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方程式・不等式の整理

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記事の練習で高校数学の方程式と不等式について軽くまとめてみました。

方程式

方程式の解

f(x)をn次の整式とする。f(x)=0の形であらわされる方程式をnという。f(x)=0を満たすようなαを方程式f(x)方程式の解、特にαが有理数のときは有理数解、実数のときは実数解、複素数のときは複素数解という。

2次方程式

2次方程式ax2+bx+c=0 (a)0の2解(重解も2つと数える)は
x=b±b24ac2a
で、特にb=2bのときは
x=b±(b)2aca

ax2+bx+c=0の両辺をa(0)で割って平方完成すると

(x+b2a)2=b24ac4a2x+b2a=b24ac|2a|

となる。今aの符号によらず

x+b2a=±b24ac2ax=b±b24ac2a

 
D=b24ac2ax2+bx+c=02

実数係数の2次方程式の判別式Dに対して

D>02D=0D<02

が成り立つ。したがって、D0実数解を持つ。

解と係数の関係

n次方程式のn個の解を文字で置くと、その基本対称式はn次方程式の係数を用いて表すことができる。

(1).ax2+bx+c=0(a0)α,βα+β=ba, αβ=ca \

(2).ax3+bx2+cc+d=0(a0)α,β,γα+β+γ=ba, αβ+βγ+γα=ca, αβγ=da

(1)(2)ともに同じ係数比較による証明なので(1)の証明を行う。
ax2+bx+c=a(xα)(xβ)と表せる。両辺の係数を比較すると
b=a(α+β), c=aαβ

共役解

次の定理は実数係数の多項式において成り立つ複素数に関する定理である。

実数係数のn次方程式 k=0nakxk=0(an0) の解の1つをα(複素数)としたとき、共役な複素数 αk=0nakxk=0 の解である。

n k=0nakxk=0 x=αを代入すると複素数の性質から
k=0nakαk=0k=0nakαk=0
となり、これはαもこの方程式の解であることを表す。

有理数解の見つけ方

n k=0nakxk=0(an0,a00) ±a0an 

有理数解を pq(pqq0)とすると
k=0nak(pq)k=0k=0nakpkqnk=0anpn=k=0n1akpkqnk
つまり、anpn=()×qpqqanの約数である。
同様に
pk=1nakpk1qnk=a0qn
であるから、pa0の約数。

不等式

絶対値に関する不等式

x,yを実数とする。このとき以下が成り立つ。
(1). |x|yyxy
(2).|x|yxyxy
(3).|x+y||x|+|y|xy0

(3)は三角不等式と呼ばれるもので大学数学で行われる証明には時折出てくる有名な不等式である。

 (1),(2)は絶対値の性質からわかることなので(3)の証明を行う。
|x|+|y|0.|x+y|0であり、

(|x|+|y|)2|x+y|2=2(|xy|xy)0

なので|x+y||x|+|y|

(3)の三角不等式はx+y=X,x=Yとするとy=X+Yとすれば||x||y|||x+y|という結果も得ることができる。

相加平均と相乗平均の関係(AMGM不等式)

AMGM不等式

xk0(k=1,2,,n)であるとき次の不等式が成り立つ。

x1+x2++xnnx1x2xnn

等号成立はx1=x2==xn

n=1のとき自明であるためn=2のときを証明する。今、相加平均と相乗平均はどちらも正であるため

(x1+x22)2x1x2=(x1x22)20x1+x22x1x2
となる。
 n3のときは指数関数を利用して証明するのが簡単かと思われるのでその方法で証明していく。
 n3のときネイピア数を用いると

eN1+N

という不等式を得る。m=i=1nxinとおく。N=xim1 を上の式に代入すると

exim1xim

となる。この式のii=1,2nまで動かてn個の式を作り、それらを掛け合わせ、mの定義に注意することで

ei=1nximni=1nximn1i=1nximnmni=1nxi

となる。両辺ともに正であるためn乗根をとっても不等式の向きは同じままで、これを整理すると

i=1nxini=1nxin

を得る。
 等号成立についてはeN=≥1+N の等号成立を考えればよく、これはN=0のとき成立するするので各i=1,2,,nに対し指数の部分が0になればよい。
 したがって等号成立は、x1==xn

コーシー・シュワルツの不等式

コーシー・シュワルツの不等式

実数xk,yk(k=1,,n)に対して次の不等式が成り立つ。

(x12++xn2)(y12++yn2)(x1y1++xnyn)2

等号成立はx1:xn=y1:yn

n=2,3のときは内積の定義を成分表示することで得ることができるがここでは一般の場合の証明を行う。

x12++xn20とする。tの2次不等式

k=1n(xktyk)20 (x12++xn2)t22(x1y1++xnyn)t+(y12++yn2)0

は任意の実数tに対して成り立つので、2次方程式の判別式を考えることで

(x12++xn2)(y12++yn2)(x1y1++xnyn)2

となる。等号成立は各k(k=1,,n)のときに等号が成立するときで、x1::xn=y1::yn

投稿日:2020119
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やる気があるときに自身の復習メインで書いていきたいと思います。

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  1. 方程式
  2. 方程式の解
  3. 2次方程式
  4. 解と係数の関係
  5. 共役解
  6. 有理数解の見つけ方
  7. 不等式
  8. 絶対値に関する不等式
  9. 相加平均と相乗平均の関係(AMGM不等式)
  10. コーシー・シュワルツの不等式