frac{p - 1}{4}} = T^{v}$ となる、 $v$ が存在する。
$θ (x) = {(\sqrt{- 1})}^{v}$ で $θ (x)$ を定義する。

$F_{p} \cap G = G^{'} = {\pm 1}$
$\frac{p - 1}{4}$ は偶数のため、
$θ (\pm 1) = 1$

$F_{p^{2}}^{\times} / (F_{p}^{\times} G) ≃ {1, \sqrt{M}}$
$θ (M) = \sqrt{- 1}$ となるように $M$ を選べる。
$M$ が平方非剰余で $θ (M) = - \sqrt{- 1}$ なら
$M^{3}$ も平方非剰余で $θ (M^{3}) = \sqrt{- 1}$
$\sqrt{M}$ と $M \sqrt{M}$ は $F_{p}^{\times} G$ 剰余類で同じ剰余類に入る。

$α^{'} (z)$ はガウス整数

$g = g_{1} + g_{2} \sqrt{M}$ , $g \in G$ , $g_{1} = t (g)$ ならば, $g^{p + 1} = g_{1}^{2} - M g_{2}^{2} = 1$ を変形すると、
$(\frac{1}{g_{1}})^{2} - M \frac{(\sqrt{- 1} g_{2})^{2}}{g_{1}^{2}} = 1$
( $g_{1} = 0$ なら両辺の平方剰余、非剰余が異なるため $g_{1} \neq 0$ )
$j (g) = \frac{1}{g_{1}} + \sqrt{M} (\frac{\sqrt{- 1} g_{2}}{g_{1}}) \in G$
$j (j (g)) = g^{p}$ より $j (g)$ は全単射
$t (j (g)) = \frac{1}{g_{1}}$
$t (g)^{- 1} = t (j (g))$

$\overset{―}{α (1)} = \sum_{g \in G} \overset{―}{θ (t (g))} = \sum_{g \in G} θ (t (g)^{- 1}) = \sum_{g \in G} θ (t (j (g))) = \sum_{g \in G} θ (t (g)) = α (1)$
$α (1)$ は整数
$α^{'} (1)$ も整数

$g = g_{1} + g_{2} \sqrt{M}$ , $g \in G$ ,

$g^{p + 1} = g_{1}^{2} - M g_{2}^{2} = 1$
$1 + M g_{2}^{2} = g_{1}^{2}$

$t (g \sqrt{M}) = M g_{2}$

任意の $x \in F_{p}^{\times}$ に対して、
$1 + M x^{2}$ は平方剰余か平方非剰余
( $- 1$ が平方剰余、 $M$ が平方非剰余なので、 $1 + M x^{2} = 0$ にはならいない。)

$1 + M x^{2}$ が平方剰余なら $M x = t (g \sqrt{M})$ を満たす $g \in G$ が $２$ 個あり。
$1 + M x^{2} = y^{2}$ なら $g = \pm y + x \sqrt{M}$
$1 + M x^{2}$ が平方非剰余なら $1 + M x^{2} = y^{2} M$ より
$1 + M \frac{1}{x^{2} M^{2}} = \frac{y^{2}}{x^{2}}$ となり、
$\frac{1}{x} = t (g \sqrt{M}) となる g \in G$ が $２$ 個ある。
$1 + M x^{2} = y^{2} M$ なら $g = \pm \frac{y}{x} + \frac{1}{x M} \sqrt{M}$

$x \in F_{p}^{\times}$
次で関数 $χ (x)$ を定義する。
$χ (x) = \begin{array}{r} {\begin{cases} 1 1 + M x^{2} が平方剰余 \\ 0 1 + M x^{2} が平方非剰余 \end{cases} \end{array}$

$\frac{1}{x M}$ は $x$ に関して対合で不動点はない。

$1 = χ (x) + χ (\frac{1}{x M}) x \neq 0$
$α (\sqrt{M}) = \sum_{x \in F_{p}^{\times}} χ (x) 2 θ (M x) = \sum_{x \in F_{p}^{\times}} χ (x) 2 i θ (x)$

$α (\sqrt{M}) = \sum_{x \in F_{p}^{\times}} χ (\frac{1}{x M}) 2 θ (\frac{1}{x}) = \sum_{x \in F_{p}^{\times}} χ (\frac{1}{x M}) 2 \overset{―}{θ (x)}$
$(- \sqrt{- 1} . α (\sqrt{M}) + \overset{―}{α (\sqrt{M})}) = \sum_{x \in F_{p}^{\times}} (χ (x) + χ (\frac{1}{x M})) 2 θ (x) = 2 \sum_{x \in F_{p}^{\times}} θ (x) = 0$
最後は $θ (x)$ の非自明性より

これにより、 $α (\sqrt{M})$ は $1 - \sqrt{- 1}$ の整数倍
$| α^{'} (\sqrt{M}) |^{2} = 2 d^{2}$ で
$p = | α^{'} (1) |^{2} + | α^{'} (\sqrt{M}) |^{2} = α^{'} (1)^{2} + 2 d^{2}$
となる。

研究ノート

研究ノート $1$
$p$ を $4$ で割って $1$ 余る素数かつ $N$ で割って $1$ 余る素数
$\frac{p - 1}{N}$ は偶数とする。

$G := {g \in F_{p^{2}}^{\times} | g^{p + 1} = 1}$
$F_{p} \cap G = G^{'} = {\pm 1}$

