AndrewsによるHeineの変換公式の類似
次はHeineの変換公式の拡張になっている.
正整数$h$に対して
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(a;q^h)_n}{(q^h;q^h)_n}\frac{(b;q)_{hn}}{(c;q)_{hn}}t^n&=\frac{(b;q)_{\infty}(at;q^h)_{\infty}}{(c;q)_{\infty}(t;q^h)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(c/b;q)_n(t;q^h)_n}{(q;q)_n(at;q^h)_n}b^n
\end{align}
が成り立つ.
$q$二項定理
より,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(a;q^h)_n}{(q^h;q^h)_n}\frac{(b;q)_{hn}}{(c;q)_{hn}}t^n&=\frac{(b;q)_{\infty}}{(c;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(a;q^h)_n}{(q^h;q^h)_n}\frac{(cq^{hn};q)_{\infty}}{(bq^{hn};q)_{\infty}}t^n\\
&=\frac{(b;q)_{\infty}}{(c;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(a;q^h)_n}{(q^h;q^h)_n}t^n\sum_{0\leq m}\frac{(c/b;q)_m}{(q;q)_m}b^mq^{hmn}\\
&=\frac{(b;q)_{\infty}}{(c;q)_{\infty}}\sum_{0\leq m}\frac{(c/b;q)_m}{(q;q)_m}b^m\sum_{0\leq n}\frac{(a;q^h)_n}{(q^h;q^h)_n}(tq^{hm})^n\\
&=\frac{(b;q)_{\infty}}{(c;q)_{\infty}}\sum_{0\leq m}\frac{(c/b;q)_m}{(q;q)_m}b^m\frac{(atq^{hm};q^h)_{\infty}}{(tq^{hm};q^h)_{\infty}}\\
&=\frac{(b;q)_{\infty}(at;q^h)_{\infty}}{(c;q)_{\infty}(t;q^h)_{\infty}}\sum_{0\leq m}\frac{(c/b;q)_m(t;q^h)_m}{(q;q)_m(at;q^h)_m}b^m
\end{align}
となって示すべき等式が得られる.
これを特殊化することによって, 様々な系を得ることができる. それらはAndrewsの1966年の論文に書かれているものである.
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(b;q)_{2n}}{(q^2;q^2)_n}t^{2n}&=\frac{(-bt;q)_{\infty}}{(-t;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(b;q)_n}{(q,-bt;q)_n}t^n \end{align}
定理1において, $h=2, a=c=0$として$t\mapsto t^2$とすると,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(b;q)_{2n}}{(q^2;q^2)_n}t^{2n}&=\frac{(b;q)_n}{(t^2;q^2)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(t^2;q^2)_n}{(q;q)_n}b^n\\
&=\frac{(b;q)_{\infty}}{(t,-t;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(t,-t;q)_n}{(q;q)_n}b^n
\end{align}
ここで,
Heineの変換公式
より,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(t,-t;q)_n}{(q;q)_n}b^n&=\frac{(t,-bt;q)_{\infty}}{(b;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(b;q)_n}{(q,-bt;q)_n}t^n
\end{align}
であるからこれを代入して定理を得る.
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(t;q^2)_n}{(q;q)_n}b^n&=\frac{(btq;q^2)_{\infty}}{(bq;q^2)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(t;q^2)_n}{(q^2,btq;q^2)_n}b^n \end{align}
定理1において, $h=2, a=c=0$として,
\begin{align}
\frac{(b;q)_{\infty}}{(t;q^2)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(t;q^2)_n}{(q;q)_n}b^n&=\sum_{0\leq n}\frac{(b;q)_{2n}}{(q^2;q^2)_n}t^n\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(b,bq;q^2)_n}{(q^2;q^2)_n}t^n
\end{align}
ここで,
Heineの変換公式
より,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(b,bq;q^2)_n}{(q^2;q^2)_n}t^n&=\frac{(b,btq;q^2)_{\infty}}{(t;q^2)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(t;q^2)_n}{(q^2,btq;q^2)_n}b^n
\end{align}
であるからこれを代入して定理を得る.
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(a;q)_n(b;q^2)_n}{(q;q)_n(abt;q^2)_n}t^n&=\frac{(at,bt;q^2)_{\infty}}{(t,abt;q^2)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(a,b;q^2)_n}{(q^2,bt;q^2)_n}(tq)^n \end{align}
定理1において, $h=2$として, $b,t$を入れ替えた後$a\mapsto at, c\mapsto at$とすると,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(a;q)_n(b;q^2)_n}{(q;q)_n(abt;q^2)_n}t^n&=\frac{(at;q)_{\infty}(b;q^2)_{\infty}}{(t;q)_{\infty}(abt;q^2)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(at;q^2)_n(t;q)_{2n}}{(q^2;q^2)_n(at;q)_{2n}}b^n\\
&=\frac{(at;q)_{\infty}(b;q^2)_{\infty}}{(t;q)_{\infty}(abt;q^2)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(t,tq;q^2)_{n}}{(q^2,atq;q^2)_n}b^n
\end{align}
ここで,
Heineの変換公式
より,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(t,tq;q^2)_{n}}{(q^2,atq;q^2)_n}b^n&=\frac{(tq,bt;q^2)_{\infty}}{(atq,b;q^2)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(a,b;q^2)_n}{(q^2,bt;q^2)_n}(tq)^n
\end{align}
であるから, これを代入して定理を得る.
