集合論及び選択公理を用いない微分積分学の基礎付け(2023年2月12日)

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本稿では、集合論及び選択公理を排して、微分積分学を構築することが目標である。

批判への応答1(本稿の存在意義)

まず、本稿への批判への応答を冒頭にまとめておく。本稿の意義にも関わる重要な話だからである。本稿の読者から、Twitter上で次のようなリプライがあった。

要するに、あなたは現代数学が集合と呼んでいるものを条件という名前に改名させただけだということです。@emptinfinite 午後3:38 · 2023年2月11日

あなたのやってる微分積分学が無限集合を使わずにできていると言い張るのなら、同じことは位相空間論でもできると思いますよ。
$[a, b]$ は無限集合ですので。あなたの言葉遣いに合わせると「無限条件」かもしれませんが。@emptinfinite 午後3:49 · 2023年2月11日

これらの批判に対する私の考えを、ここに述べておく。

まず、前者のリプライには一理ある。確かに私は、微分積分学の集合を用いたステートメントを、条件を用いたステートメントに書き換えただけである(ただし、選択公理を使わない証明には、オリジナリティがあるずである)。しかし、私が強調したいのは、微分積分学においては集合を用いたステートメントを、条件を用いたステートメントに書き換えることができる、ということなのである。これは、微分積分学において、集合論が全く本質ではないことを意味する。

位相空間論においても、集合を条件に書き換えることはできると、リプライを貰ったが、できない。なぜなら、位相空間論においては、「集合そのもの」が考察の対象だからである。例えば、関数 $f : [0, 1] \to R$ が連続であることは、 $[0, 1]$ という集合をあらわに用いなくても述べることができる。例えば、次のようにすればよい。

連続性

$0 \leq x \leq 1$ ならば、実数 $f (x)$ が定まっていると仮定する。このとき、 $f$ が連続であるとは、 $0 \leq x \leq 1$ ならば $x$ において $f$ が連続であることである。ある１点 $0 \leq a \leq 1$ において $f$ が連続であるとは、次が成立することである。つまり、どれほど小さい正の実数 $ε$ に対しても、ある十分小さな正の実数 $δ$ が存在して、 $| a - x | \leq δ$ かつ $0 \leq x \leq 1$ ならば、 $| f (a) - f (x) | \leq ε$ となる。

しかし、位相空間論の範疇に属する、次のようなステートメントを考えてみよう。

有界閉区間 $[0, 1]$ はコンパクトである。

この定理を、どうやって、集合論を用いず、条件のみの論理式で書き換えればよいというのだろう。 $[0, 1]$ という集合そのものに対するステートメントを、 $[0, 1]$ という集合を用いずに述べることは、どう考えても不可能である。ここに、集合論との関係における、位相空間論と微分積分学の本質的な違いがある。

最後に。一般に、数学者は、「条件」と、「条件を満たす対象全体の成す集合」を同一視しがちである。しかし、これは数学者の「悪癖」とでも呼ぶべきものであって、本来は望ましくない。結局、この同一視が、数学のあらゆるところに集合論を忍び込ませ、数学のすべてが集合論に依存しているかのごとく錯覚させるのである。数学のすべてが集合論に依存しているわけではなく、単なる条件に書き換えられるケースもあることを強調する意味も込めて、私は本稿を執筆している。

批判への応答2(無限数列の定義と存在)

「無限集合は認めないのに、無限数列の存在は認めるのか」という批判があった。この件については、私の書き方が悪かったので、改めてここで無限数列の存在について論じよう。無限数列を、次のように定義する。

無限数列

$n$ が自然数ならば、ある実数 $a_{n}$ が一意に定まっていると仮定する。このとき、そのような対応規則を ${a_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ と書き、無限数列と呼ぶ。

いくつか注意を述べておく。

無限数列の定義は、無限集合とは何の関係もないことに注意せよ。ただ、自然数を定めるごとに、実数を一意に定める「規則」が与えられてている、というだけのことである。無限集合の話が絡む余地はない。

無限数列は存在することに注意せよ。無限数列が存在することを示すには、無限数列の実例を列挙すればよい。例えば、 $a_{n} = 0$ , $a_{n} = n$ , $a_{n} = 1 / n^{2}$ などはいずれも無限数列である。

自然数、実数、整数、有理数

集合論の誤り

最初に、集合論は誤っていることを、明確にしておこう。例えば、自然数をすべて集めた集合 $N$ は存在しない。なぜならば、集合とはものの集まりのことであるが、無限にある自然数をすべて数え上げ、そして数え終わり、1つの箱に集めることは不可能だからである。自然数をすべて集めることはできない。自然数の全体は、集合を成さない。

また、空集合は存在しない。なぜならば、空集合は何もない集合だとよく言われるが、集合とはそもそも、ものの集まりのことであり、何もないものを集めることは不可能だからである。

