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成分表示を使わずに線形代数を見る

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今回は、線形代数のいくつかの性質、特に基底まわりの話を、なるべく成分表示を用いずに、写像による説明によって見ていこうと思います。
この記事独自の定義をしている箇所がありますのでご注意ください。また図式を描画するツールが重く、表示できないことがあるようなのですがすみません。

とは言え全く成分を用いないということはできませんので、最も基本的な, 内積のみ初めに定義しておきます。(全て内積に落とし込んで考えていくということになります。)以下Kは体とします。

内積

bn:Kn×KnKbn((a1an),(b1bn))=i=1naibi で定める.

必要な概念を定義していきます。以下V,WK-ベクトル空間で、dimV=m,dimW=nとします。

基底

X:KmVが同型のとき, XVの基底という.

以下, V,Wの基底をそれぞれX,Yとします.

A倍写像

AMnm(K)に対し, A倍写像を単にAとかく. 
KmAKnvAv

基底変換行列

PMm(K)が基底XからXへの変換行列であるとは, 以下が可換であることをいう.
KmXVKmPX

表現行列

f:VWV,Wの基底X,Yに対し, AMnm(K)fX,Yに関する表現行列であるとは, 以下が可換であることをいう.
KmAXKnYVfW

ここでまず、表現行列の基底変換を考えます。

表現行列の基底変換

f:VWの, 基底X,Yに関する表現行列をA, X,Yに関するそれをBとする. さらに, XからX, YからYへの基底変換行列をそれぞれP,Qとする. このときB=PAQ1が成り立つ.

(証明)次の図式から分かります。

KmAXKnYVfWKmPXBKnYQ

他にも定義していきます。

双対空間・双対写像

Vに対しV={φ:VK | φは線型}とおき, これを双対空間という.
f:VWに対しf:WV(f(ψ))(v)=ψ(f(v))とおき, これを双対写像という. これをわかりやすさのため以下のように書く.
WfVψ[ vψ(f(v)) ]

双線型形式

双線型形式B:V×WKに対し, rB:WVを以下で定める.
WrBVw[ vB(v,w) ]

これらを用いて転置行列を以下のように定義します。(内積の双線型性を使います。)

転置行列

AMnm(K)の転置行列tAとは, 以下を可換にするもののことをいう.
KntArbn(Kn)(A)Kmrbm(Km)
ただし(A)は, 写像としてのAの双対を表す.

転置行列は内積における随伴(x(Ay)=(tAx)yを満たすもの)なので、通常の定義と一致しています。

さらに双対基底を以下のように定めます.

双対基底

Vの基底Xの双対基底X~とは, 以下を可換にするようなVの基底のことをいう.
KmrbmX~VX(Kn)

双対と転置の関係を見てみましょう.

双対と転置

f:VWX,Yによる表現行列がAのとき, f:WVY~,X~による表現行列はtAである.

(証明)
図式

VfWKmXAKnY

の双対をとると、双対基底と転置行列の定義により

KmX~rbmKnY~rbntAVXWfY(Km)(Kn)(A)

となることから分かります。

次に双線型形式の表現行列を考えていきます。

双線型形式の表現行列

双線型形式B:V×WKX,Yに関する表現行列とは, rB:WVY,X~に関する表現行列のことをいう.

これは実は、行列(B(xi,yj))ijになっています。

双対基底の変換行列

基底XからXへの変換行列をPとすると, X~からX~への変換行列はtPである.

(証明)定理2においてW=V,f=idとすると
VKmXPKmXのときKmX~KmtPX~V
となることからわかります。

双線型形式の基底変換

B:V×WKX,Yに関する表現行列をA, X,Yに関するそれをBとおく. さらに, XからX, YからYへの基底変換行列をそれぞれP,Qとする. このとき, B=tPAQが成り立つ.

(証明)次の図式からわかります。

KnAYKmX~tPWrBVKnQYBKmX~

写像eV:VVを以下で定める.
VeVVv[ φφ(v) ]

次は可換.
VeVfWeWVfW

(証明)
(f(eV(v)))(ψ)=(eV(v))(f(ψ))=(f(ψ))(v)=ψ(f(v))=(eW(f(v)))(ψ)

次は可換.
(Km)KmrbmeKm(Km)rbn

(証明)
(rbm(eKm(x)))(y)=(eKm(x))(rbm(y))=(rbm(y))(x)=bm(x,y)=bm(y,x)=(rbm(x))(y)

eVの, X, X~~による表現行列は単位行列である.

(証明)
X~~の定義より、次が可換です。
(Km)KmrbmX~~(Km)rbmXV(X~)
これと2つの補題を合わせて、
(Km)KmrbmeKm X~~XVeV(Km)rbmXV
これの右側部分より分かります。

B:V×WKに対しB:W×VKを, B(w,v)=B(v,w)と定める. このときBY,Xに関する表現行列はBX,Yに関するそれの転置である.

(証明)
補題6と全く同様に次が可換になります。
VrBeVWVrB
rB=rBeVと定理2,定理7より主張が従います。

最後に、テンソル積の元の基底変換(のようなもの)について調べて終わりにしようと思います。

自然な同型Fを以下で定める.
VWFHom(W,V)vw[ ψψ(w)v ]

zVWに対し, zX,Yに関する表現行列とは, F(z)Y~,Xに関する表現行列のことをいう.

これは実は、基底xiyjの行き先がEijとなるので、aijxiyj(aij)に対応させることになります。

zVWX,Yに関する表現行列をA, X,YによるそれをBとする. さらに, 基底の変換行列を今までと同様に定める. このときA=PBtQが成り立つ.

(証明)次の図式から分かります。

KnAY~tQKmXWF(z)VKnY~BKmXP

読んでくださった方、ありがとうございました。

投稿日:202323
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東大数理M1

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