ここでは東大数理の修士課程の院試の2015B01の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。
素数$p$をとる。ここで$\mathrm{GL}_p(\mathbb{C})$の部分群$
G$を二つの行列
$$
\begin{pmatrix}
\zeta&0\\
0&I_{p-1}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0&1\\
I_{p-1}&0
\end{pmatrix}
$$
で生成される群とする。ただし$\zeta:=\exp{\frac{2\pi\sqrt{-1}}{p}}$であり、$I_n$は$n\times n$単位行列を指す。以下の問いに答えなさい。
以下の解答は致命的な間違いは含んでいないと考えていますが、行列の説明が下手なせいで日本語が非常にわかりづらくなっています。ですので参考にされる際はその点に注意して、いつも以上に慎重に慎重を期して議論を追っていただくと幸いです。
既約表現の次元 | 同型類の個数 |
---|---|
$1$ | $p^2$ |
$p$ | $p^{p-1}-1$ |