本稿では、集合とは、すべて空集合ではない有限集合のことである。

自然数

まず、自然数の存在はア・プリオリである。従って、次を公理として掲げる。公理として掲げるから正しいのではなく、正しいから公理として掲げるのである。

自然数の公理

人間は、自然数 $1, 2, 3, \dots$ について、完全なイメージを共有しており、整合的に議論することができる。我々は、自然数の定義を必要としない。自然数は、無限に存在する。

実数

我々の素朴な、実数直線への直観ゆえに、我々は、実数を次のように定義する。

実数

頭の中で、線分を想像せよ。無限の長さの直線は、人間の想像力を越えているが、我々は、有限な長さの線分は想像することができる。なるべく長い、有限な長さの線分を想像せよ。適当な位置を、 $0$ と定める。また、 $0$ とは異なる別の位置を、 $1$ と定める。 $0$ から $1$ を向くのと同じ方向に、等間隔に次々と、 $2, 3, \dots$ と位置を定める。 $0$ から $1$ を向くのとは逆向きに、 $- 1, - 2, \dots$ と位置を定める。これを、延々と繰り返す。これによって、直線の各位置を、実数として定義する。

次の公理は明らかである。小学生でも、次の公理が明らかであることを知っている。逆に言えば、明らかであるから公理として採用するのである。

実数における四則演算と順序の存在

実数の四則演算, $+, -, \times, /$ および順序 $<, \leq, >, \geq$ の存在と基本的な性質は、ア・プリオリである。

整数と有理数

さて、実数が定義できたから、我々は、整数と有理数を、次のように定義する。

整数と有理数

$1, 2, 3, \dots$ あるいは、 $- 1, - 2, - 3, \dots$ のことを、整数と呼ぶ。
有理数とは、実数のうち、整数を用いて、 $n / m$ と書けるもののことである。

無限数列の収束

無限数列の定義と存在については、「批判への応答2(無限数列の定義と存在)」の章を見よ。準備として、絶対値を定義する。

絶対値

$x$ を実数とする。 $| x |$ を、 $x$ と $- x$ で大きい方と定める。

数列の極限は、 $ε$ - $N$ 論法を用いて、次のように定義する。

無限数列の極限

${a_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ を無限数列とする。次が成立するとき、 $lim_{n \to \infty} a_{n} = a$ または $a_{n} \to a$ ( $n \to \infty$ )と書く。つまり、どれだけ小さな $ε > 0$ に対しても、自然数 $N$ を十分大きくすれば、 $n \geq N$ ならば $| a - a_{n} | \leq ε$ となるようにできる。

次の定理があるので、収束という概念が意味を持つ。

無限数列の収束先の一意性

無限数列 ${a_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ が収束するとき、収束先は一意である。

微分積分学の教科書を参照せよ。集合論も選択公理も用いない、ただ無限数列の収束の定義のみを用いる証明が書いてある。

次の定理は直感的に明らかである。

$lim_{n \to \infty} a_{n} = a$ かつ $lim_{n \to \infty} b_{n} = b$ と仮定する。このとき、次が成立する。
$lim_{n \to \infty} (a_{n} + b_{n}) = a + b, lim_{n \to \infty} a_{n} b_{n} = a b .$
さらに、 $a_{n} \leq c_{n} \leq b_{n}$ かつ $a = b$ を追加で仮定する。このとき、
$lim_{n \to \infty} c_{n} = a (= b) .$
最後の主張を、挟み撃ちの原理と呼ぶ。

微分積分学の教科書を参照せよ。集合論も選択公理も用いない、ただ無限数列の収束の定義のみを用いる証明が書いてある。

実数と数列の諸性質

まず、実数の連続性の公理を述べる。この公理は、我々の想像力及び悟性が保証する、極めて確実な公理である。繰り返しになるが、我々の想像力及び悟性が保証するからこそ、公理として採用するわけである。

実数の連続性

数列 ${a_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ は、次の性質を満たすと仮定する。
・ $a_{n} \leq C$ となる実数 $C$ が存在する。
・ $a_{n} \leq a_{n + 1}$ である。
このとき、 $lim_{n \to \infty} a_{n} = a$ となる実数 $a$ が存在する。

区間縮小法は有益である。

区間縮小法

2つの無限数列 ${a_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ と ${b_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ が $a_{n} \leq a_{n + 1} \leq b_{n + 1} \leq b_{n}$ かつ $lim_{n \to \infty} (b_{n} - a_{n}) = 0$ を満たすとする。このとき、ある $c$ が(ただ1つ)存在して、 $lim_{n \to \infty} a_{n} = lim_{n \to \infty} b_{n} = c$ が成立する。

