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大学数学基礎解説
文献あり

Wallman型コンパクト化のはなし

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記事をご覧になってくださった皆様、はじめまして。Wathematicaの瀬川という者です。早稲田大学基幹理工学部数学科に在籍しており、今年1年間はWathematicaに入会して一般位相空間論を中心に数学の勉強をしてきました。本記事は、Wathematicaの2024年度Advent Calender( https://wathematica-adv-2024.vercel.app/ ) に寄稿するもので、一般位相空間論の話題から、コンパクト化に就いて気儘に書き綴ってみたいと思います。尚、本稿ではT1-分離公理を常に仮定します。

コンパクト化

コンパクト空間の重要性は周知のことと思います。従って、位相空間はコンパクトであると嬉しいですよね。そこで、与えられた位相空間を色々いじくってコンパクトにする、コンパクト化と呼ばれる手法があります。
例えば、複素平面Cは非常に良い位相的性質を持ちますがコンパクトではないです。そこで、後述するように、無限遠点と呼ばれる点を形式的に付け加えていい感じの位相を入れた1点コンパクト化C{}を考えるんですが、実はこれはコンパクトになることが知られています。これをRiemann球面と呼びます。(一般にRnの1点コンパクト化はSnに同相になります。立体射影を具体的に同相写像として構成すればよいです。)

コンパクト化

位相空間Xに対して、コンパクト空間YXのコンパクト化であるとは、埋め込みh:XYが存在して、(Xh(X)となり、)h(X)Y内稠密である事である。

今回はこのようなコンパクト化に就いていろいろ考えていきます。

1点コンパクト化の構成

先ずは1点コンパクト化に就いて議論しましょう。アイデアとしては、上で述べたように位相空間に無限遠点を形式的に一つ付け加えることに依り、新しく良い感じの位相を入れてコンパクト空間を構成するといった感じです。

Alexandorffの1点コンパクト化

Xを非コンパクト位相空間、Oをその開集合系とする。Xに含まれない元pを取り、αX=X{p}と置く。この時、αX上の開集合系を、O=O{UαXpUαXU}で定めると(αX,O)はコンパクト位相空間になる。

開集合系の3公理を満たしている事とXαXの部分空間になっている事は容易に確認出来るので、実際にコンパクト化であることを見ておきましょう。
αXがコンパクトであることを示す。U=(Uλ)λΛαXの任意の開被覆とする。Λ=Λ1Λ2,Λ1Λ2=で、λΛ1の場合UλXの開集合で、λΛ2の場合αXUλはコンパクトであるとする。UαXの被覆なので或るλ0Λ2に対してpUλとなる。従ってΛである。このUλ0に対してαXUλ0はコンパクトで、特に仮定よりαXUλ0αXλΛUλとなるので、有限個のλ1,,λnλが存在してαXj=1nUλjUλ0となり、これは与えられた開被覆の有限部分被覆である。従ってαXはコンパクトである。
最後に稠密である事を示す。pの任意の開近傍Uを取ったときにαXUはコンパクトであるが、XはコンパクトでないのでXαXUである。従ってXUとなるのでXαX内稠密。
こうして構成出来たαXT2-分離公理を満たす為の必要十分条件を見ておきましょう。

位相空間Xの1点コンパクト化αXT2コンパクト化である為の必要十分条件は、Xが局所コンパクト且つT2-分離公理を満足するであることである。

(必要性)
αXT2-分離公理を満たすとする。この時、任意のxXに対してxU,pV,UV=となる開集合U,Vが存在する。この時XVαXの位相の入れ方よりコンパクトであり、xの近傍なのでXは局所コンパクトである。
(十分性)
Xが局所コンパクト且つT2-分離公理を満たすとする。相異なる2点x,yαXを任意に取る。
x,yXの場合、xU,yV,UV=となる開集合U,VXが存在するが、αXの位相の入れ方からこれはαXに於ける開集合でもある。
y=pの場合、Xの局所コンパクト性から、Xに於けるxの開近傍W及びXのコンパクト集合Kが存在し、xWKとなる。この時XKpの開近傍であり、W(XK)=を満たす。これらはαXに於ける開集合である。
従ってαXXT2-コンパクト化である。

Stone–Čechコンパクト化の構成

完全正則空間の特徴づけ

まずは完全正則空間のT2コンパクト化を用いた特徴づけを与えましょう。非常に面白い命題です。

完全正則空間

位相空間Xが完全正則(completely regular)である或いはT312-分離公理を満たすとは、任意のxX及びxを含まない閉集合Fに対して、f(x)=0且つf(F){1}を満たす連続函数f:X[0,1]が存在することである。

