大学数学基礎解説

文献あり

Riesz-Thorin の補間定理

補間空間,補間定理,解析学

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リース-ソリンの補間定理 (Riesz-Thorin interpolation theorem) を紹介し，その応用を述べる.

Riesz-Thorin の補間定理

定義

まず, この記事における記号を定義しておこう. 基本的に，我々は測度空間 $(X, M, μ)$ ， $(Y, N, ν)$ 上の可測関数を考察する. ただし，単に関数と言えば全て複素数値とする.

可測関数 $f$ と $p \in [1, \infty]$ に対して $\begin{array}{r} ∥ f ∥_{p} = {\begin{cases} {(\int_{X} | f |^{p})}^{1 / p} & (p < \infty) \\ \esssup {| f (x) | ∣ x \in X} & (p = \infty) \end{cases} \end{array}$ とし, $∥ f ∥_{p} = \infty$ となることも許す. $p \in [1, \infty]$ に対して, Hölder 共役な指数を $p^{'}$ とかく. $1 / p + 1 / p^{'} = 1$ である. $X$ 上の測度有限な単関数全体の集合を $Σ_{X}$ とかく.

すなわち， $Σ_{X} = {f : X \to C ∣ f = \sum_{j = 1}^{m} a_{j} χ_{E_{j}} と書いたとき μ (E_{j}) < \infty}$ とする. 符号関数 $sgn$ を $z \in C$ に対して $sgn (z) = {\begin{cases} \frac{z}{| z |} & z \neq 0 \\ 0 & z = 0 \end{cases}$ で定める.

動機

この小節では, Riesz-Thorin の補間定理を学ぶ上での動機付けを与える.

L^{p}

ノルムの対数凸性

$1 \leq p < r < q \leq \infty$ に対し， $L^{p} \cap L^{q} \subset L^{r} \subset L^{p} + L^{q}$ である. また， $\frac{1}{r} = \frac{1 - t}{p} + \frac{t}{q}$ なる $t \in (0, 1)$ を取ると
$\begin{array}{r} ∥ f ∥_{r} \leq ∥ f ∥_{p}^{1 - t} ∥ f ∥_{q}^{t} . \end{array}$

$p < r < q$ ならば $1 / q < 1 / r < 1 / p$ だから， $1 / r = (1 - t) / p + t / q$ を満たす $t \in (0, 1)$ は存在する. (1) $p < \infty$ の場合. ${(\frac{p}{(1 - t) r})}^{- 1} + {(\frac{q}{t r})}^{- 1} = 1$ より，この2数は Hölder 共役である. 従って Hölder の不等式より
$\begin{array}{rc} \int | f |^{r} & = \int | f |^{(1 - t) r} | f |^{t r} \leq {(\int | f |^{p})}^{(1 - t) r / p} {(\int | f |^{q})}^{t r / q} \\ = ∥ f ∥_{p}^{(1 - t) r} ∥ f ∥_{q}^{t r} \end{array}$ よって $∥ f ∥_{r} \leq ∥ f ∥_{p}^{1 - t} ∥ f ∥_{q}^{t}$ を得る. 特に， $f \in L^{p} \cap L^{q}$ ならば $f \in L^{r}$ なので $L^{p} \cap L^{q} \subset L^{r}$ である.

次に, 任意の $f \in L r$ に対して $f = g + h$ , $g = f χ_{{| f | > 1}}$ ， $h = f χ_{{| f | \leq 1}}$ と分解すると $\begin{array}{rc} \int | g |^{p} & \leq \int | g |^{r} \leq \int | f |^{p} < \infty \\ \int | h |^{q} & \leq \int | h |^{r} \leq \int | f |^{p} < \infty \end{array}$ より $g \in L^{p}$ , $h \in L^{q}$ だから $L^{r} \subset L^{p} + L^{q}$ である. (2) $q = \infty$ の場合. $\frac{1}{r} = \frac{1 - t}{p}$ に注意. $| f |^{r} \leq ∥ f ∥_{\infty}^{r - p} | f |^{p}$ だから $\begin{array}{rc} ∥ f ∥_{r} & = {(\int | f |^{r})}^{1 / r} \leq {(\int | f |^{p})}^{1 / r} ∥ f ∥_{\infty}^{1 - p / r} = ∥ f ∥_{p}^{p / r} ∥ f ∥_{\infty}^{1 - p / r} \\ = ∥ f ∥_{p}^{1 - t} ∥ f ∥_{\infty}^{t} \end{array}$ が成り立つ.

