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大学数学基礎解説
文献あり

部分群に含まれる最大の正規部分群について

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初めに

記号について

以下では G を群、HG の部分群とします。また、G/HGH による左剰余類全体とします。

背景

H の共役部分群 xHx1 (xG) 全体の共通部分はなぜ正規部分群になるのだろうと疑問に思っていました。命題 1 の「1つ目の証明方法」では理由がよくわかりませんでした。この証明方法よりももっと、「なるほど!」と思うような何かがあるのではないかと調べていたところ、Wikipedia で見つけました。


正規部分群は以下の定義とします。

HG の正規部分群であるとは、任意の gG に対して gHg1=H が成り立つことをいう。

次は H の共役部分群 xHx1 (xG) 全体の共通部分が正規部分群となる命題です。

G の部分群 H に対して、xGxHx1G の正規部分群である。

ここでは 2 つ証明方法を記載します。

1つ目の証明方法

素朴な証明です。

N=xGxHx1 とおく。任意の gG に対して gNg1=N を示す。
()
任意の ygNg1 に対して、y=gzg1 となる zN が存在する。zN より、任意の xG に対して、z=(g1x)h(g1x)1 となる hH が存在する。よって、


y=g(g1x)h(g1x)1g1=xhx1xHx1

となるので、yN である。

()
「()」で示したことより、任意の gG に対して、g1NgN が成り立つから、NgNg1 が成り立つ。

2つ目の証明方法

こちらは以下の Web サイトを参考にしました。left multiplication という作用を考えます。

https://groupprops.subwiki.org/wiki/Group_acts_on_left_coset_space_of_subgroup_by_left_multiplication

GG/H への作用を g(xH)=gxH (gG) と定義する。この作用により、gG に対して

φg:G/HG/H, xHg(xH)

を考えることができる。Sym(G/H)={ φg | gG } と書くと、Sym(G/H) は写像の合成に関して群となる。準同型写像

φ:GSym(G/H), gφg

を考える。任意の xG に対して、

gKer(φ)g(xH)=xHgxHx1

であるから、Ker(φ)=xGxHx1 である。

命題 1 の xGxHx1G における H正規核と呼び、HG と書きます。HG は命題 1 により G の正規部分群であり、H の共役部分群全体の共通部分ですので特に H に含まれます。そこで HGH の中でどのくらい大きな正規部分群なのか、それは次の命題が述べます。

G における H の正規核は、H に含まれる G の最大の正規部分群である。

H に含まれる G の任意の正規部分群を N とすると、

N=xGxNx1xGxHx1

となる。

まとめ

xGxHx1正規核と呼ばれ、H に含まれる G の最大の正規部分群である。

GG/H への G 倍作用(left multiplication)を考えると正規核は自然にその姿を現し、それは G/H への作用が自明な元全体からなる。

参考文献

投稿日:2023212
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投稿者

pha
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初めまして!ファ♪です☺️ よろしくお願いします🤲🐹

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  1. 初めに
  2. 1つ目の証明方法
  3. 2つ目の証明方法
  4. まとめ
  5. 参考文献