パッと見で分かるようにUrysohnに似ていますね。というかT4で成り立つんだったらT3とかでも成り立つんじゃね?っていう気持ちで当時研究を進めてみたらT3だけどT312じゃない空間が登場してきたのでこういう分離公理を考えたんだと思います。(反例にはTychonoff's corkskrewと呼ばれるものがあります。1とかを見てください。)後述するように初期のTychonoffは位相空間の立方体への埋め込みを研究していたようで、([0,1]の直積空間のこと。)そこからかの有名なTychonoffの定理も出てきたようです。
さて、完全正則空間は以下に述べるように実はコンパクト化と非常に密接な関係があります。唐突ですがそのために必要な補題を一つ述べておきます。

埋蔵補題

位相空間の族{YλλΛ}の直積空間をYとする。この時、T1-空間XからYλへの連続写像fλC(X,Yλ)が存在し、任意のxXxを含まない閉集合FXに対してfλ(x)ClYλfλ(F)を満たすとき、h:XYは埋蔵である。但し、h(x)=(fλ(x))λλである。

証明は2を参照して下さい。この補題は結構便利です!

完全正則空間の特徴付け

位相空間Xが完全正則である為の必要十分条件は、XT2コンパクト化bXを持つ事である。

(必要性)
w(X)Xの位相濃度とせよ。即ち、w(X)=min{CardBBX}である。この時、XIw(X)の或る部分空間に同相であることを示そう。
今、CardBw(X)を満たす開基Bが存在する。Xの開基の要素の組(U,V)B×Bであって、f(U)[0,12],f(XV){1}を満たすものの全体をΛとする。各(U,V)Λに対して条件を満たす連続写像をf(U,V)とする。
xXxを含まない閉集合Fをそれぞれ任意に取る。この時或るVBが存在して、xVXFとなる。今、Xが完全正則であることより、g(x)=0,g(XV){1}を満たす連続写像gC(X,I)が存在する。g1([0,12))xの開近傍なので、或るUBが存在してxUg1([0,12))となる。この時(U,V)Λなのでf(U,V)(x)12且つf(U,V)(F){1}を満たす。従ってf(U,V)(x)ClIf(U,V)(F)を満たすので、補題1から埋蔵写像h:XIΛが存在する。又CardΛw(X)なので埋蔵写像i:IΛIw(X)を構成できる。以上より、埋蔵ih:XIw(X)が構成出来た。
さて、Tychonoffの定理よりIw(X)はコンパクトであり、T2-分離公理を満たす空間の直積空間も積位相でT2-分離公理を満足するので、埋蔵写像ih:XIw(X)に依る像(i)h(X)の閉包ClIw(X)(ih)(X)はコンパクトT2空間になる。これが所望のコンパクト化である。
(十分性)
bXT2且つコンパクトならば正規であり、特に完全正則である。又、xXに対して{x}bXの閉集合である。今XbXの部分空間と見做せるので完全正則である。従ってUrysohnの補題より完全正則であることが分かる。

従って、前節に述べたことから次が成り立ちます。

局所コンパクトHausdorff空間は完全正則。

Xが局所コンパクトHausdorffならば、Xの1点コンパクト化αXT2なので定理1より従う。

後、定理3の副産物としては、T4-分離公理は部分空間に必ずしも受け継がれるわけではないことが簡単に分かります。例えばSorgenfrey平面Sは完全正則なのでIw(S)に埋蔵出来ます。しかし、正規空間Iw(S)に対してその部分空間であるSは正規空間ではないです。(Iw(S)が正規であることはコンパクト且つT2であるからですね。)これもTychonoffの板と同じくT4だがT5でない空間の例です。

Stone–Čechコンパクト化

では実際に完全正則空間のStone–Čechコンパクト化を構成します。XのStone–Čechコンパクト化βXは、めちゃくちゃ大きくて、X上の有界連続函数をβX全体に連続的に有界性を保って拡張できるという性質で特徴づけることができます。(このような性質をジェネトポの文脈だとC拡張的であると言ったりします。)ここで、必要な補題を一つ述べておきます。

位相空間Xとその稠密な部分集合Aに対して、以下の4条件は同値。
(1)Aの任意の交わらないゼロ集合Z0,Z1に対してClXZ0ClXZ1=
(2)任意のコンパクトT2-空間Yに対して、任意のfC(A,Y)は或るgC(X,Y)へ拡張される
(3)任意のfC(A,I)は或るgC(X,I)へ拡張される
(4)AX内に於いてC拡張性を持つ