よって $L^{p} \cap L^{q} \subset L^{r}$ を得る. また，(1)と同様の分割により $L^{r} \subset L^{p} + L^{q}$ も成り立つ.

$L^{p}$ 上の有界線形写像 $T$ と $L^{q}$ 上の有界線形写像 $T$ が $L^{p} \cap L^{q}$ 上で一致すれば， $T$ は $L^{p} + L^{q}$ の線形写像と見なせる. $p < r < q$ に対して， $L^{r} \subset L^{p} + L^{q}$ だから $T$ は $L^{r}$ の線形写像でもある.

そのとき $T$ が $L^{r}$ 上で有界であるかを問うことは自然なことだろう. $L^{r}$ 上の有界性を保証するのが補間定理である.

主張

可測関数 $f$ に対し, $g$ が $f$ の truncation であるとは, 実数 $r_{1}$ ， $r_{2}$ を用いて $g (x) = f (x) χ_{{r_{1} < | f (x) | \leq r_{2}}}$ と書けることとする. $D$ は $(X, M, μ)$ 上の可測関数全体のなす集合の線形部分空間とする.

さらに, $f \in D$ ならば $D$ は $f$ の全ての truncation を含み，かつ $Σ_{X} \subset D$ であるとする. $T$ は $D$ 上で定義され， $(Y, N, ν)$ 上の可測関数に値を取る線形写像とする.

Riesz-Thorin の補間定理

$1 \leq p_{0}, p_{1}, q_{0}, p_{1} \leq \infty$ とする. ただし， $q_{0} = q_{1} = \infty$ ならば $ν$ は $σ$ 有限と仮定する. $0 \leq t \leq 1$ に対し， $\frac{1}{p_{t}} = \frac{1 - t}{p_{0}} + \frac{t}{p_{1}}, \frac{1}{q_{t}} = \frac{1 - t}{q_{0}} + \frac{t}{q_{1}}$ と置く. 線形写像 $T$ が $\begin{array}{rc} ∥ T f ∥_{q_{0}} & \leq M_{0} ∥ f ∥_{p_{0}}, f \in D \cap L^{p_{0}} (X) \\ ∥ T f ∥_{q_{1}} & \leq M_{1} ∥ f ∥_{p_{1}}, f \in D \cap L^{p_{1}} (X) \end{array}$ をみたすとき
$∥ T f ∥_{q_{t}} \leq M_{0}^{1 - t} M_{1}^{t} ∥ f ∥_{p_{t}}, f \in D \cap L^{p_{t}} (X)$ が成り立つ.

証明

証明のため, いくつかの補題を準備する.

$1 \leq p \leq \infty$ , $μ$ は $σ$ -有限とする. $f$ は $X$ 上の可測関数で, 任意の $g \in Σ_{X}$ に対し $f g \in L^{1}$ であり， $M_{p} (f) := sup {| \int f g | ∣ g \in Σ_{X}, ∥ g ∥_{p^{'}} = 1}$ と置くと $M_{p} (f) < \infty$ とする.

そのとき $f \in L^{p}$ かつ $∥ f ∥_{p} = M_{p} (f)$ が成り立つ.

第1段 $g$ は有界な可測関数で, ある $E \in M$ ， $μ (E) < \infty$ が存在して $E$ の外側で $0$ , かつ $∥ g ∥_{p^{'}} = 1$ とする.

そのとき, $| \int f g | \leq M_{p} (f)$ が成り立つ. 実際，そのとき単関数列 ${g_{n}}$ で， $| g_{n} | \leq | g |$ かつ $g_{n} \to g a . e .$ なるものが存在する. $g_{n} (x) = 0$ , ( $x \in E^{c}$ ) より $g_{n} \in Σ_{X}$ に注意. $∥ g_{n} ∥_{p^{'}} \to ∥ g ∥_{p^{'}}$ より $∥ g_{n} ∥_{p^{'}} > 0$ として良い. $| g_{n} | \leq ∥ g ∥_{\infty} χ_{E} \in Σ_{X}$ ， $χ_{E} f \in L^{1}$ よりルベーグの収束定理が使えて $\int f g = lim \int f g_{n}$ となる.

