Problem 3-31. Michael Spivak著『Calculus on Manifolds』

$f$は$A$で一様連続であるから、任意の正の実数$\varepsilon$に対して、$|(t^1,\dots,t^n)-(s^1,\dots,s^n)|<\delta\implies|f(t^1,\dots,t^n)-f(s^1,\dots,s^n)|<\frac{\varepsilon}{(x^1-a_1)\times\cdots\times(x^{i-1}-a_{i-1})\times (x^{i+1}-a_{i+1})\times\cdots\times (x^n-a_n)}$となるような正の実数$\delta$が存在する。

$g(t^i)=\int_{[a_1,x^1]\times\cdots\times [a_{i-1},x^{i-1}]\times [a_{i+1},x^{i+1}]\times\cdots\times [a_n,x^n]}f(t^1,\dots,t^{i-1},t^i,t^{i+1},\dots,t^n)\,dt^1\cdots dt^{i-1}dt^{i+1}\cdots dt^n$とする。

$y^i\in (x^i-\delta,x^i+\delta)$とする。
$(t^1,\dots,t^{i-1},t^{i+1},\dots,t^n)\in [a_1,x^1]\times\cdots\times[a_{i-1},x^{i-1}]\times [a_{i+1},x^{i+1}]\times\cdots\times [a_n,x^n]$とする。
このとき、$|f(t^1,\dots,t^{i-1},y^i,t^{i+1},\dots,t^n)-f(t^1,\dots,t^{i-1},x^i,t^{i+1},\dots,t^n)|<\frac{\varepsilon}{(x^1-a_1)\times\cdots\times(x^{i-1}-a_{i-1})\times (x^{i+1}-a_{i+1})\times\cdots\times (x^n-a_n)}$が成り立つ。
よって、$y^i\in (x^i-\delta,x^i+\delta)$ならば、$|g(y^i)-g(x^i)|<\varepsilon$が成り立つ。
よって、$g$は$x^i$で連続である。
Fubiniの定理より、$F(x^1,\dots,x^n)=\int_{a_i}^{x^i}g(t^i)\,dt^i$であり、$g$は$x^i$で連続であるから、$D_iF(x)=g(x^i)$である。