三次変換公式から従う2F1の積を含む積分
今回は, ${}_2F_1$の三次変換公式を用いることによって${}_2F_1$の積を含む積分を計算したいと思う.
積分1
まず, 補題を用意する. 以下はBerndt-Bhargava-Garvanによる1995年の論文に書かれているものである.
\begin{align} \F21{3d,d+\frac 13}{2d+\frac 23}{\frac{p^3(p+2)}{1+2p}}=\left(\frac{1+2p}{(1+p+p^2)^2}\right)^{3d}\F21{2d,2d+\frac 13}{3d+\frac 12}{\frac{27p^2(1+p)^2}{4(1+p+p^2)^3}} \end{align}
この類似として以下が成り立つ.
\begin{align} \F21{3d,d+\frac 13}{2d+\frac 23}{1-\frac{p^3(p+2)}{1+2p}}=\left(\frac{3(1+2p)}{(1+p+p^2)^2}\right)^{3d}\F21{2d,2d+\frac 13}{d+\frac 56}{1-\frac{27p^2(1+p)^2}{4(1+p+p^2)^3}} \end{align}
\begin{align}
\F21{a,b}{c}{x},\F21{a,b}{1+a+b-c}{1-x}
\end{align}
が同じ超幾何微分方程式の解になっていることと補題1より, 補題2の両辺は同じ微分方程式の解であり, $p=1$において正則であるから, 両辺は定数倍の違いしかないことが分かる. $p=1$とするとその定数が$1$であることが分かる.
\begin{align} &\int_0^1(x(1-x))^{2d-\frac 23}\F21{3d,d+\frac 13}{2d+\frac 23}{x}^2\,dx\\ &=\frac{2^{8d+\frac 13}\Gamma\left(\frac 13\right)^2\Gamma\left(3d+\frac 12\right)^2\Gamma\left(\frac 12-d\right)\Gamma\left(d+\frac 16\right)}{3^{9d+\frac 12}\Gamma\left(\frac 23\right)\Gamma\left(d+\frac 12\right)^2\Gamma\left(2d+\frac 13\right)^2}\\ &\int_0^1(x(1-x))^{2d-\frac 23}\F21{3d,d+\frac 13}{2d+\frac 23}{x}\F21{3d,d+\frac 13}{2d+\frac 23}{1-x}\,dx\\ &=\frac{2^{8d+\frac 13}\pi\Gamma\left(\frac 13\right)^2\Gamma\left(3d+\frac 12\right)^2\Gamma\left(d+\frac 16\right)}{3^{9d+\frac 12}\Gamma\left(\frac 23\right)\Gamma\left(d+\frac 12\right)^3\Gamma\left(2d+\frac 13\right)^2} \end{align}
\begin{align}
x=\frac{p^3(p+2)}{1+2p},\qquad y=\frac{27p^2(1+p)^2}{4(1+p+p^2)^3}
\end{align}
とすると,
\begin{align}
&1-x=\frac{(1-p)(1+p)^3}{1+2p},\qquad 1-y=\frac{(1-p)^2(p+2)^2(1+2p)^2}{4(1+p+p^2)^3}\\
&\frac{dx}{dp}=\frac{6p^2(1+p)^2}{(1+2p)^2},\qquad\frac{dy}{dp}=\frac{27p(1-p)(1+p)(p+2)(1+2p)}{4(1+p+p^2)^4}
\end{align}
となるから,
\begin{align}
\left(\frac{1+2p}{(1+p+p^2)^2}\right)^{-6d}y^{3d-\frac 12}(1-y)^{d-\frac 56}\,dy=\frac{3^{9d+\frac 12}}{2^{8d+\frac 13}}(x(1-x))^{2d-\frac 23}\,dx
\end{align}
となる. よって, 補題1より,
\begin{align}
&\int_0^1(x(1-x))^{2d-\frac 23}\F21{3d,d+\frac 13}{2d+\frac 23}{x}^2\,dx\\
