Riesz-Thorin の補間定理

$p < r < q$ならば$1/q < 1/r < 1/p$だから，$1/r=(1-t)/p+t/q$を満たす$t\in (0,1)$は存在する. (1) $p < \infty$の場合.$\left( \frac{p}{(1-t)r} \right)^{-1} + \left( \frac{q}{tr} \right)^{-1} =1$より，この2数は Hölder 共役である. 従って Hölder の不等式より
$$\begin{eqnarray} \int |f|^r &= \int |f|^{(1-t)r} |f|^{tr} \leq \left( \int |f|^p \right)^{(1-t)r/p} \left( \int |f|^q \right)^{tr/q} \\ &= \|f\|_p^{(1-t)r} \|f\|_q^{tr}\end{eqnarray}$$よって$\|f\|_r \leq \|f\|_p^{1-t} \|f\|_q^t$を得る. 特に，$f \in L^p \cap L^q$ならば$f \in L^r$なので$L^p \cap L^q \subset L^r$である.

次に, 任意の$f \in Lr$に対して$f=g+h$, $g=f \chi_{\{|f| > 1\}}$，$h=f \chi_{\{|f| \leq 1\}}$と分解すると $$\begin{eqnarray} \int |g|^p &\leq \int |g|^r \leq \int |f|^p < \infty \\ \int |h|^q &\leq \int |h|^r \leq \int |f|^p < \infty\end{eqnarray}$$より$g \in L^p$, $h \in L^q$だから$L^r \subset L^p + L^q$である. (2)$q = \infty$の場合. $\frac{1}{r} = \frac{1-t}{p}$に注意.$|f|^r \leq \| f \|_{\infty}^{r-p} |f|^p$だから $$\begin{eqnarray} \|f\|_r &= \left( \int |f|^r \right)^{1/r} \leq \left( \int |f|^p \right)^{1/r} \|f\|_{\infty}^{1-p/r} = \|f\|_p^{p/r} \|f\|_{\infty}^{1-p/r} \\ &= \|f\|_p^{1-t} \|f\|_{\infty}^{t}\end{eqnarray}$$ が成り立つ.

よって$L^p \cap L^q \subset L^r$を得る. また，(1)と同様の分割により$L^r \subset L^p + L^q$も成り立つ.

第1段 $g$は有界な可測関数で, ある$E \in M$，$\mu(E) < \infty$が存在して$E$の外側で$0$, かつ$\|g\|_{p'}=1$とする.

そのとき, $\left| \int fg \right| \leq M_p(f)$が成り立つ. 実際，そのとき単関数列$\{ g_n \}$で，$|g_n| \leq |g|$かつ$g_n \to g \; \mathrm{a.e.}$なるものが存在する.$g_n(x)=0$, ($x \in E^c$) より$g_n \in \Sigma_X$に注意.$\|g_n\|_{p'} \to \|g\|_{p'}$より$\|g_n\|_{p'} > 0 $として良い.$|g_n| \leq \|g\|_{\infty} \chi_E \in \Sigma_X$，$\chi_E f \in L^1$よりルベーグの収束定理が使えて$\int fg = \lim \int fg_n$となる.

従って
$$\left| \int fg \right| = \lim \left| \int fg_n \right| = \lim \|g_n\|_{p'} \left| \int f \frac{g_n}{\|g_n\|_{p'}} \right| \leq \lim \|g_n\|_{p'} M_p(f) = M_p(f)$$が成り立つ. 第2段 Hölder の不等式より
$$M_p(f) \leq \|f\|_p \|g\|_{p'} = \|f\|_{p}$$ よって逆の不等式を示す.
(1) $1 \leq p < \infty$とする. $\mu$は $\sigma$ -有限だから，ある可測集合列$\{X_n\} \subset \mathscr{M}$で, $\mu(X_n) < \infty$，$X_n \subset X_{n+1}$，$X=\bigcup _{n=1}^{\infty} X_n$なるものが存在する.