従って
$| \int f g | = lim | \int f g_{n} | = lim ∥ g_{n} ∥_{p^{'}} | \int f \frac{g_{n}}{∥ g_{n} ∥_{p^{'}}} | \leq lim ∥ g_{n} ∥_{p^{'}} M_{p} (f) = M_{p} (f)$ が成り立つ. 第2段 Hölder の不等式より
$M_{p} (f) \leq ∥ f ∥_{p} ∥ g ∥_{p^{'}} = ∥ f ∥_{p}$ よって逆の不等式を示す.
(1) $1 \leq p < \infty$ とする. $μ$ は $σ$ -有限だから，ある可測集合列 ${X_{n}} \subset M$ で, $μ (X_{n}) < \infty$ ， $X_{n} \subset X_{n + 1}$ ， $X = ⋃_{n = 1}^{\infty} X_{n}$ なるものが存在する.

単関数列 ${φ_{n}}$ で, $φ_{n} \to f$ (各点収束) ， $| φ_{n} | \leq | f |$ なるものを取る. $f_{n} = φ_{n} χ_{X_{n}}$ と置くと $f_{n} \in Σ_{X}$ で $f_{n} \to f$ (各点収束) , $| f_{n} | \leq | f |$ が成り立つ.
$g_{n} = ∥ f_{n} ∥_{p}^{1 - p} | f_{n} |^{p - 1} \overset{―}{sgn f}$ と置くと
$∥ g_{n} ∥_{p^{'}}^{p^{'}} = ∥ f_{n} ∥_{p}^{(1 - p) p^{'}} \int | f_{n} |^{(p - 1) p^{'}} = ∥ f_{n} ∥_{p}^{- p^{'}} ∥ f_{n} ∥_{p}^{p^{'}} = 1$ より $g_{n}$ は第1段の仮定を満たす ( $f_{n}$ は単関数だから有界であることに注意)
.
$\int | f_{n} g_{n} | = ∥ f_{n} ∥_{p}^{(1 - p)} \int | f_{n} |^{p} = ∥ f_{n} ∥_{p}^{(1 - p)} ∥ f_{n} ∥_{p}^{p} = ∥ f_{n} ∥_{p}$ および $| f | = \overset{―}{sgn f} f$ より
$∥ f_{n} ∥_{p} = \int | f_{n} g_{n} | \leq \int | f g_{n} | = \int f g_{n}$ 従って
Fatou の補題より
$∥ f ∥_{p} \leq lim inf ∥ f_{n} ∥_{p} = lim inf \int f g_{n} \leq M_{p} (f)$ 以上により $1 \leq p < \infty$ の場合が示された. (2) $p = \infty$ とする.

任意に $ε > 0$ を取って固定する. $E = {x ∣ | f (x) | \geq M_{\infty} (f) + ε}$ と置く. $μ (E) > 0$ として矛盾を導こう. 今， $μ (E) > 0$ より $F \subset E$ かつ $0 < μ (F) < \infty$ なるものが存在する.

そこで $g = μ (F)^{- 1} χ_{F} \overset{―}{sgn (f)}$ と置くと， $g \in Σ_{X}$ , $∥ g ∥_{1} = 1$ だから
$M_{\infty} (f) \geq | \int f g | = μ (F)^{- 1} \int_{F} | f | \geq M_{\infty} (f) + ε$ これは明らかに矛盾.

よって $μ (E) = 0$ だから $f \in L^{\infty}$ かつ $∥ f ∥_{\infty} \leq M_{\infty} (f) + ε$ である. $ε$ は任意より $∥ f ∥_{\infty} \leq M_{\infty} (f)$ が分かった.