これも証明は2を参照してください。Tietzeの拡張定理の証明から出てきます。

Stone–Čechコンパクト化の存在

完全正則空間Xに対し、Xのコンパクト化βXであって、XβX内でC拡張性を持つものが存在する。

C(X,I)={fλλΛ}としておく。Xの完全正則性から、任意のxXxを含まない閉集合FXに対し、fλ(x)ClIfλ(F)となるλΛが存在する。従って補題2より対角写像h:XIΛは埋蔵である。βX=ClIλh(X)と置くと、βXはコンパクトT2-空間の閉部分集合なので、XT2-コンパクト化である。
βXC拡張的であることを示す。fC(X,I)を任意に取ると、或るλΛが存在してf=fλである。この時f=prλhであるからg=prλ|βXと置くと、Xh(X)を同一視した上でf=gXが成り立つ。従ってfgC(βX,I)へ拡張されるので、補題5よりXβXC拡張性を持つ。

Stone–Čechコンパクト化

βXXStone–Čechコンパクト化(Stone–Čech compactification)と呼ぶ。

Stone–Čechコンパクト化がT2コンパクト化のうち、包含関係で最大元であることを示しましょう。

X,Yを完全正則空間とする。YT2コンパクト化bYと任意のfC(X,Y)に対してf|X=gを満たす連続写像gC(βX,bY)が一意に存在する。fが全射ならばgも全射であるようにとれる。

埋蔵を考えてfC(X,bY)であるとして良い。bYはコンパクトなのでStone–Čechコンパクト化の定義より、fgC(βX,bY)に拡張される。(補題2を用いた。)又、βXT2-分離公理を満たすので、このような拡張は一意的である。
後半の主張を示そう。fが全射ならばY=f(X)g(βX)bYであり、g(βX)はコンパクト空間の連続像なのでコンパクト。従ってg(βX)T2-空間bYに於ける閉集合である。YbY内稠密なので、bYClbYYClbYg(βX)=g(βX)bY従ってg(βX)=bYとなるのでgも全射。

定理7を恒等写像に用いればStone-Čechコンパクト化の一意性が分かります。

完全正則空間Xが2つのStone-Čechコンパクト化β1X,β2Xを持ったとする。この時同相写像f:β1Xβ2Xであってf|X=idXを満たすものが存在する。

以上の議論を踏まえると、完全正則空間XT2コンパクト化の全体をK(X)とする時、γX,δXK(X)に対してf|X=idXとなる連続写像fC(δX,γX)が存在する時、γXδXと定義するとは順序を定め、γXδXγXδX且つδXγXであると定義すれば、商集合(K(X)/,)にも自然に順序が入り、その最大元がβXになります。若しXが局所コンパクトなのであればαXが最小元になります。(αXγXβXとなる元γXがどういった挙動をするのか全く知らないので、詳しい方がいれば教えていただきたいです。後は、個人的にはαX=βXとなる空間Xのクラスが決定されているのかも気になります。例えばTychonoffの板とか長い直線は1点コンパクト化とStone--Čechコンパクト化が一致します。)

Stone-Čechコンパクト化がこんな感じで良い普遍性を満たしている理由としては、圏論的な意味合いがあります。CptHausをコンパクトT2-空間の圏とする時、忘却函手U:CptHausTopの左随伴がStone-Čechコンパクト化になります。これの余単位が、各位相空間XからβXへの埋め込みになります。(左随伴が存在することを示すには一般随伴函手定理というものを使います。適当な圏論の教科書を見てください。)
Stone-Čechコンパクト化の具体例などは1とか2を参照して下さい。濃度が220とかになったりして、物凄く大きくなってて凄いです。

ちょっと休憩

ここらへんで皆さん疲れてきたと思うのでちょっと宣伝させてください。Wathematicaの2024年度のAdvent Calenderなんですが見てもらえば分かるように1年生もたくさん記事を書いてくれていて、しかもみんなクオリティが高いです。(自分の記事なんて彼らのものとは比べられないくらい拙い出来です、、、)
その中でもとりわけオススメの記事が、12月6日の生ポテト君(@rowpotato)の記事です。彼もジェネトポの記事を書いていて、所謂BNSの距離化可能定理に就いて証明しています。(リンクはこちら→ https://note.com/namapotato_3157/n/nf3215d2302b2 )彼とは普段よく一緒にゼミをするのですが、一般位相空間論をはじめとして数学に対する造詣が恐ろしく深く、後輩と思えないくらいの実力者です。(いつもありがとうね。)自分が紹介するのは恐れ多いのですが、併せて読むととても面白いと思うので、皆さんも位相空間と戯れながらクリスマスを迎えましょう!!