単関数列$\{\varphi_n\}$で, $\varphi_n \to f$ (各点収束) ，$|\varphi_n| \leq |f|$なるものを取る.$f_n=\varphi_n \chi_{X_n}$と置くと$f_n \in \Sigma_X$で$f_n \to f$(各点収束) , $|f_n| \leq |f|$が成り立つ.
$$g_n = \|f_n\|_p^{1-p} |f_n|^{p-1} \overline{\mathrm{sgn} f}$$ と置くと
$$\|g_n\|_{p'}^{p'} = \|f_n\|_p^{(1-p)p'} \int |f_n|^{(p-1)p'} = \|f_n\|_p^{-p'} \|f_n\|_p^{p'} = 1$$より$g_n$は第1段の仮定を満たす ($f_n$は単関数だから有界であることに注意)
.
$$\int |f_n g_n| = \|f_n\|_p^{(1-p)} \int |f_n| ^p = \|f_n\|_p^{(1-p)} \|f_n\|_p^{p} = \|f_n\|_p$$および$|f| = \overline{\mathrm{sgn} f} f$より
$$\|f_n\|_p = \int |f_n g_n| \leq\int |f g_n| = \int f g_n$$ 従って
Fatou の補題より
$$\|f\|_p \leq \liminf \|f_n\|_p = \liminf \int f g_n \leq M_p(f)$$以上により$1 \leq p < \infty$の場合が示された. (2) $p=\infty$とする.

任意に$\varepsilon>0$を取って固定する.$E=\left\{x \mid |f(x)| \geq M_{\infty}(f)+\varepsilon\right\}$と置く.$\mu(E)>0$として矛盾を導こう. 今，$\mu(E)>0$より$F \subset E$かつ$0<\mu(F)<\infty$なるものが存在する.

そこで $$g=\mu(F)^{-1} \chi_F \overline{\mathrm{sgn}(f)}$$ と置くと，$g \in \Sigma_X$, $\|g\|_{1}=1$だから
$$M_{\infty}(f) \geq \left| \int fg \right| = \mu(F)^{-1} \int_F |f| \geq M_{\infty}(f)+\varepsilon$$これは明らかに矛盾.

よって$\mu(E)=0$だから$f \in L^{\infty}$かつ$\|f\|_{\infty} \leq M_{\infty}(f)+\varepsilon$である.$\varepsilon$は任意より$\|f\|_{\infty} \leq M_{\infty}(f)$が分かった.

$0 < x< 1$の場合を示す.$M_0 \neq 0$かつ$M_1 \neq 0$の場合を示せば十分である. 実際，$M_0=0$ならば，十分小さい$M_0=\varepsilon>0$に対して定理を適用することで，$|\varPhi(z)|$はいくらでも小さくできる. $M_1=0$の場合も同じである.

さらに$\varPhi(z)/M_0^{1-z}M_1^z$を考えることにより，$M_0=M_1=1$の場合を考えれば十分である
($|M^{x+iy}|=|M^x e^{iy \log M}|=M^x$に注意) .

よって$|\varPhi(iy)| \leq 1$，$|\varPhi(1+iy)| \leq 1$ならば$|\varPhi(z)| \leq 1$を示せば良い.$\varPhi_n(z)=\varPhi(z)e^{(z^2-1)/n}$と置く. $$\begin{eqnarray} |\varPhi_n(iy) | &\leq 1 \\ |\varPhi_n(1+iy) | &\leq 1\end{eqnarray}$$ である. また，$|\varPhi_n(z)|=|\varPhi(x+iy)|e^{-y^2/n}e^{(x^2-1)/n} \leq |\varPhi(x+iy)|e^{-y^2/n}$より$x \in [0,1]$に関して一様に
$$\lim_{|y| \to \infty} \varPhi_n(x+iy) = 0$$ が成り立つ. よって，ある$y_0 > 0$が存在し任意の$x \in [0,1]$に対して
$$\sup_{|y| \geq y_0} |\varPhi_n(x+iy)| \leq 1$$ が成り立つ.

長方形$R=\{x+iy \mid 0\leq x \leq 1, -y_0 \leq y \leq y_0\}$の境界上では$|\varPhi_n(z)| \leq 1$である.$\varPhi_n$は$R$上で連続, $R$の内部で正則だから, 絶対最大値の原理より
$$\sup_{z \in R} |\varPhi_n(z)| = \sup_{z \in \partial R} |\varPhi_n(z)| \leq 1$$が成り立つ.

以上より任意の$z \in S$に対し$\varPhi_n(z) \leq 1$が分かった.

後は$n \to \infty$として求める結果を得る.

1. $p_0=p_1$の場合.

このとき$p_0=p_1=p_t$である.