&=\frac{2^{8d+\frac 13}}{3^{9d+\frac 13}}\int_0^1y^{3d-\frac 12}(1-y)^{d-\frac 56}\F21{2d,2d+\frac 13}{3d+\frac 12}y^2\,dy
\end{align}
となる. 前の記事(
ShabdeによるLegendre関数の積分公式
)の定理2より
\begin{align}
&\int_0^1y^{3d-\frac 12}(1-y)^{d-\frac 56}\F21{2d,2d+\frac 13}{3d+\frac 12}y^2\,dy\\
&=\frac{\Gamma\left(\frac 13\right)^2\Gamma\left(3d+\frac 12\right)^2\Gamma\left(\frac 12-d\right)\Gamma\left(d+\frac 16\right)}{\Gamma\left(\frac 23\right)\Gamma\left(d+\frac 12\right)^2\Gamma\left(2d+\frac 13\right)^2}
\end{align}
となるからこれを代入して1つ目の式を得る. 次に, 2つ目の式を示す. 先ほどと同様の置換と補題2より,
\begin{align}
&\int_0^1(x(1-x))^{2d-\frac 23}\F21{3d,d+\frac 13}{2d+\frac 23}{x}\F21{3d,d+\frac 13}{2d+\frac 23}{1-x}\,dx\\
&=\frac{2^{8d+\frac 13}}{3^{6d+\frac 13}}\int_0^1y^{3d-\frac 12}(1-y)^{d-\frac 56}\F21{2d,2d+\frac 13}{3d+\frac 12}y\F21{2d,2d+\frac 13}{d+\frac 56}{1-y}\,dy
\end{align}
となる. ここで, 2つの${}_2F_1$を展開して項別積分して, Gaussの超幾何定理を用いると,
\begin{align}
&\int_0^1y^{3d-\frac 12}(1-y)^{d-\frac 56}\F21{2d,2d+\frac 13}{3d+\frac 12}y\F21{2d,2d+\frac 13}{d+\frac 56}{1-y}\,dy\\
&=\sum_{0\leq m,n}\frac{\left(2d,2d+\frac 13\right)_m}{m!\left(3d+\frac 12\right)_m}\frac{\left(2d,2d+\frac 13\right)_n}{n!\left(d+\frac 56\right)_n}\frac{\Gamma\left(m+3d+\frac 12\right)\Gamma\left(n+d+\frac 16\right)}{\Gamma\left(m+n+4d+\frac 23\right)}\\
&=\frac{\Gamma\left(3d+\frac 12\right)\Gamma\left(d+\frac 16\right)}{\Gamma\left(4d+\frac 23\right)}\sum_{0\leq n}\frac{\left(2d,2d+\frac 13,d+\frac 16\right)_n}{n!\left(d+\frac 56,4d+\frac 23\right)_n}\F21{2d,2d+\frac13}{4d+\frac 23+n}1\\
&=\frac{\Gamma\left(3d+\frac 12\right)\Gamma\left(d+\frac 16\right)}{\Gamma\left(4d+\frac 23\right)}\sum_{0\leq n}\frac{\left(2d,2d+\frac 13,d+\frac 16\right)_n}{n!\left(d+\frac 56,4d+\frac 23\right)_n}\frac{\Gamma\left(4d+\frac 23+n\right)\Gamma\left(\frac 13+n\right)}{\Gamma\left(2d+\frac 23+n\right)\Gamma\left(2d+\frac 13+n\right)}\\