実数の連続性の公理より、 $lim_{n \to \infty} a_{n} = a$ かつ $lim_{n \to \infty} b_{n} = b$ となる。 $a = b$ を示せばよい。
$| a - b | \leq | a - a_{n} | + | a_{n} - b_{n} | + | b - b_{n} | \to 0 (n \to \infty)$
なので、 $| a - b | = 0$ 、つまり $a = b$ である。

次の定理は、証明に選択公理が必要であると誤解されがちであるが、実際には必要がない。

ボルツァノ-ワイエルシュトラス

無限数列が有界ならば、収束する部分列を持つ。

${a_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ を有界な無限数列とする。 $n (1) = 1$ と定める。すべての自然数 $n \geq 2$ に対して、 $- R \leq a_{n} \leq R$ となる実数 $R > 0$ が存在する。次の2つの少なくとも一方が起こる。
① $- R \leq a_{n} \leq 0$ となる $n$ が無数に存在する。
② $0 \leq a_{n} \leq R$ となる $n$ が無数に存在する。
②が起こるとして、一般性を失わない。 $0 \leq a_{n} \leq R$ となる $n$ のうち、最小のものを $n (2)$ とする。さらに、次の2つの少なくとも一方が起きる。
③ $0 \leq a_{n} \leq R / 2$ となる $n$ が無数に存在する。
④ $R / 2 \leq a_{n} \leq R$ となる $n$ が無数に存在する。
③が起こるとして、一般性を失わない。 $0 \leq a_{n} \leq R / 2$ となる $n$ のうち最小のものを $n (3)$ と定める。以下同様にして、自然数に値をとる無限数列 ${n (k)}_{k = 1}^{\infty}$ を定める。ここで、各自然数 $k$ に対して $n (k)$ の取り方は構成的であり、選択公理は用いていないことに注意せよ。さて、こうして得られる部分列 ${a_{n (k)}}_{k = 1}^{\infty}$ は、ある無限数列の組 ${r_{k}}, {R_{k}}$ に対して、 $r_{k} \leq r_{k + 1} \leq a_{n (k)} \leq R_{k + 1} \leq R_{k}$ かつ $lim_{k \to \infty} R_{k} - r_{k} = 0$ を満たす。区間縮小法及び挟み撃ちの原理により、 $lim_{k \to \infty} a_{n (k)} = lim_{k \to \infty} r_{k} = lim_{k \to \infty} R_{k}$ .

さて、必ずしも単調増加ではない無限数列について、その収束性を判定することは不可能だろうか？いや、可能である。それを述べよう。

コーシー列

無限数列 ${a_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ がコーシー列であるとは、次が成立することである。どれほど小さい正の実数 $ε$ に対しても、自然数 $N$ を十分大きくすれば、 $n, m \geq N$ ならば $| a_{n} - a_{m} | \leq ε$ となるようにできる。

(収束列の特徴付け)

無限数列 ${a_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ に対して、収束列であることと、コーシー列であることは、同値である。

コーシー列は明らかに有界列であるから、ボルツァノ・ワイエルシュトラスの定理より、収束する部分列 ${a_{n (k)}}_{k = 1}^{\infty}$ が存在する。収束先を $a$ とする。
$| a - a_{n} | \leq | a - a_{n (n)} | + | a_{n (n)} - a_{n} | \to 0 (n \to \infty)$
が分かる。

連続関数

関数と連続性の定義

我々は、集合論に立脚せず、関数という概念を定義する必要がある。簡単のため、次の記法を導入しよう。

条件

実数 $x$ が、条件 $P$ を満たすとき、 $x \in P$ と書く。

そして、「ある条件上で定義された関数」という概念を導入する。

関数

$x \in P$ ならば、実数 $f (x)$ が一意に定まると仮定する。このとき、関数 $f$ が条件 $P$ 上で定義されていると言う。

よく使う条件 $P$ に対して、便利な記号を導入しておこう。

区間

$a < b$ を実数とする。実数 $x$ が条件 $[a, b]$ を満たすとは、 $a \leq x \leq b$ が成立することである。同様に、実数 $x$ が条件 $(a, b)$ を満たすとは、 $a < x < b$ が成立することである。

さて、関数について、連続という概念を定義しよう。

1点に於ける連続性

$a$ を実数とする。 $f$ が $a$ において連続であるとは、次が成立することである。
① ある十分小さな $r > 0$ に対して、 $f$ は条件 $(a - r, a + r)$ 上で定義されている。
② どれだけ小さな正の実数 $ε$ に対しても、十分小さく正の実数 $δ$ を取れば、「 $| a - x | \leq δ$ ならば $| f (a) - f (x) | \leq ε$ 」が成り立つようにすることができる。

次に、任意の条件 $P$ 上での連続性を定義しよう。

一般の条件

P

上での連続性

$f$ が $P$ 上で連続であるとは、次が成立することである。
① $f$ は条件 $P$ 上で定義されている。
② $a \in P$ ならば、 $f$ は $a$ において連続である。

連続関数の基本的な性質

次の定理は連続関数の最も基本的な性質である。

$f$ が条件 $[a, b]$ 上の連続関数であるとき、次が成立する。
(最大値・最小値の存在) $m, M \in [a, b]$ となる実数 $m, M$ が存在して、次が成立する。つまり $x \in [a, b]$ ならば $f (m) \leq f (x) \leq f (M)$ .
(中間値の定理) $y \in [f (m), f (M)]$ ならば、ある $x \in [a, b]$ が存在して、 $f (x) = y$ .

