約数関数とリーマン予想　失敗作

定義
q(n)=p(1)×p(2)…p(n) p(n)=n番目の素数　γ＝オイラー定数

5040<nにおいて、σ₁(n)<n$e^{\gamma }$${\log }_e$${\log }_e$nであることは、リーマン予想が真であることと同値であるらしいが、この等式を否定していきたい。
まず、否定するために、σ₁(q(r))＞q(r)$e^{\gamma }$${\log }_e$${\log }_e$q(r)である自然数rが存在することを示せばいい。
そして、$\frac{\sigma ₁(q(r))}{q(r)}$＝$\prod _{i=1}^r$(1+$\frac{1}{p(i)}$)
$\frac{\pi (q(r))-r+1}{q(r)}=\prod _{i=1}^r(1-\frac{1}{p(i)})$
π(q(n))-n+1$\approx$$\frac{q(n)}{{\log }_{e}q(n)}$として、上記の二つの式を掛け合わせると、
$\frac{\sigma ₁(q(r))}{q(r){\log }_{e}q(r)}$$\approx$$\prod _{i=1}^r$(1-$\frac{1}{p(i{)}^2}$)　$\prod _{i=1}^{\infty }$(1-$\frac{1}{p(i{)}^2}$)$>$0なので、
つまり$$\sigma ₁(q(r))\approx q(r){\log }_{e}q(r)\prod _{i=1}^r(1-\frac{1}{p(i{)}^2})$$になり、
最初の$$\sigma ₁(q(r))＞q(r)e^{\gamma }{\log }_e{\log }_{e}q(r)$$
はrを大きくすると真であるので、最初の等式が偽であることが示された。