よって$f \in L^{p_t}$に対し$Tf \in L^{q_0} \cap L^{q_1}$なので定理1より
$$\begin{eqnarray} \|Tf\|_{q_t} &\leq \|Tf\|_{q_0}^{1-t} \|Tf\|_{q_1}^t \leq M_0^{1-t} M_1^t \|f\|_{p_0}^{1-t} \|f\|_{p_1}^t \\ &= M_0^{1-t} M_1^t \|f\|_{p_t}\end{eqnarray}$$ (2) $p_0 \neq p_1$の場合.$1 \leq p_0 < p_1 \leq \infty$としても一般性を失わない. まず，$f \in \Sigma_X$の場合に
$$\|Tf\|_{q_t} \leq M_0^{1-t} M_1^t \|f\|_{p_t}$$ を示そう.$T$の線形性より, $\|f\|_{p_t}=1$の場合を示せば十分. さらに，補題3により, $f \in \Sigma_X$，$\|f\|_{p_t} = 1$と$g \in \Sigma_Y$, $\|g\|_{q_t} = 1$に対し
$$ \left| \int (Tf)g \right| \leq M_0^{1-t} M_1^t $$を示せば良い. まず $$\begin{eqnarray} f &= \sum_{j=1}^m a_j \chi_{E_j} = \sum_j |a_j|e^{i \theta_j} \chi_{E_j} \quad (a_j \neq 0, E_j \mbox{は互いに素}), \\ g &= \sum_{k=1}^n b_k \chi_{F_k} = \sum_k |b_k|e^{i \varphi_j} \chi_{F_k} \quad (b_k \neq 0, F_k \mbox{は互いに素})\end{eqnarray}$$とし，$z \in S := \left\{ z \in \mathbb{C} \mid 0 \leq \Re z \leq 1 \right\}$に対して
$$\begin{eqnarray} \alpha(z) &= \frac{1-z}{p_0} + \frac{z}{p_1}, \\ \beta(z) &= \frac{1-z}{q_0} + \frac{z}{q_1}\end{eqnarray}$$ とする.

与えられた$t \in [0,1]$に対し$\alpha(t)=1/p_t$, $\beta(t)=1/q_t$である.

また$0 < \alpha(t) < 1$, $0 \leq \beta(t) \leq 1$である.
$$\begin{eqnarray} f_z &= \sum_j |a_j|^{\alpha(z)/\alpha(t)} e^{i \theta_j} \chi_{E_j}, \\ g_z &= \sum_k |b_k|^{(1-\beta(z))/(1-\beta(t))} e^{i \varphi_k} \chi_{F_j}\end{eqnarray}$$と定める. $f_t=f$, $g_t=g$である. ただし$\beta(t)=1$，つまり$q_0=q_1=1$のときは$g_z=g$と定める. これによって，以降議論を多少修正する場合があるが, 簡単なのでいちいち述べない. さらに
$$\begin{eqnarray} \varPhi(z) &= \int (Tf_z)g_z \\ &= \sum_{j, k} |a_j|^{\alpha(z)/\alpha(t)} |b_k|^{(1-\beta(z))/(1-\beta(t))} e^{i (\theta_j+\varphi_k)} \int (T\chi_{E_j}) \chi_{F_k}\end{eqnarray}$$と定める. $\varPhi$は$S$上で有界かつ連続で, $S$の内部で正則である.

三線定理を適用するため, $|\varPhi(iy)| \leq M_0$，$|\varPhi(1+iy)| \leq M_1$を示そう. $E_j$は互いに素だから，任意の$x \in X$は高々一つの$E_j$に属す. $x \in E_j$ならば
$$\begin{eqnarray} |f_{iy}(x)| &= \left| |a_j|^{\alpha(iy)/\alpha(t)} e^{i \theta_j} \chi_{E_j}(x) \right| = \left| |a_j|^{(1-iy)/p_0 \alpha(t) + iy/p_1 \alpha(t)} \right| \\ &= |a_j|^{1/p_0 \alpha(t)} = |a_j|^{p_t/p_0} = |f(x)|^{p_t/p_0}\end{eqnarray}$$よって$|f_{iy}| = |f|^{p_t/p_0}$. 同様に$x \in F_k$ならば
$$\begin{eqnarray} |g_{iy}(x)| &= \left| |b_k|^{(1-(1-iy)/q_0 - iy/q_1)/(1-\beta(t))} \right| = |b_k|^{(1-q_0^{-1})/(1-q_t^{-1})} \\ &= |b_k|^{q_t' / q_0'} = |g(x)|^{q_t' / q_0'}\end{eqnarray}$$より$|g_{iy}| = |g|^{q_t' / q_0'}$である. さらに Hölder の不等式によって
$$\begin{eqnarray} \left| \varPhi(iy) \right| &\leq \|Tf_{iy}\|_{q_0} \|g_{iy}\|_{q_0'} \leq M_0 \|f_{iy}\|_{p_0}\|g_{iy}\|_{q_0'} \\ &=M_0 \|f\|_{p_t}^{p_t/p_0}\|g\|_{q_t'}^{q_t'/q_0'} = M_0.\end{eqnarray}$$全く同様に $$\begin{eqnarray} |f_{1+iy}(x)| &= \left| |a_j|^{-iy/p_0 \alpha(t) + (1+iy)/p_1 \alpha(t)} \right| = |a_j|^{1/p_1 \alpha(t)} = |f(x)|^{p_t/p_1} \\ |g_{1+iy}(x)| &= \left| |b_k|^{(1-(-iy)/q_0 - (1+iy)/q_1)/(1-\beta(t))} \right| = |b_k|^{(1-q_1^{-1})/(1-q_t^{-1})} \\ &= |g(x)|^{q_t' / q_1'}\end{eqnarray}$$ $$\begin{eqnarray} \left| \varPhi(1+iy) \right| &\leq \|Tf_{1+iy}\|_{q_1} \|g_{1+iy}\|_{q_1'} \leq M_1 \|f_{1+iy}\|_{p_1}\|g_{1+iy}\|_{q_1'} \\ &=M_1 \|f\|_{p_t}^{p_t/p_1}\|g\|_{q_t'}^{q_t'/q_1'} = M_1\end{eqnarray}$$となる. 以上により，任意の$z=x+iy \in S$に対して$|\varPhi(z)| \leq M_0^{1-x} M_1^x$が分かった.

