ShabdeによるLegendre関数の積分公式

$\nu ,\mu$を十分大きいとして示せば十分である.
$$\begin{array}{rl}& {\int }_{-1}^1{P}_{\nu }(x)P_{\mu }(x)(1+x{)}^{\nu +\mu }dx\\ & ={\int }_{-1}^1\sum _{0\le n,m}\frac{(-\nu ,\nu +1{)}_n}{n{!}^2}\frac{(-\mu ,\mu +1{)}_m}{m{!}^2}{\left(\frac{1-x}{2}\right)}^{n+m}(1+x{)}^{\nu +\mu }dx\\ & =2^{\nu +\mu +1}\sum _{0\le n,m}\frac{(-\nu ,\nu +1{)}_n}{n{!}^2}\frac{(-\mu ,\mu +1{)}_m}{m{!}^2}\frac{\mathrm{\Gamma }(n+m+1)\mathrm{\Gamma }(\nu +\mu +1)}{\mathrm{\Gamma }(\nu +\mu +n+m+2)}\\ & =\frac{2^{\nu +\mu +1}}{\nu +\mu +1}\sum _{0\le n,m}\frac{(-\nu ,\nu +1{)}_n}{n{!}^2}\frac{(-\mu ,\mu +1{)}_m}{m{!}^2}\frac{(n+m)!}{(\nu +\mu +2{)}_{n+m}}\end{array}$$
ここで, Carlitzの和公式
$$\begin{array}{rl}\sum _{0\le n,m}\frac{(a,c{)}_n}{n!(b{)}_n}\frac{(a^{\prime },c^{\prime }{)}_m}{m!(b{)}_m}\frac{(b{)}_{n+m}}{(c+c^{\prime }{)}_{n+m}}& =\frac{\mathrm{\Gamma }(c-a^{\prime })\mathrm{\Gamma }(c^{\prime }-a)\mathrm{\Gamma }(b)\mathrm{\Gamma }(b-a-a^{\prime })\mathrm{\Gamma }(c+c^{\prime })}{\mathrm{\Gamma }(c+c^{\prime }-a-a^{\prime })\mathrm{\Gamma }(b-a)\mathrm{\Gamma }(b-a^{\prime })\mathrm{\Gamma }(c)\mathrm{\Gamma }(c^{\prime })}\end{array}$$
において, $a=-\nu ,c=\nu +1,a^{\prime }=-\mu ,c^{\prime }=\mu +1,b=1$とすれば,
$$\begin{array}{rl}\sum _{0\le n,m}\frac{(-\nu ,\nu +1{)}_n}{n{!}^2}\frac{(-\mu ,\mu +1{)}_m}{m{!}^2}\frac{(n+m)!}{(\nu +\mu +2{)}_{n+m}}& =\frac{\mathrm{\Gamma }(\nu +\mu +1{)}^3\mathrm{\Gamma }(\nu +\mu +2)}{\mathrm{\Gamma }(2\nu +2\mu +2)\mathrm{\Gamma }(\nu +1{)}^2\mathrm{\Gamma }(\mu +1{)}^2}\end{array}$$
を得るから, これを代入して定理を得る.