大学数学基礎解説

冪等性を持つ関数について

冪等性

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どうも,∃数学徒です.興味を持ったので,冪等性を持つ実数関数について考察していきます.冪等性というのが一般的に使われる用語なのかは分かりません.

1,冪等性の定義
2,冪等性を持つ関数の例

1,冪等性の定義

冪等性

写像f:A→Bが冪等性を持つ $\Leftrightarrow$ $\forall$ a $\in$ A, $f$ ( $f$ ( $a$ )= $f$ ( $a$ )

すなわち, $f$ $\circ$ $f$ = $f$ である.

( $\circ$ は合成写像を表すものとする.)

$\underset{⏟}{f \circ,,, \circ f}$ を $f^{n}$ と略記する.
n個の合成
冪等性をもつ写像fについて,定義から以下が分かる.
任意のn $\in N$ に対して, $f^{n} = f^{}$
これが冪等性と言われる理由です.
集合論的に定義をしてみましょう.

冪等性(集合論的)

写像f:A→Bが冪等性を持つ $\Leftrightarrow$ $\forall$ a $\in$ A, $\exists$ !b $\in$ B,(a,b),(b,b) $\in f \subset A \times B$

2,冪等性を持つ関数の例

冪等性を持つ実数関数

床関数 $⌊ x ⌋$ や天井関数 $⌈ x ⌉$ ,絶対値関数 $| x |$ などがある.これらの関数の冪等性は容易に分かる.

実数関数でない冪等な関数(写像)

位相空間論における閉包作用子や開核作用子などがある.

例1の床関数の概念を少し拡張しましょう. $w \in R_{> 0}$ に対して
$⌊ x ⌋_{w} = max_{k \in Z} {k w \in R | k w ≦ x}$
とする.
$w$ =1とすると床関数に一致する.
次に $w ⟶ 0$ の極限の関数のようなものを考えたい.既出の概念かもしれないですが,これを考えるために一つ定義をしましょう.

関数系

任意の $λ \in R_{> 0}$ に対して実数関数 $f_{λ}$ : $R ⟶ R$ が対応してるとき,その対応を写像とみなし,関数系と呼ぶ. ${f_{λ}}_{λ \in R_{> 0}}$ と表記する.

かなーり微妙な議論です.ご指摘があれば遠慮なくお願いします.
この関数系の極限を考えましょう.

関数系の各点収束,一様収束

関数系 ${f_{λ}}_{λ \in R_{> 0}}$ が $λ ⟶$ $a$ で関数 $F$ に各点収束するとは
$\forall x \in R$ , $\forall ε >$ 0, $\exists δ > 0$
( $| a - λ | < δ \Rightarrow | F (x) - f_{λ} (x) | < ε$ )
が成り立つことである.
関数系 ${f_{λ}}_{λ \in R_{> 0}}$ が $λ ⟶$ $a$ で関数 $F$ に一様収束するとは
$\forall ε >$ 0, $\exists δ > 0$ , $\forall x \in R$
( $| a - λ | < δ \Rightarrow | F (x) - f_{λ} (x) | < ε$ )

さて,次に直観的にはほぼ自明ですが面白い考え方を与えてくれる命題を証明しましょう.

先に定義した関数系 ${⌊ x ⌋_{w}}_{w \in R_{> 0}}$ は $w$ $⟶$ 0で $F$ $(x)$ = $x$ に一様収束する.

$ε >$ 0を任意にとる. $δ = \frac{1}{2} ε$ とする.
( $δ < ε$ ならなんでもいい.)
$w < δ$ を仮定する. $x \in R$ を任意にとる.
すると,ある $k \in Z$ が存在して, $k w ≦ x ≦ (k + 1) w$
$⌊ x ⌋_{w} = k w$ がわかる.
よって,
$| x - ⌊ x ⌋_{w} |$ = $| x - k w |$ $< w < δ < ε$
　　　　　　　　　　　　　　　　 $◻$