三線定理

$S = {z \in C ∣ 0 \leq Re z \leq 1}$ とする. $Φ (z)$ は $S$ 上で有界かつ連続で, $S$ の内部で正則とする. さらに
$\begin{array}{rc} sup_{y \in R} | Φ (i y) | \leq M_{0} \\ sup_{y \in R} | Φ (1 + i y) | \leq M_{1} \end{array}$ ならば, 任意の $x \in [0, 1]$ に対して
$sup_{y \in R} | Φ (x + i y) | \leq M_{0}^{1 - x} M_{1}^{x}$ が成り立つ.

$0 < x < 1$ の場合を示す. $M_{0} \neq 0$ かつ $M_{1} \neq 0$ の場合を示せば十分である. 実際， $M_{0} = 0$ ならば，十分小さい $M_{0} = ε > 0$ に対して定理を適用することで， $| Φ (z) |$ はいくらでも小さくできる. $M_{1} = 0$ の場合も同じである.

さらに $Φ (z) / M_{0}^{1 - z} M_{1}^{z}$ を考えることにより， $M_{0} = M_{1} = 1$ の場合を考えれば十分である
( $| M^{x + i y} | = | M^{x} e^{i y \log M} | = M^{x}$ に注意) .

よって $| Φ (i y) | \leq 1$ ， $| Φ (1 + i y) | \leq 1$ ならば $| Φ (z) | \leq 1$ を示せば良い. $Φ_{n} (z) = Φ (z) e^{(z^{2} - 1) / n}$ と置く. $\begin{array}{rc} | Φ_{n} (i y) | & \leq 1 \\ | Φ_{n} (1 + i y) | & \leq 1 \end{array}$ である. また， $| Φ_{n} (z) | = | Φ (x + i y) | e^{- y^{2} / n} e^{(x^{2} - 1) / n} \leq | Φ (x + i y) | e^{- y^{2} / n}$ より $x \in [0, 1]$ に関して一様に
$lim_{| y | \to \infty} Φ_{n} (x + i y) = 0$ が成り立つ. よって，ある $y_{0} > 0$ が存在し任意の $x \in [0, 1]$ に対して
$sup_{| y | \geq y_{0}} | Φ_{n} (x + i y) | \leq 1$ が成り立つ.

長方形 $R = {x + i y ∣ 0 \leq x \leq 1, - y_{0} \leq y \leq y_{0}}$ の境界上では $| Φ_{n} (z) | \leq 1$ である. $Φ_{n}$ は $R$ 上で連続, $R$ の内部で正則だから, 絶対最大値の原理より
$sup_{z \in R} | Φ_{n} (z) | = sup_{z \in \partial R} | Φ_{n} (z) | \leq 1$ が成り立つ.

以上より任意の $z \in S$ に対し $Φ_{n} (z) \leq 1$ が分かった.

後は $n \to \infty$ として求める結果を得る.

Riesz-Thorin の補間定理の証明

$p_{0} = p_{1}$ の場合.

このとき $p_{0} = p_{1} = p_{t}$ である.

よって $f \in L^{p_{t}}$ に対し $T f \in L^{q_{0}} \cap L^{q_{1}}$ なので定理1より
$\begin{array}{rc} ∥ T f ∥_{q_{t}} & \leq ∥ T f ∥_{q_{0}}^{1 - t} ∥ T f ∥_{q_{1}}^{t} \leq M_{0}^{1 - t} M_{1}^{t} ∥ f ∥_{p_{0}}^{1 - t} ∥ f ∥_{p_{1}}^{t} \\ = M_{0}^{1 - t} M_{1}^{t} ∥ f ∥_{p_{t}} \end{array}$ (2) $p_{0} \neq p_{1}$ の場合. $1 \leq p_{0} < p_{1} \leq \infty$ としても一般性を失わない. まず， $f \in Σ_{X}$ の場合に
$∥ T f ∥_{q_{t}} \leq M_{0}^{1 - t} M_{1}^{t} ∥ f ∥_{p_{t}}$ を示そう. $T$ の線形性より, $∥ f ∥_{p_{t}} = 1$ の場合を示せば十分. さらに，補題3により, $f \in Σ_{X}$ ， $∥ f ∥_{p_{t}} = 1$ と $g \in Σ_{Y}$ , $∥ g ∥_{q_{t}} = 1$ に対し
$| \int (T f) g | \leq M_{0}^{1 - t} M_{1}^{t}$ を示せば良い. まず $\begin{array}{rc} f & = \sum_{j = 1}^{m} a_{j} χ_{E_{j}} = \sum_{j} | a_{j} | e^{i θ_{j}} χ_{E_{j}} (a_{j} \neq 0, E_{j} は互いに素), \\ g & = \sum_{k = 1}^{n} b_{k} χ_{F_{k}} = \sum_{k} | b_{k} | e^{i φ_{j}} χ_{F_{k}} (b_{k} \neq 0, F_{k} は互いに素) \end{array}$ とし， $z \in S := {z \in C ∣ 0 \leq Re z \leq 1}$ に対して
$\begin{array}{rc} α (z) & = \frac{1 - z}{p_{0}} + \frac{z}{p_{1}}, \\ β (z) & = \frac{1 - z}{q_{0}} + \frac{z}{q_{1}} \end{array}$ とする.