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(a;q^2)_n(b;q)_n}{(q^2;q^2)_n(c;q)_n}t^n&=\frac{(b;q)_{\infty}(at;q^2)_{\infty}}{(c;q)_{\infty}(t;q^2)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(c/b;q)_{2n}(t;q^2)_n}{(q;q)_{2n}(at;q^2)_n}b^{2n}\\ &\qquad+\frac{(b;q)_{\infty}(atq;q^2)_{\infty}}{(c;q)_{\infty}(tq;q^2)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(c/b;q)_{2n+1}(tq;q^2)_n}{(q;q)_{2n+1}(atq;q^2)_n}b^{2n+1} \end{align}
$q$二項定理
より,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(a;q^2)_n(b;q)_n}{(q^2;q^2)_n(c;q)_n}t^n\\
&=\frac{(b;q)_{\infty}}{(c;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(a;q^2)_n(cq^n;q)_{\infty}}{(q^2;q^2)_n(bq^n;q)_{\infty}}t^n\\
&=\frac{(b;q)_{\infty}}{(c;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(a;q^)_n}{(q^2;q^2)_n}t^n\sum_{0\leq m}\frac{(c/b;q)_m}{(q;q)_m}b^mq^{mn}\\
&=\frac{(b;q)_{\infty}}{(c;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(a;q^2)_n}{(q^2;q^2)_n}t^n\left(\sum_{0\leq m}\frac{(c/b;q)_{2m}}{(q;q)_{2m}}b^{2m}q^{2mn}+\sum_{0\leq m}\frac{(c/b;q)_{2m+1}}{(q;q)_{2m+1}}b^{2m+1}q^{(2m+1)n}\right)\\
&=\frac{(b;q)_{\infty}}{(c;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(a;q^2)_n}{(q^2;q^2)_n}t^n\left(\sum_{0\leq m}\frac{(c/b;q)_{2m}}{(q;q)_{2m}}b^{2m}q^{2mn}+\sum_{0\leq m}\frac{(c/b;q)_{2m+1}}{(q;q)_{2m+1}}b^{2m+1}q^{(2m+1)n}\right)\\
&=\frac{(b;q)_{\infty}}{(c;q)_{\infty}}\left(\sum_{0\leq m}\frac{(c/b;q)_{2m}}{(q;q)_{2m}}b^{2m}\sum_{0\leq n}\frac{(a;q^2)_n}{(q^2;q^2)_n}t^nq^{2mn}+\sum_{0\leq m}\frac{(c/b;q)_{2m+1}}{(q;q)_{2m+1}}b^{2m+1}\sum_{0\leq n}\frac{(a;q^2)_n}{(q^2;q^2)_n}t^nq^{(2m+1)n}\right)\\
&=\frac{(b;q)_{\infty}}{(c;q)_{\infty}}\left(\sum_{0\leq m}\frac{(c/b;q)_{2m}}{(q;q)_{2m}}b^{2m}\frac{(atq^{2m};q^2)_{\infty}}{(tq^{2m};q^2)_{\infty}}+\sum_{0\leq m}\frac{(c/b;q)_{2m+1}}{(q;q)_{2m+1}}b^{2m+1}\frac{(atq^{2m+1};q^2)_{\infty}}{(tq^{2m+1};q^2)_{\infty}}\right)\\
&=\frac{(b;q)_{\infty}(at;q^2)_{\infty}}{(c;q)_{\infty}(t;q^2)_{\infty}}\sum_{0\leq m}\frac{(c/b;q)_{2m}(t;q^2)_m}{(q;q)_{2m}(at;q^2)_m}b^{2m}\\
&\qquad+\frac{(b;q)_{\infty}(atq;q^2)_{\infty}}{(c;q)_{\infty}(tq;q^2)_{\infty}}\sum_{0\leq m}\frac{(c/b;q)_{2m+1}(tq;q^2)_m}{(q;q)_{2m+1}(atq;q^2)_m}b^{2m+1}
\end{align}
となって示される.
このように, Heineの変換公式を示す際の$q$二項定理を用いた変形を用いるだけで様々な結果が導かれるのは面白いかもしれない.