&=\frac{\Gamma\left(\frac 13\right)\Gamma\left(3d+\frac 12\right)\Gamma\left(d+\frac 16\right)}{\Gamma\left(2d+\frac 13\right)\Gamma\left(2d+\frac 23\right)}\F32{2d,d+\frac 16,\frac 13}{d+\frac 56,2d+\frac 23}1
\end{align}
となる. ここで, Dixonの和公式を適用すると
\begin{align}
\F32{2d,d+\frac 16,\frac 13}{d+\frac 56,2d+\frac 23}1&=\frac{\sqrt{\pi}\Gamma(d+1)\Gamma\left(d+\frac 56\right)\Gamma\left(2d+\frac 23\right)}{\Gamma\left(\frac 56\right)\Gamma\left(2d+1\right)\Gamma\left(d+\frac 23\right)\Gamma\left(d+\frac 12\right)}
\end{align}
となる. これより,
\begin{align}
&\int_0^1(x(1-x))^{2d-\frac 23}\F21{3d,d+\frac 13}{2d+\frac 23}{x}\F21{3d,d+\frac 13}{2d+\frac 23}{1-x}\,dx\\
&=\frac{2^{8d+\frac 13}}{3^{6d+\frac 13}}\frac{\Gamma\left(\frac 13\right)\Gamma\left(3d+\frac 12\right)\Gamma\left(d+\frac 16\right)}{\Gamma\left(2d+\frac 13\right)\Gamma\left(2d+\frac 23\right)}\frac{\sqrt{\pi}\Gamma(d+1)\Gamma\left(d+\frac 56\right)\Gamma\left(2d+\frac 23\right)}{\Gamma\left(\frac 56\right)\Gamma\left(2d+1\right)\Gamma\left(d+\frac 23\right)\Gamma\left(d+\frac 12\right)}\\
&=\frac{2^{8d+\frac 13}}{3^{6d+\frac 13}}\frac{\Gamma\left(\frac 13\right)\Gamma\left(3d+\frac 12\right)\Gamma\left(d+\frac 16\right)\sqrt{\pi}\Gamma(d+1)\Gamma\left(d+\frac 56\right)}{\Gamma\left(2d+\frac 13\right)\Gamma\left(\frac 56\right)\Gamma\left(2d+1\right)\Gamma\left(d+\frac 23\right)\Gamma\left(d+\frac 12\right)}
\end{align}
を得る. ガンマ関数の乗法公式などを用いてこれを整理すれば示すべき等式を得る.
定理3から, 特に2つの積分の間には
\begin{align}
&\cos(\pi d)\int_0^1(x(1-x))^{2d-\frac 23}\F21{3d,d+\frac 13}{2d+\frac 23}{x}^2\,dx\\
&=\int_0^1(x(1-x))^{2d-\frac 23}\F21{3d,d+\frac 13}{2d+\frac 23}{x}\F21{3d,d+\frac 13}{2d+\frac 23}{1-x}\,dx
\end{align}
の関係があることが分かる.
\begin{align}
\kappa(x):=\F21{\frac 12,\frac 12}1x
\end{align}
とする. 定理1において$d=\frac 16$とすると,
\begin{align}
\int_0^1\frac{\kappa(x)^2}{(x(1-x))^{\frac 13}}\,dx&=\frac{\sqrt 3\Gamma\left(\frac 13\right)^9}{2^{\frac{10}3}\pi^5}\\
\int_0^1\frac{\kappa(x)\kappa(1-x)}{(x(1-x))^{\frac 13}}\,dx&=\frac{3\Gamma\left(\frac 13\right)^9}{2^{\frac{13}3}\pi^5}
\end{align}
を得る. これはモジュラー形式$\eta(\tau)^8$の積分に書きかえることによっても示すことができるようである.