与えられた $t \in [0, 1]$ に対し $α (t) = 1 / p_{t}$ , $β (t) = 1 / q_{t}$ である.

また $0 < α (t) < 1$ , $0 \leq β (t) \leq 1$ である.
$\begin{array}{rc} f_{z} & = \sum_{j} | a_{j} |^{α (z) / α (t)} e^{i θ_{j}} χ_{E_{j}}, \\ g_{z} & = \sum_{k} | b_{k} |^{(1 - β (z)) / (1 - β (t))} e^{i φ_{k}} χ_{F_{j}} \end{array}$ と定める. $f_{t} = f$ , $g_{t} = g$ である. ただし $β (t) = 1$ ，つまり $q_{0} = q_{1} = 1$ のときは $g_{z} = g$ と定める. これによって，以降議論を多少修正する場合があるが, 簡単なのでいちいち述べない. さらに
$\begin{array}{rc} Φ (z) & = \int (T f_{z}) g_{z} \\ = \sum_{j, k} | a_{j} |^{α (z) / α (t)} | b_{k} |^{(1 - β (z)) / (1 - β (t))} e^{i (θ_{j} + φ_{k})} \int (T χ_{E_{j}}) χ_{F_{k}} \end{array}$ と定める. $Φ$ は $S$ 上で有界かつ連続で, $S$ の内部で正則である.

三線定理を適用するため, $| Φ (i y) | \leq M_{0}$ ， $| Φ (1 + i y) | \leq M_{1}$ を示そう. $E_{j}$ は互いに素だから，任意の $x \in X$ は高々一つの $E_{j}$ に属す. $x \in E_{j}$ ならば
$\begin{array}{rc} | f_{i y} (x) | & = | | a_{j} |^{α (i y) / α (t)} e^{i θ_{j}} χ_{E_{j}} (x) | = | | a_{j} |^{(1 - i y) / p_{0} α (t) + i y / p_{1} α (t)} | \\ = | a_{j} |^{1 / p_{0} α (t)} = | a_{j} |^{p_{t} / p_{0}} = | f (x) |^{p_{t} / p_{0}} \end{array}$ よって $| f_{i y} | = | f |^{p_{t} / p_{0}}$ . 同様に $x \in F_{k}$ ならば
$\begin{array}{rc} | g_{i y} (x) | & = | | b_{k} |^{(1 - (1 - i y) / q_{0} - i y / q_{1}) / (1 - β (t))} | = | b_{k} |^{(1 - q_{0}^{- 1}) / (1 - q_{t}^{- 1})} \\ = | b_{k} |^{q_{t}^{'} / q_{0}^{'}} = | g (x) |^{q_{t}^{'} / q_{0}^{'}} \end{array}$ より $| g_{i y} | = | g |^{q_{t}^{'} / q_{0}^{'}}$ である. さらに Hölder の不等式によって
$\begin{array}{rc} | Φ (i y) | & \leq ∥ T f_{i y} ∥_{q_{0}} ∥ g_{i y} ∥_{q_{0}^{'}} \leq M_{0} ∥ f_{i y} ∥_{p_{0}} ∥ g_{i y} ∥_{q_{0}^{'}} \\ = M_{0} ∥ f ∥_{p_{t}}^{p_{t} / p_{0}} ∥ g ∥_{q_{t}^{'}}^{q_{t}^{'} / q_{0}^{'}} = M_{0} . \end{array}$ 全く同様に $\begin{array}{rc} | f_{1 + i y} (x) | & = | | a_{j} |^{- i y / p_{0} α (t) + (1 + i y) / p_{1} α (t)} | = | a_{j} |^{1 / p_{1} α (t)} = | f (x) |^{p_{t} / p_{1}} \\ | g_{1 + i y} (x) | & = | | b_{k} |^{(1 - (- i y) / q_{0} - (1 + i y) / q_{1}) / (1 - β (t))} | = | b_{k} |^{(1 - q_{1}^{- 1}) / (1 - q_{t}^{- 1})} \\ = | g (x) |^{q_{t}^{'} / q_{1}^{'}} \end{array}$ $\begin{array}{rc} | Φ (1 + i y) | & \leq ∥ T f_{1 + i y} ∥_{q_{1}} ∥ g_{1 + i y} ∥_{q_{1}^{'}} \leq M_{1} ∥ f_{1 + i y} ∥_{p_{1}} ∥ g_{1 + i y} ∥_{q_{1}^{'}} \\ = M_{1} ∥ f ∥_{p_{t}}^{p_{t} / p_{1}} ∥ g ∥_{q_{t}^{'}}^{q_{t}^{'} / q_{1}^{'}} = M_{1} \end{array}$ となる. 以上により，任意の $z = x + i y \in S$ に対して $| Φ (z) | \leq M_{0}^{1 - x} M_{1}^{x}$ が分かった.

