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AndrewsによるHeineの変換公式の類似

次はHeineの変換公式の拡張になっている.

Andrews(1966)

正整数 $h$ に対して
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(a; q^{h})_{n}}{(q^{h}; q^{h})_{n}} \frac{(b; q)_{h n}}{(c; q)_{h n}} t^{n} & = \frac{(b; q)_{\infty} (a t; q^{h})_{\infty}}{(c; q)_{\infty} (t; q^{h})_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(c / b; q)_{n} (t; q^{h})_{n}}{(q; q)_{n} (a t; q^{h})_{n}} b^{n} \end{aligned}$
が成り立つ.

$q$ 二項定理より,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(a; q^{h})_{n}}{(q^{h}; q^{h})_{n}} \frac{(b; q)_{h n}}{(c; q)_{h n}} t^{n} & = \frac{(b; q)_{\infty}}{(c; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(a; q^{h})_{n}}{(q^{h}; q^{h})_{n}} \frac{(c q^{h n}; q)_{\infty}}{(b q^{h n}; q)_{\infty}} t^{n} \\ = \frac{(b; q)_{\infty}}{(c; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(a; q^{h})_{n}}{(q^{h}; q^{h})_{n}} t^{n} \sum_{0 \leq m} \frac{(c / b; q)_{m}}{(q; q)_{m}} b^{m} q^{h m n} \\ = \frac{(b; q)_{\infty}}{(c; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq m} \frac{(c / b; q)_{m}}{(q; q)_{m}} b^{m} \sum_{0 \leq n} \frac{(a; q^{h})_{n}}{(q^{h}; q^{h})_{n}} (t q^{h m})^{n} \\ = \frac{(b; q)_{\infty}}{(c; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq m} \frac{(c / b; q)_{m}}{(q; q)_{m}} b^{m} \frac{(a t q^{h m}; q^{h})_{\infty}}{(t q^{h m}; q^{h})_{\infty}} \\ = \frac{(b; q)_{\infty} (a t; q^{h})_{\infty}}{(c; q)_{\infty} (t; q^{h})_{\infty}} \sum_{0 \leq m} \frac{(c / b; q)_{m} (t; q^{h})_{m}}{(q; q)_{m} (a t; q^{h})_{m}} b^{m} \end{aligned}$
となって示すべき等式が得られる.

これを特殊化することによって, 様々な系を得ることができる. それらはAndrewsの1966年の論文に書かれているものである.

$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(b; q)_{2 n}}{(q^{2}; q^{2})_{n}} t^{2 n} & = \frac{(- b t; q)_{\infty}}{(- t; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(b; q)_{n}}{(q, - b t; q)_{n}} t^{n} \end{aligned}$

定理1において, $h = 2, a = c = 0$ として $t \mapsto t^{2}$ とすると,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(b; q)_{2 n}}{(q^{2}; q^{2})_{n}} t^{2 n} & = \frac{(b; q)_{n}}{(t^{2}; q^{2})_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(t^{2}; q^{2})_{n}}{(q; q)_{n}} b^{n} \\ = \frac{(b; q)_{\infty}}{(t, - t; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(t, - t; q)_{n}}{(q; q)_{n}} b^{n} \end{aligned}$
ここで, Heineの変換公式より,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(t, - t; q)_{n}}{(q; q)_{n}} b^{n} & = \frac{(t, - b t; q)_{\infty}}{(b; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(b; q)_{n}}{(q, - b t; q)_{n}} t^{n} \end{aligned}$
であるからこれを代入して定理を得る.

$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(t; q^{2})_{n}}{(q; q)_{n}} b^{n} & = \frac{(b t q; q^{2})_{\infty}}{(b q; q^{2})_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(t; q^{2})_{n}}{(q^{2}, b t q; q^{2})_{n}} b^{n} \end{aligned}$

定理1において, $h = 2, a = c = 0$ として,
$\begin{aligned} \frac{(b; q)_{\infty}}{(t; q^{2})_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(t; q^{2})_{n}}{(q; q)_{n}} b^{n} & = \sum_{0 \leq n} \frac{(b; q)_{2 n}}{(q^{2}; q^{2})_{n}} t^{n} \\ = \sum_{0 \leq n} \frac{(b, b q; q^{2})_{n}}{(q^{2}; q^{2})_{n}} t^{n} \end{aligned}$
ここで, Heineの変換公式より,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(b, b q; q^{2})_{n}}{(q^{2}; q^{2})_{n}} t^{n} & = \frac{(b, b t q; q^{2})_{\infty}}{(t; q^{2})_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(t; q^{2})_{n}}{(q^{2}, b t q; q^{2})_{n}} b^{n} \end{aligned}$
であるからこれを代入して定理を得る.

