集合論および選択公理を用いない自然数・整数・有理数・実数の定義
本記事では、集合論を用いずに自然数を定義し、順に整数、有理数、実数を定義する。集合論を用いないところが肝である。集合論を用いない微分積分学の基礎とするべく、本記事を執筆する。
まずは、自然数を定義する。整数、有理数、実数についても随時加筆する。最初に、次の公理を認める。
任意の数学的対象$x$と$y$に対して(この言い方は些か不明確だが、本記事で定義されるいかなる概念に対しても、という意味である)、命題$x=y$が定義されており、
(反射律) $x=x$は常に真である。
(対称律) $x=y$が真ならば、$y=x$も真である。
(推移律) $x=y,y=z$が真ならば、$x=z$も真である。
を満たす。さらに、命題$P(x)$が真であるならば、$P(y)$も真である(代入原理)。
自然数
次に述べることを公理として認める。まず、自然数を定義しよう。
(1) $1$は広義自然数である。
(2) $n$と$m$が広義自然数の時、広義自然数$n+m$を定める2項演算$+$が与えられている。さらに、2項演算$+$は次を満たす。
(2.1 和の結合法則) $(n+m)+l = n+(m+l)$が真である。
(2.2 和の交換法則) $n+m = m+n$が真である。
(2.3 和の単調性) $n+m =n$は偽である。
(2.4) 広義自然数$n$が自然数であるとは、$n=1+\cdots+1$が真であることである。和の単調性から、$n=1+\cdots +1$の右辺の表示は一意であることに注意。特に、$1$は自然数である。
次に、積に相当する2項演算を導入しよう。
(4) $n$と$m$が自然数の時、自然数$n\cdot m$を定める2項演算$\cdot$が存在する。さらに、$\cdot$は次を満たす。
(4.1 積の結合法則) $(n\cdot m) \cdot l = n \cdot (m \cdot l)$が真である。
(4.2 積の交換法則) $n \cdot m = n \cdot m$が真である。
(4.3 分配法則) $n\cdot(m+l) = n \cdot m + n\cdot l$が真である。
(4.4 乗法単位元の存在) $n \cdot 1 = 1 \cdot n = n$が真である。
順序と引き算を定義する。
(5) 2つの自然数$n,m$に対して、命題$n < m$を、「$n+l = m$となる自然数$l$が存在する」で定義する。このとき、$m,n$に対して、このような$l$は一意に定まるので、$n< m$となる自然数に対して、$n+l=m$となる自然数$l$を対応させる規則を、$m-n$と書く。
数学的帰納法を証明しておく。
自然数$n$を定めるごとに、命題$P(n)$が定まるとする。
次が成立するとする。
(1) P(1)は真
(2) P(n)が真ならば、P(n+1)が真
このとき、すべての自然数に対して、P(n)は真である。
自然数の定義より、$n=1+\cdots+1$と$1$の有限和で書ける。
従って、仮定より、
$P(1)$は真、$P(2)$は真、と繰り返すことで、有限回の繰り返しで、$P(1+\cdots +1)$が真であることが分かる。
次が成立する。
(1) $n< m, n=m, n>m$のいずれか1つだけが成立する。
(1) $n< m$かつ$m< l$ならば$n< l$である。
(2) $n< m$ならば$n+l< m+l$である。
自然数の表示の一意性から従う。
整数
次に、整数を定義しよう。
引き算とは別に、ただの記号として、$-, 0$を導入する。
(ZA.1) $n$が整数であるとは、$n$が自然数であるか、$0$であるか、ある自然数を用いて$n=-m$と書けることである。
2つの整数$n,m$に対して、整数$n+_\mathbb{Z}m$と$n\cdot_{\mathbb{Z}}m$を対応させる2項演算を定義する。
$n,m$を整数とする。このとき、$n$については①$n$が自然数、②$n=0$, ②$n=-k$の3通りが、考えられ、$m$についても、①$m$が自然数、②$n=0$、③$m=-j$の通りが考えられる。
(1) 和を次のように定義する。
(1.1) $n,m$がともに自然数の時、$n+_\mathbb{Z}m:= n+m$と定義する。
(1.2) $n$が自然数, $m$が$-j$とする。$n>j$ならば$n+_\mathbb{Z}m:= n-j$、$n=j$ならば$n+_\mathbb{Z}m:= 0$、$n< j$ならば$n+_\mathbb{Z}m:= -(j-n)$と定義する。
(1.3) $n=-k$かつ$m$が自然数の時、$n+_\mathbb{Z}m:= m+_\mathbb{Z}n$と定義する。
(1.4) $n=-k$かつ$m=-j$のとき、$n+\mathbb{Z}m=-(k+j)$と定義する。
(1.5) $0+_\mathbb{Z} m= m$、$n+_\mathbb{Z} 0=n$と定義する。
- 積を次のように定義する。
(2.1) $n,m$がともに自然数の時、$n\cdot_\mathbb{Z}m:= n\cdot m$と定義する。
(2.2) $n$が自然数, $m$が$-j$とする。このとき、$n\cdot_{\mathbb{Z}} m := -n\cdot j$と定義する。
(2.3) $n=-k$かつ$m$が自然数の時、$n\cdot_\mathbb{Z}m:= m\cdot_\mathbb{Z}n$と定義する。
(2.4) $n=-k$かつ$m=-j$のとき、$n\cdot_\mathbb{Z}m:=k\cdot j$と定義する。
(2.5) $n\cdot_\mathbb{Z} 0 := 0$かつ$0 \cdot_\mathbb{Z} m := 0$
$1 \neq 0$
$1=0$を仮定する。代入原理より、$1+1=1+_\mathbb{Z}1 = 1 +_\mathbb{Z} 0 = 1$. しかし、これは(2.3 和の単調性)に反する。
$\cdot_\mathbb{Z}$を$\cdot$と書く。次が成り立つ。
(1) $n\cdot 0 = 0 \cdot n = 0$
(2) $n\cdot 1 = 1 \cdot n = n$
(3) $(n+m)+l=n+(m+l)$
(4) $n+m=m+n$
(5) $(n\cdot m) \cdot l = n \cdot (m \cdot l)$
(6) $n \cdot m = n \cdot m$
(7) $n\cdot(m+l) = n \cdot m + n\cdot l$
(2)-(7)は公理と定義から分かる。(1)の証明は有名なので割愛する。
最後に、整数の順序とその基本性質をまとめておく。
整数$n,m$に対して、命題$n <_\mathbb{Z} m$を、「ある自然数$l$が存在して、$n+l=m$である」と定義する。
次が成立する。
(1) $n<_\mathbb{Z}m, n=m, m<_\mathbb{Z}n$のいずれか1つだけが成立する。
(1) $n<_\mathbb{Z}m$かつ$m<_\mathbb{Z}l$ならば$n<_\mathbb{Z}l$である。
(2) $n<_\mathbb{Z}m$ならば$n+l<_\mathbb{Z}m+l$である。
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