東大数理院試過去問解答例(2015B01)

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ここでは東大数理の修士課程の院試の2015B01の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。

2015B01

素数 $p$ をとる。ここで ${GL}_{p} (C)$ の部分群 $G$ を二つの行列
$(\begin{matrix} ζ & 0 \\ 0 & I_{p - 1} \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 & 1 \\ I_{p - 1} & 0 \end{matrix})$
で生成される群とする。ただし $ζ := \exp \frac{2 π \sqrt{- 1}}{p}$ であり、 $I_{n}$ は $n \times n$ 単位行列を指す。以下の問いに答えなさい。

$G$ の共役類の個数を求めなさい。
$G$ の複素線型既約表現の次元としてあり得る値を全て挙げ、それを実現するような既約表現の同型類の個数を求めなさい。

以下の解答は致命的な間違いは含んでいないと考えていますが、行列の説明が下手なせいで日本語が非常にわかりづらくなっています。ですので参考にされる際はその点に注意して、いつも以上に慎重に慎重を期して議論を追っていただくと幸いです。

まず成分が全て $1$ の $p$ 乗根であるような $p \times p$ 行列のなす群を $H$ とし、 $a = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ I_{p - 1} & 0 \end{matrix})$ の生成する群を $I$ とおく。このとき $G = H ⋊ I$ である。
まず $H$ 内にある $G$ の共役類について考える。 $H$ の元の $a$ による共役は $(i, i)$ 成分を $(i + 1, i + 1)$ 成分に移動させたものになっている。 $a^{s} h a^{- s} = h$ を満たすような $s \notin p Z$ が存在するような $h \in H$ は定数行列しか存在しない。よって $H$ 内にある $G$ の共役類の個数は、定数行列のみからなる共役類 $p$ 個と、それ以外の元からなる共役類 $\frac{p^{p} - p}{p} = p^{p - 1} - 1$ 個の合計 $p^{p - 1} + p - 1$ 個である。
次に $G ∖ H$ 内にある共役類について考える。まず $G ∖ H$ の元は $0$ でない成分の位置が $I ∖ {1}$ の元のいずれかと同じで、その成分が全て $ζ$ の巾であるような行列 $b$ からなる。ここで $a$ による共役は $b$ の成分を下の行の $0$ でない成分に移した行列を定め、 $H$ の元による共役は $b$ の各成分 $b_{i, i + s}$ に $k_{1, 1 + s} k_{2, 2 + s} \dots k_{p - 1, p - 1 + s} k_{p, p + s} = 1$ を満たすような $k_{i, i + s}$ を掛けた行列を定めるから、 $G ∖ H$ の共役類は、 $0$ でない元の配置とその成分全ての積によって定められる。よって共役類の個数は $p (p - 1)$ である。
以上から $G$ の共役類の個数は $p^{p - 1} + p - 1 + p (p - 1) = p^{p - 1} + p^{2} - 1$ 個である。
まず $1$ 次元表現、つまり指標 $G \to C^{\times}$ の個数を求める。まず $G$ は全ての元の位数が $p$ であることから、 $G$ を生成する二つの元の像の取り方は $p^{2}$ 通りあることと、どのような取り方をしても指標をwel-definedに定めることが従う。よって $G$ の複素線型 $1$ 次元表現が存在し、これを満たす同型類は $p^{2}$ 個ある。
次にそれ以外の表現を考える。まず $G$ の複素線型既約表現の同型類の個数は $G$ の共役類の個数に等しい。よって $G$ の次元 $> 1$ の複素線型既約表現の同型類は(1)と上の議論から $p^{p - 1} - 1$ 個ある。これらの表現の次元を $s_{1}, \dots, s_{p^{p - 1} - 1}$ とする。このとき
$p^{2} + \sum_{i} s_{i}^{2} = | G | = p^{p + 1}$
であることと有限群の複素線型既約表現の次元は有限群の位数を割り切ることから、全ての $i$ について $s_{i} = p$ が従う。
以上をまとめると、

既約表現の次元同型類の個数

$1$ $p^{2}$
$p$ $p^{p - 1} - 1$

である。