集合論および選択公理を用いない自然数・整数・有理数・実数の定義

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本記事では、集合論を用いずに自然数を定義し、順に整数、有理数、実数を定義する。集合論を用いないところが肝である。集合論を用いない微分積分学の基礎とするべく、本記事を執筆する。

まずは、自然数を定義する。整数、有理数、実数についても随時加筆する。最初に、次の公理を認める。

等号

任意の数学的対象 $x$ と $y$ に対して(この言い方は些か不明確だが、本記事で定義されるいかなる概念に対しても、という意味である)、命題 $x = y$ が定義されており、
　　(反射律) $x = x$ は常に真である。
　　(対称律) $x = y$ が真ならば、 $y = x$ も真である。
　　(推移律) $x = y, y = z$ が真ならば、 $x = z$ も真である。
を満たす。さらに、命題 $P (x)$ が真であるならば、 $P (y)$ も真である(代入原理)。

自然数

次に述べることを公理として認める。まず、自然数を定義しよう。
(1) $1$ は広義自然数である。
(2) $n$ と $m$ が広義自然数の時、広義自然数 $n + m$ を定める2項演算 $+$ が与えられている。さらに、2項演算 $+$ は次を満たす。
(2.1 和の結合法則) $(n + m) + l = n + (m + l)$ が真である。
(2.2 和の交換法則) $n + m = m + n$ が真である。
(2.3 和の単調性) $n + m = n$ は偽である。
(2.4) 広義自然数 $n$ が自然数であるとは、 $n = 1 + \dots + 1$ が真であることである。和の単調性から、 $n = 1 + \dots + 1$ の右辺の表示は一意であることに注意。特に、 $1$ は自然数である。

次に、積に相当する2項演算を導入しよう。
(4) $n$ と $m$ が自然数の時、自然数 $n \cdot m$ を定める2項演算 $\cdot$ が存在する。さらに、 $\cdot$ は次を満たす。
(4.1 積の結合法則) $(n \cdot m) \cdot l = n \cdot (m \cdot l)$ が真である。
(4.2 積の交換法則) $n \cdot m = n \cdot m$ が真である。
(4.3 分配法則) $n \cdot (m + l) = n \cdot m + n \cdot l$ が真である。
(4.4 乗法単位元の存在) $n \cdot 1 = 1 \cdot n = n$ が真である。

順序と引き算を定義する。
(5) 2つの自然数 $n, m$ に対して、命題 $n < m$ を、「 $n + l = m$ となる自然数 $l$ が存在する」で定義する。このとき、 $m, n$ に対して、このような $l$ は一意に定まるので、 $n < m$ となる自然数に対して、 $n + l = m$ となる自然数 $l$ を対応させる規則を、 $m - n$ と書く。

数学的帰納法を証明しておく。

数学的帰納法

自然数 $n$ を定めるごとに、命題 $P (n)$ が定まるとする。
次が成立するとする。
(1) P(1)は真
(2) P(n)が真ならば、P(n+1)が真
このとき、すべての自然数に対して、P(n)は真である。

自然数の定義より、 $n = 1 + \dots + 1$ と $1$ の有限和で書ける。
従って、仮定より、
$P (1)$ は真、 $P (2)$ は真、と繰り返すことで、有限回の繰り返しで、 $P (1 + \dots + 1)$ が真であることが分かる。

順序の性質

次が成立する。
(1) $n < m, n = m, n > m$ のいずれか1つだけが成立する。
(1) $n < m$ かつ $m < l$ ならば $n < l$ である。
(2) $n < m$ ならば $n + l < m + l$ である。

自然数の表示の一意性から従う。

整数

次に、整数を定義しよう。

整数

引き算とは別に、ただの記号として、 $-, 0$ を導入する。
(ZA.1) $n$ が整数であるとは、 $n$ が自然数であるか、 $0$ であるか、ある自然数を用いて $n = - m$ と書けることである。

整数の四則演算

2つの整数 $n, m$ に対して、整数 $n +_{Z} m$ と $n \cdot_{Z} m$ を対応させる2項演算を定義する。
$n, m$ を整数とする。このとき、 $n$ については① $n$ が自然数、② $n = 0$ , ② $n = - k$ の3通りが、考えられ、 $m$ についても、① $m$ が自然数、② $n = 0$ 、③ $m = - j$ の通りが考えられる。
(1) 和を次のように定義する。
(1.1) $n, m$ がともに自然数の時、 $n +_{Z} m := n + m$ と定義する。
(1.2) $n$ が自然数, $m$ が $- j$ とする。 $n > j$ ならば $n +_{Z} m := n - j$ 、 $n = j$ ならば $n +_{Z} m := 0$ 、 $n < j$ ならば $n +_{Z} m := - (j - n)$ と定義する。
(1.3) $n = - k$ かつ $m$ が自然数の時、 $n +_{Z} m := m +_{Z} n$ と定義する。
(1.4) $n = - k$ かつ $m = - j$ のとき、 $n + Z m = - (k + j)$ と定義する。
(1.5) $0 +_{Z} m = m$ 、 $n +_{Z} 0 = n$ と定義する。

積を次のように定義する。
(2.1) $n, m$ がともに自然数の時、 $n \cdot_{Z} m := n \cdot m$ と定義する。
(2.2) $n$ が自然数, $m$ が $- j$ とする。このとき、 $n \cdot_{Z} m := - n \cdot j$ と定義する。
(2.3) $n = - k$ かつ $m$ が自然数の時、 $n \cdot_{Z} m := m \cdot_{Z} n$ と定義する。
(2.4) $n = - k$ かつ $m = - j$ のとき、 $n \cdot_{Z} m := k \cdot j$ と定義する。
(2.5) $n \cdot_{Z} 0 := 0$ かつ $0 \cdot_{Z} m := 0$

$1 \neq 0$

$1 = 0$ を仮定する。代入原理より、 $1 + 1 = 1 +_{Z} 1 = 1 +_{Z} 0 = 1$ . しかし、これは(2.3 和の単調性)に反する。

整数の四則演算についての性質

$\cdot_{Z}$ を $\cdot$ と書く。次が成り立つ。
(1) $n \cdot 0 = 0 \cdot n = 0$
(2) $n \cdot 1 = 1 \cdot n = n$
(3) $(n + m) + l = n + (m + l)$
(4) $n + m = m + n$
(5) $(n \cdot m) \cdot l = n \cdot (m \cdot l)$
(6) $n \cdot m = n \cdot m$
(7) $n \cdot (m + l) = n \cdot m + n \cdot l$

(2)-(7)は公理と定義から分かる。(1)の証明は有名なので割愛する。

最後に、整数の順序とその基本性質をまとめておく。

整数の順序

整数 $n, m$ に対して、命題 $n <_{Z} m$ を、「ある自然数 $l$ が存在して、 $n + l = m$ である」と定義する。

順序の性質

次が成立する。
(1) $n <_{Z} m, n = m, m <_{Z} n$ のいずれか1つだけが成立する。
(1) $n <_{Z} m$ かつ $m <_{Z} l$ ならば $n <_{Z} l$ である。
(2) $n <_{Z} m$ ならば $n + l <_{Z} m + l$ である。

投稿日：2023年2月14日

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