特に， $z = t$ と置くと $| \int (T f) g | \leq M_{0}^{1 - t} M_{1}^{t}$ を得る.

よって, 任意の $f \in Σ_{X}$ に対して $∥ T f ∥_{q_{t}} \leq M_{0}^{1 - t} M_{1}^{t} ∥ f ∥_{p_{t}}$ が示された.

これが, 一般の $f \in D \cap L^{p_{t}}$ に対しても成り立つことを示そう.

任意に $f \in D \cap L^{p_{t}}$ を取る. そのとき， ${f_{n}} \subset Σ_{X}$ で $f_{n} \to f$ (各点収束) ， $| f_{n} | \leq | f |$ なるものが存在する. $E = {x ∣ | f (x) | > 1}$ に対し， $\begin{array}{rclr} g & = f χ_{E}, & g_{n} & = f_{n} χ_{E} \\ h & = f - g, & h_{n} & = f_{n} - g_{n} \end{array}$ と定める. $g$ , $h$ は $f$ の
truncation だから $g, h \in D$ , $g_{n}$ ， $h_{n}$ は単関数だから $g_{n}, h_{n} \in D$ である. $| f_{n} - f |^{p_{t}} \leq 2^{p_{t}} | f |^{p_{t}}$ より，ルベーグの収束定理が使えて $f_{n} \to f in L^{p_{t}}$ を得る. $1 \leq p_{0} \leq p_{t} \leq p_{1} \leq \infty$ , $| g (x) | > 1$ ， $| h (x) | \leq 1$ に注意すると $\begin{array}{rc} \int | g |^{p_{0}} & \leq \int | g |^{p_{t}} \leq \int | f |^{p_{t}} < \infty \\ \int | f |^{p_{1}} & \leq \int | h |^{p_{t}} \leq \int | f |^{p_{t}} < \infty \end{array}$ よって $g, g_{n} \in L^{p_{0}}$ , $h, h_{n} \in L^{p_{1}}$ である.

ルベーグの収束定理により $g_{n} \to g in L^{p_{0}}$ ， $h_{n} \to h in L^{p_{1}}$ だから $\begin{array}{rc} ∥ T g_{n} - T g ∥_{q_{0}} & \leq M_{0} ∥ g_{n} - g ∥_{p_{0}} \to 0 a . e . \\ ∥ T h_{n} - T h ∥_{q_{1}} & \leq M_{1} ∥ h_{n} - h ∥_{p_{1}} \to 0 a . e . \end{array}$ よって，適当な部分列 $n (k)$ を取れば $T g_{n (k)} (x) \to T g (x) a . e .$ かつ $T h_{n (k)} (x) \to T h (x) a . e .$ とできる.