これを証明する前に、次の公理を掲げる。これもまた、我々の実数に対するア・プリオリな直観から明確に悟ることのできるものである。

実数の連続性Ⅱ

$x \in P$ ならば $x \leq R$ となる実数 $R$ が存在すると仮定する。
このとき、次の性質を満たす実数 $R_{0}$ が存在する。
① $x \in P$ ならば $x \leq R_{0}$
② $R < R_{0}$ ならば $R < x$ なる $x \in P$ が存在する。

定理7

ある正の実数 $R$ が存在して、 $x \in [a, b]$ ならば $| f (x) | \leq R$ となることを示そう。これが成り立たないとする。 $c := (a + b) / 2$ とし、 $I_{1} := [a, c]$ かつ $I_{2} := [c, b]$ と新たな条件を定める。次の少なくとも一方が成立する。
① どれほど大きな $R$ に対しても、ある $x \in I_{1}$ が存在して、 $| f (x) | \geq R$ となる。
② どれほど大きな $R$ に対しても、ある $x \in I_{2}$ が存在して、 $| f (x) | \geq R$ となる。
① が成り立つとして一般性を失わない。区間縮小法の議論を用いることで、条件の列 $P_{n} = [a_{n}, b_{n}]$ で、 $lim_{n \to \infty} a_{n} = lim_{n \to \infty} b_{n} =: c$ となるものが取れる。
さて、 $f$ は $c$ において連続だから、ある $δ > 0$ が存在し、 $| x - c | \leq δ$ ならば $| f (x) | \leq | f (c) | + 1$ である。しかし、十分大きな $n$ に対して $x \in P_{n}$ ならば $| x - c | \leq δ$ が成立するので、矛盾である。

次に、 $f (x) \leq R_{0}$ となる最小の $R_{0}$ を取る。そのような $R_{0}$ が存在することは公理(実数の連続性Ⅱ)から従う。 $f (M) = R_{0}$ となる $M \in [a, b]$ の存在を示せばよい。条件 $[a, b]$ をいつものように2つの条件 $I_{1}, I_{2}$ に分割する。このとき、次の一方が起きる。
① どれほど小さな $r > 0$ に対しても、ある $x \in I_{1}$ が存在して、 $R_{0} - r < f (x)$
② どれほど小さな $r > 0$ に対しても、ある $x \in I_{2}$ が存在して、 $R_{0} - r < f (x)$
区間縮小法と同様の議論により、条件の列 $P_{n} = [a_{n}, b_{n}]$ で、 $lim_{n \to \infty} a_{n} = lim_{n \to \infty} b_{n} =: M$ となるものが取れる。 $f (M) < R_{0}$ を仮定すると、 $f$ の連続性から直ちに矛盾。よって、 $f (M) = R_{0}$ . $m$ の存在についても全く同様に示される。

次に、中間値の定理を示す。 $f (m) = f (M)$ の場合は自明。 $f (m) < f (M)$ の場合を考える。 $y \in (f (m), f (M))$ とする。 $g (x) = f (x) - y$ とすれば、 $g (x) = 0$ となる点を見つければよいことが分かる。 $m < M$ と仮定して一般性を失わない。 $g (m) < 0$ かつ $g (M) > 0$ であることに注意。条件 $[a, b]$ を区間縮小法の議論と同様に $I_{1} = [a, c]$ と $I_{2} = [c, b]$ と2つの条件に分割すると、次の少なくとも1つが成立する。
① $g (c) \leq 0$
② $g (c) \geq 0$
①が成立するとき、 $I_{1}$ を選択する。②が成立するとき、 $I_{2}$ を選択する。これを繰り返すことで、条件の列 $P_{n} = [a_{n}, b_{n}]$ で $lim_{n \to \infty} a_{n} = lim_{n \to \infty} b_{n} = c$ かつ $g (a_{n}) \leq 0$ , $g (b_{n}) \geq 0$ となるものが取れる。
$g (c) = lim_{n \to \infty} g (a_{n}) \leq 0 g (c) = lim_{n \to \infty} g (b_{n}) \geq 0$
なので、 $g (c) = 0$ である。

投稿日：2023年2月10日

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