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数の落とし子「距離空間⑥⑦」の補足

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YouTubeチャンネル「 数の落とし子 」の動画の補足です。

背景

私は工学系出身ですが趣味として大学数学を勉強中で、「数の落とし子」チャンネルの距離空間と位相空間の動画を視聴しています。その中の 距離空間⑦ では定理5として連続写像の同値表現として開集合を使った同値表現を学びました(Mathlogで番号を変える方法がわかりませんでした)。

f:XYは連続写像である AOYに対し、f1(A)OX

OYY側の開集合全体の集合の意味です。同値なものの否定を取っても同値ですから、以下のことがわかります。

f:XYは連続写像ではない
AOY s.t. f1(A)OX
AOY s.t. f1(A)(f1(A))

3行目は「Y側の開集合でfによる逆像が境界点を含むようなものが存在する」という意味です。

具体例

以下のような階段関数f:RRを考えると、開区間Aの逆像f1(A)が開区間でないことがわかります。

このとき下側の●で表されるのが、f1(A)の境界点です。

予想

ここで私は「そのような境界点はfが不連続となる点と一致するのではないか?」と考え、次のように予想しました。

f:XYx0X で連続ではない AOY s.t. x0f1(A)(f1(A))

右辺は「Y側の開集合でfによる逆像が点x0を境界点として含むものが存在する」という意味です。

なお 距離空間⑥ fが点x0で連続であることの他の同値表現を学びましたので、これを使います。

f:XYx0X で連続である ANY(f(x0)) に対し、f1(A)NY(x0)

NY(y)Y側の点yの近傍の意味です。

準備

証明に入る前に、予想の左辺と右辺を内点の言葉を使った同値表現に書き換えておきましょう。まず左辺は定理2と近傍の定義を使って、次のように書き換えます。

f:XYx0X で連続ではない
任意のANY(f(x0))に対しf1(A)NY(x0)とは限らない
ANY(f(x0)) s.t. f1(A)NY(x0)
AY s.t. f(x0)I(A) かつ x0I(f1(A))

ここでI(A)Aの内点集合です。同様に予想の右辺も開集合の定義、逆像の定義、境界点の性質をそれぞれの項に使って書き換えます。

AOY s.t. x0f1(A)(f1(A))
AY s.t. I(A)=A かつ f(x0)A かつ x0I(f1(A))

第3項の変形は、に境界点は内点ではないことを、にある集合に含まれる点がその集合の内点ではないならば境界点であることを利用しました。

証明

最初の予想を内点の言葉を使って書き換えると、証明がかなり簡単になりました。

AY s.t. f(x0)I(A) かつ x0I(f1(A))
AY s.t. I(A)=A かつ f(x0)A かつ x0I(f1(A))

まずを示す。あるAYが存在して、I(A)=A かつ f(x0)A かつ x0I(f1(A))を満たすと仮定すると、仮定よりf(x0)A=I(A) なので f(x0)I(A)、すなわちが示された。

次にを示す。あるAYが存在して、f(x0)I(A) かつ x0I(f1(A)) を満たすと仮定する。ここでB=I(A)とおくと、まずI(B)=I(I(A))=I(A)=Bf(x0)I(A)=Bは明らか。次にI(A)A なので I(f1(I(A)))I(f1(A)) が成り立ち、更にx0I(f1(A))なのでx0I(f1(I(A)))=I(f1(B))が成り立つ。まとめるとBY s.t. I(B)=B かつ f(x0)B かつ x0I(f1(B))となるが、これはBAに読み替えれば結論そのものである。以上よりが示された。

まとめ

fx0で連続でないことと、Y側の開集合で逆像がx0を境界点として含むものが存在することが同値であることを証明しました。

f:XYx0X で連続ではない AOY s.t. x0f1(A)(f1(A))

両辺の否定を取れば、fx0で連続であることと、Y側の開集合で逆像がx0を境界点として含むものが存在しないことが同値であることがわかります。

f:XYx0X で連続である AOY s.t. x0f1(A)(f1(A))

つまりx0が逆像f1(A)に含まれないか、逆像の内点として含まれるかのどちらかということですね。

初めてMathlogの記事を書きましたが、これは大変ですね! 間違いなどありましたらコメントお願いします。

投稿日:2023214
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