積分2
次に, 以下の三次変換公式が知られている.
\begin{align} \F21{c,c+\frac 13}{\frac{3c+5}6}{x^3}=(1+2x)^{-3c}\F21{c,c+\frac 13}{\frac{3c+1}2}{1-\left(\frac{1-x}{1+2x}\right)^3} \end{align}
これを用いることで次を示すことができる.
\begin{align} &\int_0^1(x(1-x^3))^{\frac{3c-1}2}\F21{c,c+\frac 13}{\frac{3c+5}6}{x^3}^2\,dx\\ &=\frac{\Gamma\left(\frac 13\right)^2\Gamma\left(\frac{3c+1}2\right)^2\Gamma\left(\frac{1-c}2\right)\Gamma\left(\frac{3c+1}6\right)}{3^{3c+1}\Gamma\left(\frac 23\right)\Gamma\left(\frac{c+1}2\right)^2\Gamma\left(c+\frac 13\right)^2}\\ &\int_0^1(x(1-x^3))^{\frac{3c-1}2}\F21{c,c+\frac 13}{\frac{3c+5}6}{x^3}\F21{c,c+\frac 13}{\frac{3c+1}2}{1-x^3}\,dx\\ &=\frac{\pi\Gamma\left(\frac 13\right)^2\Gamma\left(\frac{3c+1}2\right)^2\Gamma\left(\frac{3c+1}6\right)}{3^{\frac{3c}2+1}\Gamma\left(\frac 23\right)\Gamma\left(\frac{c+1}2\right)^3\Gamma\left(c+\frac 13\right)^2}\\ &\int_0^1(x(1-x^3))^{\frac{3c-1}2}\F21{c,c+\frac 13}{\frac{3c+1}2}{1-x^3}^2\,dx\\ &=\frac{\Gamma\left(\frac 13\right)^2\Gamma\left(\frac{3c+1}2\right)^2\Gamma\left(\frac{1-c}2\right)\Gamma\left(\frac{3c+1}6\right)}{3\Gamma\left(\frac 23\right)\Gamma\left(\frac{c+1}2\right)^2\Gamma\left(c+\frac 13\right)^2} \end{align}
証明の方針は先ほどとほとんど同じである.
まず, $\displaystyle x=\frac{1-y}{1+2y}$として, 補題1を適用すると
\begin{align}
&\int_0^1(x(1-x^3))^{\frac{3c-1}2}\F21{c,c+\frac 13}{\frac{3c+5}6}{x^3}^2\,dx\\
&=3^{-3c}\int_0^1(y(1-y^3))^{\frac{3c-1}2}\F21{c,c+\frac 13}{\frac{3c+1}2}{1-y^3}^2\,dy
\end{align}
となる. つまり, 1つ目の式は3つ目の式に帰着する. $1-y^3=t$とすると
\begin{align}
&\int_0^1(y(1-y^3))^{\frac{3c-1}2}\F21{c,c+\frac 13}{\frac{3c+1}2}{1-y^3}^2\,dy\\
&=\frac 13\int_0^1t^{\frac{3c-1}2}(1-t)^{\frac{3c-5}6}\F21{c,c+\frac 13}{\frac{3c+1}2}t^2\,dt
\end{align}
となる. ここで, 前の記事(
ShabdeによるLegendre関数の積分公式
)の定理2より
\begin{align}
&\int_0^1t^{\frac{3c-1}2}(1-t)^{\frac{3c-5}6}\F21{c,c+\frac 13}{\frac{3c+1}2}t^2\,dt\\
&=\frac{\Gamma\left(\frac 13\right)^2\Gamma\left(\frac{3c+1}2\right)^2\Gamma\left(\frac{1-c}2\right)\Gamma\left(\frac{3c+1}6\right)}{\Gamma\left(\frac 23\right)\Gamma\left(\frac{c+1}2\right)^2\Gamma\left(c+\frac 13\right)^2}
\end{align}
となるから, これを代入して3つ目の式が示される. 次に, 2つ目の式は$x^3=t$として項別積分してGaussの超幾何定理を用いると,
\begin{align}
