Problem 3-31. Michael Spivak著『Calculus on Manifolds』

$f$は$A$で一様連続であるから、任意の正の実数$\epsilon$に対して、$|(t^1,\dots ,t^n)-(s^1,\dots ,s^n)|<\delta ⟹|f(t^1,\dots ,t^n)-f(s^1,\dots ,s^n)|<\frac{\epsilon }{(x^1-a_1)\times \cdots \times (x^{i-1}-a_{i-1})\times (x^{i+1}-a_{i+1})\times \cdots \times (x^n-a_n)}$となるような正の実数$\delta$が存在する。

$g(t^i)={\int }_{[a_1,x^1]\times \cdots \times [a_{i-1},x^{i-1}]\times [a_{i+1},x^{i+1}]\times \cdots \times [a_n,x^n]}f(t^1,\dots ,t^{i-1},t^i,t^{i+1},\dots ,t^n)d{t}^1\cdots d{t}^{i-1}d{t}^{i+1}\cdots d{t}^n$とする。

$y^i\in (x^i-\delta ,x^i+\delta )$とする。
$(t^1,\dots ,t^{i-1},t^{i+1},\dots ,t^n)\in [a_1,x^1]\times \cdots \times [a_{i-1},x^{i-1}]\times [a_{i+1},x^{i+1}]\times \cdots \times [a_n,x^n]$とする。
このとき、$|f(t^1,\dots ,t^{i-1},y^i,t^{i+1},\dots ,t^n)-f(t^1,\dots ,t^{i-1},x^i,t^{i+1},\dots ,t^n)|<\frac{\epsilon }{(x^1-a_1)\times \cdots \times (x^{i-1}-a_{i-1})\times (x^{i+1}-a_{i+1})\times \cdots \times (x^n-a_n)}$が成り立つ。
よって、$y^i\in (x^i-\delta ,x^i+\delta )$ならば、$|g(y^i)-g(x^i)|<\epsilon$が成り立つ。
よって、$g$は$x^i$で連続である。
Fubiniの定理より、$F(x^1,\dots ,x^n)={\int }_{a_i}^{x^i}g(t^i)d{t}^i$であり、$g$は$x^i$で連続であるから、$D_{i}F(x)=g(x^i)$である。