連続的埋め込みを要求する主張の例

1. 半正値性
   他は明らかなので$|x|{X_1+X_2}=0 \Rightarrow x=0$のみ示す。
   連続的埋め込みの仮定からある$C>0$があり、$| x |X \leq C| x |{X_i} \quad (x \in X_i, i=1,2)$となる。すると$|x|{X_1+X_2}=0$より任意の$\varepsilon > 0$について$\exists x_1 \in X_1, \exists x_2 \in X_2, | x_1 |{X_1}, | x_2 |{X_2} <\varepsilon/2C$であるから、$|x|_X \leq |x_1|X+|x_2|X \leq C(|x_1|{X_1}+|x_2|{X_2})<\varepsilon$
   つまり$|x|_X=0$i.e.$x=0$である。
2. 斉次性
   $\alpha =0$のときは明らかなので、$\alpha \ne 0$のときに示す。
   任意の$\epsilon >0$について、$\exists x_1 \in X_1, \exists x_2 \in X_2, | x_1 |{X_1}+| x_2 |{X_2} <|x|{X_1+X_2}+\varepsilon/|\alpha|$であるから、$|\alpha x|{X_1+X_2} \leq |\alpha x_1 |{X_1}+|\alpha x_2 |{X_2} = |\alpha|| x_1 |{X_1}+|\alpha|| x_2 |{X_2} < |\alpha||x|{X_1+X_2}+\varepsilon$
   つまり$|\alpha x|{X_1+X_2} \leq |\alpha||x|{X_1+X_2}$となる。よってまた$|x|{X_1+X_2} =|\alpha^{-1}\alpha x|{X_1+X_2} \leq |\alpha^{-1}||\alpha x|{X_1+X_2}$なので$|\alpha||x|{X_1+X_2} \leq |\alpha x|{X_1+X_2}$
3. 三角不等式
   $| \cdot |{X_1}, | \cdot |{X_2}$についてのそれより明らか。

1. 半正値性
   $| x+W |X=0 \Rightarrow x \in W$を示せばよい(以下$x=(x_n)$とする)。$\forall \varepsilon > 0, \exists y=(y_n) \in x+W, \sum{n=1}^{\infty} |y_n| < \varepsilon$であるから補題2より、$|\sum_{n=1}^{\infty} x_n| = |\sum_{n=1}^{\infty} y_n| \leq \sum_{n=1}^{\infty} |y_n| < \varepsilon$であり、$\forall m \in \mathbb{N}, x_{2m-1}-x_{2m} = y_{2m-1}-y_{2m} \leq |y_{2m-1}|+|y_{2m}| < \varepsilon$なので、$\sum_{n=1}^{\infty} x_n=0$かつ$\forall m \in \mathbb{N}, x_{2m-1}=x_{2m}$となり示せた。
2. 斉次性
   $\alpha \ne 0$のときに$| \alpha(x+W) |_X \leq |\alpha| | x+W |_X$を示せばよい。つまり、$\forall \varepsilon > 0, \exists y \in \alpha(x+W), s(y) < |\alpha| | x+W |_X + \varepsilon$を示せばよい。これは$s(z)<| x+W |_X +\varepsilon/|\alpha|$となるような$z \in x + W$をとり、$y=\alpha z$とすれば示される。
3. 三角不等式
   $\mathrm{\forall }x,y\in S,s(x+y)\le s(x)+s(y)$より従う。

$X_1$についてのみ示すが、$X_2$についても同様に示される。

1. 半正値性
   $0$が$0+W$の正統な表示であることから従う。
2. 斉次性
   $x+W$の正統な表示$y$について、$\alpha y$が$\alpha (x+W)$の正統な表示となることから従う。
3. 三角不等式
   $\mathbb{R}$における絶対値の三角不等式から従う。

補題4より${\mathbf{e}}_1+{\mathbf{e}}_2+W\ne 0$だが、$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},{\mathbf{e}}_1+{\mathbf{e}}_2+W={\mathbf{e}}_{2n-1}+{\mathbf{e}}_{2n}+W$であり、$\parallel {\mathbf{e}}_{2n-1}{\parallel }_{X_1}+\parallel {\mathbf{e}}_{2n}{\parallel }_{X_2}=\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n}\to 0(n\to \mathrm{\infty })$なので$\parallel {\mathbf{e}}_1+{\mathbf{e}}_2+W{\parallel }_{X_1+X_2}=0$である。