従って $\begin{array}{rc} T f_{n (k)} (x) & = T g_{n (k)} (x) + T h_{n (k)} (x) \to T g (x) + T h (x) = T f (x) a . e . \end{array}$ 以上により, Fatou の補題から $\begin{array}{r} ∥ T f ∥_{q_{t}} \leq lim inf ∥ T f_{n (k)} ∥_{q_{t}} \leq lim inf M_{0}^{1 - t} M_{1}^{t} ∥ f_{n (k)} ∥_{p_{t}} \leq M_{0}^{1 - t} M_{1}^{t} ∥ f ∥_{p_{t}} \end{array}$ を得る. これで定理が証明された.

余談

Riesz-Thorin の補間定理は, ときに Riesz-Thorin の凸性定理 (convexity theorem) とよばれる. その理由を説明しよう. 任意の $f \in L^{p}$ に対して
$∥ T f ∥_{q} \leq M ∥ f ∥_{p}$ が成り立つとき， $T$ は $(p, q)$ 型であるとよぼう. また，この不等式を満たす $M$ の下限を $T$ の $(p, q)$ ノルムとよび， $∥ T ∥_{(p, q)}$ と書くことにする. 座標平面に，4点 $(0, 0)$ , $(1, 0)$ , $(0, 1)$ , $(1, 1)$ を頂点とする閉正方形 $Q$ を書く. $Q$ 上の二点 $(1 / p_{0}, 1 / q_{0})$ , $(1 / p_{1}, 1 / q_{1})$ を取り，線形作用素 $T$ は $(p_{0}, q_{0})$ 型かつ $(p_{1}, q_{1})$ 型とする. そのとき，二点 $(1 / p_{0}, 1 / q_{0})$ ， $(1 / p_{1}, 1 / q_{1})$ を結ぶ線分上の任意の点 $(1 / p_{t}, 1 / q_{t})$ を取ると， $T$ は $(p_{t}, q_{t})$ 型である.

$T$ が $(p, q)$ 型であるような $p$ , $q$ の組を全て取り，点 $(1 / p, 1 / q)$ をプロットすれば, 凸集合をなす. さらに， $φ (t) = \log ∥ T ∥_{(p_{t}, q_{t})}$ と置くと
$φ (t) \leq (1 - t) φ (0) + t φ (1)$ より $φ$ は凸関数である.

応用

$f \in L^{p}$ , $g \in L^{p^{'}}$ とする. Hölder の不等式より
$∥ f * g ∥_{1} \leq ∥ f ∥_{p} ∥ g ∥_{p^{'}}$ また, 畳み込みに関するYoungの不等式から, $f \in L^{p}$ , $g \in L^{1}$ に対して
$∥ f * g ∥_{p} \leq ∥ f ∥_{p} ∥ g ∥_{1}$ が成り立つ. このことから，より一般的に次の定理が成り立つ.

Young の不等式

$1 \leq p, q, r \leq \infty$ は $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{r} + 1$ をみたすとする. $f \in L^{p}$ , $f \in L^{q}$ に対し $f * g \in L^{r}$ かつ
$∥ f * g ∥_{r} \leq ∥ f ∥_{p} ∥ g ∥_{q}$ が成り立つ.

$f \in L^{p}$ を一つ固定しておく. 作用素 $T_{f}$ を, $g$ に対して
$(T_{f} g) (x) = f * g (x)$ で定義すれば, Riesz-Thorin の補間定理から明らか.

フーリエ変換 $F$ を, $f \in L^{1} (R^{n})$ に対して
$F f (ξ) = \int_{R^{n}} f (x) e^{- 2 π i x \cdot ξ} d x$ で定める. 明らかに $∥ F f ∥_{\infty} \leq ∥ f ∥_{1}$ が成り立つ. また, フーリエ変換は $L^{2}$ 上の作用素に拡張可能で, Plancherel の定理 $∥ F f ∥_{2} = ∥ f ∥_{2}$ が成り立つ. このことから， $f \in L^{p}$ , $1 \leq p \leq 2$ に対して fourier 変換が定義出来て，次が成り立つ.