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ShabdeによるLegendre関数の積分公式

Legendre関数を
\begin{align} P_{\nu}(x):=\sum_{0\leq n}\frac{(-\nu,\nu+1)_n}{n!^2}\left(\frac{1-x}2\right)^n \end{align}
と定義する. 以下の公式が知られている. 今回はこの公式をCarlitzによる二重超幾何級数の和公式を用いて示したいと思う.

Shabde(1945)

\begin{align} \int_{-1}^1P_{\nu}(x)P_{\mu}(x)(1+x)^{\nu+\mu}\,dx&=\frac{2^{\nu+\mu+1}\Gamma(\nu+\mu+1)^4}{\Gamma(\nu+1)^2\Gamma(\mu+1)^2\Gamma(2\nu+2\mu+2)} \end{align}

$\nu,\mu$を十分大きいとして示せば十分である.
\begin{align} &\int_{-1}^1P_{\nu}(x)P_{\mu}(x)(1+x)^{\nu+\mu}\,dx\\ &=\int_{-1}^1\sum_{0\leq n,m}\frac{(-\nu,\nu+1)_n}{n!^2}\frac{(-\mu,\mu+1)_m}{m!^2}\left(\frac{1-x}2\right)^{n+m}(1+x)^{\nu+\mu}\,dx\\ &=2^{\nu+\mu+1}\sum_{0\leq n,m}\frac{(-\nu,\nu+1)_n}{n!^2}\frac{(-\mu,\mu+1)_m}{m!^2}\frac{\Gamma(n+m+1)\Gamma(\nu+\mu+1)}{\Gamma(\nu+\mu+n+m+2)}\\ &=\frac{2^{\nu+\mu+1}}{\nu+\mu+1}\sum_{0\leq n,m}\frac{(-\nu,\nu+1)_n}{n!^2}\frac{(-\mu,\mu+1)_m}{m!^2}\frac{(n+m)!}{(\nu+\mu+2)_{n+m}} \end{align}
ここで, Carlitzの和公式
\begin{align} \sum_{0\leq n,m}\frac{(a,c)_n}{n!(b)_n}\frac{(a',c')_m}{m!(b)_m}\frac{(b)_{n+m}}{(c+c')_{n+m}}&=\frac{\Gamma(c-a')\Gamma(c'-a)\Gamma(b)\Gamma(b-a-a')\Gamma(c+c')}{\Gamma(c+c'-a-a')\Gamma(b-a)\Gamma(b-a')\Gamma(c)\Gamma(c')} \end{align}
において, $a=-\nu,c=\nu+1,a'=-\mu,c'=\mu+1,b=1$とすれば,
\begin{align} \sum_{0\leq n,m}\frac{(-\nu,\nu+1)_n}{n!^2}\frac{(-\mu,\mu+1)_m}{m!^2}\frac{(n+m)!}{(\nu+\mu+2)_{n+m}}&=\frac{\Gamma(\nu+\mu+1)^3\Gamma(\nu+\mu+2)}{\Gamma(2\nu+2\mu+2)\Gamma(\nu+1)^2\Gamma(\mu+1)^2} \end{align}
を得るから, これを代入して定理を得る.

上のような積分の計算を容易にするために, Carlitzの和公式自体を積分で表しておくと便利そうである. それは以下のようになる.

\begin{align} &\int_0^1\F21{a,b}{c}{x}\F21{a',b'}{c}x x^{c-1}(1-x)^{b+b'-c-1}\,dx\\ &=\frac{\Gamma(b-a')\Gamma(b'-a)\Gamma(c)^2\Gamma(c-a-a')\Gamma(b+b'-c)}{\Gamma(b+b'-a-a')\Gamma(c-a)\Gamma(c-a')\Gamma(b)\Gamma(b')} \end{align}