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約数関数とリーマン予想 失敗作

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定義
q(n)=p(1)×p(2)…p(n) p(n)=n番目の素数 γ=オイラー定数

5040<nにおいて、σ₁(n)<n$ e^{γ} $$ \log_{e} $$ \log_{e} $nであることは、リーマン予想が真であることと同値であるらしいが、この等式を否定していきたい。
まず、否定するために、σ₁(q(r))>q(r)$ e^{γ} $$ \log_{e} $$ \log_{e} $q(r)である自然数rが存在することを示せばいい。
そして、$ \frac{σ₁(q(r))}{q(r)} $$ \prod_{i=1}^{r} $(1+$ \frac{1}{p(i)} $)
$\frac{π(q(r))-r+1}{q(r)}=\prod_{i=1}^{r} (1- \frac{1}{p(i)} )$
π(q(n))-n+1$ \approx $$ \frac{q(n)}{ \log_{e}q(n)} $として、上記の二つの式を掛け合わせると、
$ \frac{σ₁(q(r))}{ q(r)\log_{e}q(r)} $$ \approx $$ \prod_{i=1}^{r} $(1-$ \frac{1}{p(i)^{2}} $) $ \prod_{i=1}^{∞} $(1-$ \frac{1}{p(i)^{2}} $)$ \gt $0なので、
つまり$$σ₁(q(r)) \approx q(r)\log_{e}q(r) \prod_{i=1}^{r} (1- \frac{1}{p(i)^{2}} )$$になり、
最初の$$σ₁(q(r))>q(r) e^{γ} \log_{e} \log_{e} q(r)$$
はrを大きくすると真であるので、最初の等式が偽であることが示された。

投稿日:20231113
更新日:20231116

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SK 322
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中学一年です。 趣味は数学です。 よろしくお願いします。

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