&\int_0^1(x(1-x^3))^{\frac{3c-1}2}\F21{c,c+\frac 13}{\frac{3c+5}6}{x^3}\F21{c,c+\frac 13}{\frac{3c+1}2}{1-x^3}\,dx\\
&=\frac 13\int_0^1t^{\frac{3c-5}6}(1-t)^{\frac{3c-1}2}\F21{c,c+\frac 13}{\frac{3c+5}6}{t}\F21{c,c+\frac 13}{\frac{3c+1}2}{1-t}\,dt\\
&=\frac 13\sum_{0\leq m,n}\frac{\left(c,c+\frac 13\right)_m}{m!\left(\frac{3c+5}6\right)_m}\frac{\left(c,c+\frac 13\right)_n}{n!\left(\frac{3c+1}2\right)_n}\frac{\Gamma\left(m+\frac{3c+1}6\right)\Gamma\left(n+\frac{3c+1}2\right)}{\Gamma\left(m+n+2c+\frac 23\right)}\\
&=\frac{\Gamma\left(\frac{3c+1}6\right)\Gamma\left(\frac{3c+1}2\right)}{3\Gamma\left(2c+\frac 23\right)}\sum_{0\leq m}\frac{\left(c,c+\frac 13,\frac{3c+1}6\right)_m}{m!\left(\frac{3c+5}{6},2c+\frac 23\right)_m}\F21{c,c+\frac 13}{2c+\frac 23+m}1\\
&=\frac{\Gamma\left(\frac{3c+1}6\right)\Gamma\left(\frac{3c+1}2\right)}{3\Gamma\left(2c+\frac 23\right)}\sum_{0\leq m}\frac{\left(c,c+\frac 13,\frac{3c+1}6\right)_m}{m!\left(\frac{3c+5}{6},2c+\frac 23\right)_m}\frac{\Gamma\left(2c+\frac 23+m\right)\Gamma\left(\frac 13+m\right)}{\Gamma\left(c+\frac 23+m\right)\Gamma\left(c+\frac 13+m\right)}\\
&=\frac{\Gamma\left(\frac{3c+1}6\right)\Gamma\left(\frac{3c+1}2\right)\Gamma\left(\frac 13\right)}{3\Gamma\left(c+\frac 13\right)\Gamma\left(c+\frac 23\right)}\F32{c,\frac{3c+1}6,\frac 13}{\frac{3c+5}6,c+\frac 23}{1}
\end{align}
となる. よって, この${}_3F_2$にDixonの和公式を適用して整理することにより示すべき等式を得る.
定理5の3つの積分の関係は
\begin{align}
&\int_0^1(x(1-x^3))^{\frac{3c-1}2}\F21{c,c+\frac 13}{\frac{3c+5}6}{x^3}^2\,dx\\
&=\frac{3^{-\frac{3c}2}}{\cos\left(\frac{\pi c}2\right)}\int_0^1(x(1-x^3))^{\frac{3c-1}2}\F21{c,c+\frac 13}{\frac{3c+5}6}{x^3}\F21{c,c+\frac 13}{\frac{3c+1}2}{1-x^3}\,dx\\
&=3^{-3c}\int_0^1(x(1-x^3))^{\frac{3c-1}2}\F21{c,c+\frac 13}{\frac{3c+1}2}{1-x^3}^2\,dx
\end{align}
となる. 定理5において, 特に$c=\frac 13$とすると,
\begin{align}
\int_0^1\F21{\frac 13,\frac 23}1{x^3}^2\,dx&=\frac{\sqrt 3 \Gamma\left(\frac 13\right)^9}{32\pi^5}\\
\int_0^1\F21{\frac 13,\frac 23}1{x^3}\F21{\frac 13,\frac 23}{1}{1-x^3}\,dx&=\frac{3\sqrt 3 \Gamma\left(\frac 13\right)^9}{64\pi^5}\\
\int_0^1\F21{\frac 13,\frac 23}1{1-x^3}^2\,dx&=\frac{3\sqrt 3 \Gamma\left(\frac 13\right)^9}{32\pi^5}
\end{align}
を得る.