特に，$z=t$と置くと$\left| \int (Tf)g \right| \leq M_0^{1-t} M_1^t $を得る.

よって, 任意の$f \in \Sigma_X$に対して$\|Tf\|_{q_t} \leq M_0^{1-t} M_1^t \|f\|_{p_t}$が示された.

これが, 一般の$f \in D \cap L^{p_t}$に対しても成り立つことを示そう.

任意に$f \in D \cap L^{p_t}$を取る. そのとき，$\{ f_n \} \subset \Sigma_X$で$f_n \to f$ (各点収束) ，$|f_n| \leq |f|$なるものが存在する. $E = \{x \mid |f(x)| > 1 \}$に対し，$$\begin{eqnarray} g &= f \chi_E, & g_n &= f_n \chi_E \\ h &= f-g, & h_n &=f_n - g_n\end{eqnarray}$$ と定める. $g$, $h$は$f$の
truncation だから$g,h \in D$, $g_n$，$h_n$は単関数だから$g_n,h_n \in D$である.$|f_n-f|^{p_t} \leq 2^{p_t} |f|^{p_t}$より，ルベーグの収束定理が使えて$f_n \to f \; \mathrm{in} \; L^{p_t}$を得る.$1 \leq p_0 \leq p_t \leq p_1 \leq \infty$, $|g(x)|>1$，$|h(x)| \leq 1$に注意すると $$\begin{eqnarray} \int |g|^{p_0} &\leq \int |g|^{p_t} \leq \int |f|^{p_t} < \infty \\ \int |f|^{p_1} &\leq \int |h|^{p_t} \leq \int |f|^{p_t} < \infty\end{eqnarray}$$よって$g, g_n \in L^{p_0}$, $h, h_n \in L^{p_1}$である.

ルベーグの収束定理により$g_n \to g \; \mathrm{in} \; L^{p_0}$，$h_n \to h \; \mathrm{in} \; L^{p_1}$だから $$\begin{eqnarray} \|Tg_n - Tg\|_{q_0} &\leq M_0 \|g_n - g\|_{p_0} \to 0 \quad \mathrm{a.e.} \\ \|Th_n - Th\|_{q_1} &\leq M_1 \|h_n - h\|_{p_1} \to 0 \quad \mathrm{a.e.}\end{eqnarray}$$よって，適当な部分列$n(k)$を取れば$Tg_{n(k)}(x) \to Tg(x) \; \mathrm{a.e.}$かつ$Th_{n(k)}(x) \to Th(x) \; \mathrm{a.e.}$とできる.

従って $$\begin{eqnarray} Tf_{n(k)}(x) &= Tg_{n(k)}(x) + Th_{n(k)}(x) \to Tg(x) + Th(x) = Tf(x) \quad \mathrm{a.e.}\end{eqnarray}$$以上により, Fatou の補題から $$\begin{eqnarray} \|Tf\|_{q_t} \leq \liminf \|Tf_{n(k)}\|_{q_t} \leq \liminf M_0^{1-t} M_1^t \|f_{n(k)}\|_{p_t} \leq M_0^{1-t} M_1^t \|f\|_{p_t}\end{eqnarray}$$を得る. これで定理が証明された.

$f \in L^p$を一つ固定しておく. 作用素$T_f$を, $g$に対して
$$(T_f g)(x) = f*g(x)$$ で定義すれば, Riesz-Thorin の補間定理から明らか.