$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(a; q)_{n} (b; q^{2})_{n}}{(q; q)_{n} (a b t; q^{2})_{n}} t^{n} & = \frac{(a t, b t; q^{2})_{\infty}}{(t, a b t; q^{2})_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(a, b; q^{2})_{n}}{(q^{2}, b t; q^{2})_{n}} (t q)^{n} \end{aligned}$

定理1において, $h = 2$ として, $b, t$ を入れ替えた後 $a \mapsto a t, c \mapsto a t$ とすると,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(a; q)_{n} (b; q^{2})_{n}}{(q; q)_{n} (a b t; q^{2})_{n}} t^{n} & = \frac{(a t; q)_{\infty} (b; q^{2})_{\infty}}{(t; q)_{\infty} (a b t; q^{2})_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(a t; q^{2})_{n} (t; q)_{2 n}}{(q^{2}; q^{2})_{n} (a t; q)_{2 n}} b^{n} \\ = \frac{(a t; q)_{\infty} (b; q^{2})_{\infty}}{(t; q)_{\infty} (a b t; q^{2})_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(t, t q; q^{2})_{n}}{(q^{2}, a t q; q^{2})_{n}} b^{n} \end{aligned}$
ここで, Heineの変換公式より,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(t, t q; q^{2})_{n}}{(q^{2}, a t q; q^{2})_{n}} b^{n} & = \frac{(t q, b t; q^{2})_{\infty}}{(a t q, b; q^{2})_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(a, b; q^{2})_{n}}{(q^{2}, b t; q^{2})_{n}} (t q)^{n} \end{aligned}$
であるから, これを代入して定理を得る.

Andrews(1966)

$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(a; q^{2})_{n} (b; q)_{n}}{(q^{2}; q^{2})_{n} (c; q)_{n}} t^{n} & = \frac{(b; q)_{\infty} (a t; q^{2})_{\infty}}{(c; q)_{\infty} (t; q^{2})_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(c / b; q)_{2 n} (t; q^{2})_{n}}{(q; q)_{2 n} (a t; q^{2})_{n}} b^{2 n} \\ + \frac{(b; q)_{\infty} (a t q; q^{2})_{\infty}}{(c; q)_{\infty} (t q; q^{2})_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(c / b; q)_{2 n + 1} (t q; q^{2})_{n}}{(q; q)_{2 n + 1} (a t q; q^{2})_{n}} b^{2 n + 1} \end{aligned}$

$q$ 二項定理より,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(a; q^{2})_{n} (b; q)_{n}}{(q^{2}; q^{2})_{n} (c; q)_{n}} t^{n} \\ = \frac{(b; q)_{\infty}}{(c; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(a; q^{2})_{n} (c q^{n}; q)_{\infty}}{(q^{2}; q^{2})_{n} (b q^{n}; q)_{\infty}} t^{n} \\ = \frac{(b; q)_{\infty}}{(c; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(a; q_{n}^{)}}{(q^{2}; q^{2})_{n}} t^{n} \sum_{0 \leq m} \frac{(c / b; q)_{m}}{(q; q)_{m}} b^{m} q^{m n} \\ = \frac{(b; q)_{\infty}}{(c; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(a; q^{2})_{n}}{(q^{2}; q^{2})_{n}} t^{n} (\sum_{0 \leq m} \frac{(c / b; q)_{2 m}}{(q; q)_{2 m}} b^{2 m} q^{2 m n} + \sum_{0 \leq m} \frac{(c / b; q)_{2 m + 1}}{(q; q)_{2 m + 1}} b^{2 m + 1} q^{(2 m + 1) n}) \\ = \frac{(b; q)_{\infty}}{(c; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(a; q^{2})_{n}}{(q^{2}; q^{2})_{n}} t^{n} (\sum_{0 \leq m} \frac{(c / b; q)_{2 m}}{(q; q)_{2 m}} b^{2 m} q^{2 m n} + \sum_{0 \leq m} \frac{(c / b; q)_{2 m + 1}}{(q; q)_{2 m + 1}} b^{2 m + 1} q^{(2 m + 1) n}) \\ = \frac{(b; q)_{\infty}}{(c; q)_{\infty}} (\sum_{0 \leq m} \frac{(c / b; q)_{2 m}}{(q; q)_{2 m}} b^{2 m} \sum_{0 \leq n} \frac{(a; q^{2})_{n}}{(q^{2}; q^{2})_{n}} t^{n} q^{2 m n} + \sum_{0 \leq m} \frac{(c / b; q)_{2 m + 1}}{(q; q)_{2 m + 1}} b^{2 m + 1} \sum_{0 \leq n} \frac{(a; q^{2})_{n}}{(q^{2}; q^{2})_{n}} t^{n} q^{(2 m + 1) n}) \\ = \frac{(b; q)_{\infty}}{(c; q)_{\infty}} (\sum_{0 \leq m} \frac{(c / b; q)_{2 m}}{(q; q)_{2 m}} b^{2 m} \frac{(a t q^{2 m}; q^{2})_{\infty}}{(t q^{2 m}; q^{2})_{\infty}} + \sum_{0 \leq m} \frac{(c / b; q)_{2 m + 1}}{(q; q)_{2 m + 1}} b^{2 m + 1} \frac{(a t q^{2 m + 1}; q^{2})_{\infty}}{(t q^{2 m + 1}; q^{2})_{\infty}}) \\ = \frac{(b; q)_{\infty} (a t; q^{2})_{\infty}}{(c; q)_{\infty} (t; q^{2})_{\infty}} \sum_{0 \leq m} \frac{(c / b; q)_{2 m} (t; q^{2})_{m}}{(q; q)_{2 m} (a t; q^{2})_{m}} b^{2 m} \\ + \frac{(b; q)_{\infty} (a t q; q^{2})_{\infty}}{(c; q)_{\infty} (t q; q^{2})_{\infty}} \sum_{0 \leq m} \frac{(c / b; q)_{2 m + 1} (t q; q^{2})_{m}}{(q; q)_{2 m + 1} (a t q; q^{2})_{m}} b^{2 m + 1} \end{aligned}$
となって示される.