$T_{N}$ を $F_{p}$ での、 $1$ の原始 $N$ 乗根の $1$ つとする。
$θ (x)$ は $x^{\frac{p - 1}{N}}$ は $T_{N}$ を用いて、
$x^{\frac{p - 1}{N}} = T_{N}^{v}$ となる、 $v$ が存在する。
$ζ_{N}$ を $C$ での $1$ の原始 $N$ 乗根
$θ (x) = ζ_{N}^{v}$ で $θ (x)$ を定義する。

$θ (1) = 1$
$\frac{p - 1}{N}$ は偶数ゆえに、
$θ (- 1) = 1$

例 $3$ と同じ推論により、

$\overset{―}{α (1)} = α (1)$
$α (1)$ は実数である。

$θ (M) α (\sqrt{M}) + \overset{―}{α (\sqrt{M})} = 0$

$θ (M) = 1$ なら
$α (\sqrt{M})$ は純虚数である。
$θ (M) \neq 1$ なら
$α (\sqrt{M})$ は $1 - \overset{―}{θ (M)}$ の実数倍である。

研究ノート $2$
$p$ を $4$ で割って $3$ 余り、 $N$ で割って $1$ 余る素数
$\frac{p - 1}{N}$ は偶数とする。
$G := {g \in F_{p^{2}}^{\times} | g^{p + 1} = 1}$
$F_{p} \cap G = G^{'} = {\pm 1}$

$θ (x)$ は研究ノート $1$ と同じとします。

$F_{p}^{\times} G$ の元は、 $τ^{2 n}$ と表せる。
$F_{p^{2}}^{\times} / (F_{p}^{\times} G) ≃ {1, τ}$

$F_{p^{2}}$ の基底として $(1, \sqrt{- 1})$ が取れます。
$G$ の定義式は、
$g = g_{1} + g_{2} \sqrt{- 1} g \in G$ なら
$g^{p + 1} = 1 = g_{1}^{2} + g_{2}^{2}$
$x^{2} - 1$ が平方非剰余なら、
$x = t (g)$ となる、 $g \in G$ が $2$ 個ある。
$g = x \pm g_{2} \sqrt{- 1}$

$x^{2} - 1$ が平方剰余なら、
$x \neq 0$ かつ
$x^{2} - 1 = y^{2}$ なので、
$\frac{1}{x^{2}} - 1 = - \frac{y^{2}}{x^{2}}$
$\frac{1}{x} = t (g)$ となる、 $g \in G$ が $2$ 個ある。
$g = \frac{1}{x} \pm \frac{y}{x} \sqrt{- 1}$

$x = \pm 1$ なら、
$x = t (g)$ となる、 $g \in G$ が $1$ 個ある。
$x = g$

$\frac{1}{x}$ は $x$ に関して対合で不動点は $\pm 1$
$χ (x) = \begin{array}{r} {\begin{cases} 1 x^{2} - 1 が平方剰余 \\ 0 x^{2} - 1 が平方非剰余 \\ \frac{1}{2} x^{2} - 1 = 0 \end{cases} \end{array}$

$1 = χ (x) + χ (\frac{1}{x}) x \neq 0$
$α (1) = \sum_{x \in F_{p}^{\times}} χ (x) 2 θ (x)$

$α (1) = \sum_{x \in F_{p}^{\times}} χ (\frac{1}{x}) 2 θ (\frac{1}{x}) = \sum_{x \in F_{p}^{\times}} χ (\frac{1}{x}) 2 \overset{―}{θ (x)}$
$α (1) + \overset{―}{α (1)} = \sum_{x \in F_{p}^{\times}} (χ (x) + χ (\frac{1}{x})) 2 θ (x) = 2 \sum_{x \in F_{p}^{\times}} θ (x) = 0$
最後は $θ (x)$ の非自明性より

$α (1)$ は純虚数

$p = 4 q + 3$
$M = τ^{p + 1}$ で $M$ で定義する。
$M$ は平方非剰余
$- 1 = τ^{\frac{p^{2} - 1}{2}} = M^{\frac{p - 1}{2}} = M^{\frac{p - 3}{2}} M = M^{2 q} M$

$(g τ)^{p + 1} = τ^{p + 1} = M$ を満たす。
$g τ = h_{1} + h_{2} \sqrt{- 1}$ としたとき、

$h_{1}^{2} + h_{2}^{2} = M$ かつ $h_{1} \neq 0$
これを変形すると。
$h_{1}^{2} - M = - h_{2}^{2}$
$\frac{M^{2}}{h_{1}^{2}} - M = M \frac{h_{2}^{2}}{h_{1}^{2}} = - {(\frac{h_{2}}{M^{q} h_{1}})}^{2}$
このため、

$j (g τ) = \frac{M}{h_{1}} + \frac{h_{2}}{M^{q} h_{1}} \sqrt{- 1}$
$j (j (g τ)) = (g τ)^{p}$
のため、 $j (g τ)$ は全単射

$α (τ) = \sum_{g \in G} θ (t (g τ)) = \sum_{g \in G} θ (t (j (g τ))) = \sum_{g \in G} θ (\frac{M}{t (g τ)}) = θ (M) \sum_{g \in G} \overset{―}{θ (t (g τ))} = θ (M) \overset{―}{α (τ)}$
$M^{\frac{p - 1}{N}} = τ^{\frac{p^{2} - 1}{N}}$
なので $θ (M) = ζ_{N}^{l}$
$l$ は $N$ と互いに素な整数である。

$α (τ)$ は $1 + θ (M)$ の実数倍
$p = | α^{'} (1) |^{2} + | α^{'} (τ) |^{2}$

投稿日：2023年2月1日

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