Wallman型コンパクト化の構成

さて、ここまではStone-Čechコンパクト化を有界連続函数に依る特徴づけからIの直積に埋め込むことで構成しましたが、実はフィルターを用いた別の構成法があります。取り敢えずフィルターの定義から見ていきましょう。

フィルター

Xを空でない集合とする。部分集合族F2Xフィルター(より正確には、真のフィルター)であるとは、以下の3条件を満たすこととする。
(1)F
(2)A,BFABF
(3)AF,ABBF

例えば位相空間に於いて近傍系はフィルターを成します。(コンパクト性はフィルターを用いて特徴づけることができたり、フィルターは位相空間論では非常に有用な概念なんですがここでは深くは触れません。)後はBoole代数とかでイデアルの双対概念になっていたりします。(一般に半順序集合上で定義できる概念です。)

極大フィルター

フィルターF極大フィルターであるとは、FGなるフィルターGが存在しないことである。

極大フィルターは確かに存在します。これはZorn(Tukey)の補題より明らかにわかります。(或るフィルターより細かいフィルターの全体が帰納的順序集合になる事を示す。)

正規基底

位相空間Xの部分集合族L2X正規基底であるとは、以下の条件を満たすことである。
(1),XL
(2)LXの閉基を成す。
(3)A,BLAB,ABL
(4)任意のALと任意のxXAに対して、或るBLが存在してxB且つAB=を満たす。
(5)A,BLAB=を満たすならば、或るC,DLが存在してCD=X且つAC=且つBD=を満たす。

以下、Xは完全正則であるとし、Lをその正規基底、L上のフィルターであって極大なもの全体の集合をwXと記すことにします。このwXが今回我々が扱いたいWallman型コンパクト化というものです。じゃあ位相はどうやって入れるんだ?っていうのが問題になるんですが、次のようにします。
OXを開集合とするとき、O(O)={FwXFLs.t.FOF}と置き、{O(O)XOL}の生成する位相をwXに入れます。この時wXXのコンパクト化になっていることを確かめましょう。

Wallman型コンパクト化の存在

wXXT2コンパクト化である。

xXに対してξx={FLxF}とする。ξxL上の極大フィルターになるのでξxwXである。このとき写像xξxがコンパクト化を与えることを示す。
XOLに対して、xOならばXOξxだからxO(O)であり、xOならば正規基底の定義からXOに対してそれと交わらないxFLが存在するのでxO(O)である。従ってO(O)X=Oが成り立つ。従ってXwXの部分空間と見做すことができて、特にXwX内稠密であることが分かった。
次にwXT2-分離公理を満たすことを確認する。相異なる2点ξ,ξwXを取る。この時、或るF1ξ,F2ξに対してF1F2=である。Lが正規基底であることより、G,HLが存在してX=GH且つGF1=HF2=となる。この時ξO(XG)且つξO(XH)となり、O(XG)O(XH)=O((XG)(XH))=O()=であるからT2-分離公理を満足する。
最後にwXのコンパクト性を示す。その為に、wXの有限交叉的な閉集合族Aを任意に取る。この時、G={FLAAs.t.AClwXF}と置くと、これは有限交叉性を持つ。実際、FG=なるF,GLを取り、ξwXを任意に取ると、Fξ或いはGξとなるので、ξの極大性からξO(XF)O(XG)であるので、ClwXFClwXG=となり有限交差的である。従って、Gを含む極大フィルターξが取れて、この時AClwXFとなる任意のFLに対してξClwXFであるからξA即ちAなのでAは有限交叉性を持つ。従ってwXはコンパクトである。
以上より、wXXT2-コンパクト化であることが示された。

以上の証明では、コンパクト性の特徴づけの一つである、「任意の有限交叉的な閉集合族の共通部分は空でない」を用いました。

Wallman型コンパクト化

完全正則空間Xに対してwXWallman型コンパクト化という。

最後にStone–Čechコンパクト化がWallman型コンパクト化であることを見て終わりにします。ここで、ABXとは、或る連続写像fC(X,I)が存在して、f(A)={0},f(XB)={1}となることとします。

完全正則空間Xに対してβXはWallman型コンパクト化である。

ZXに於ける全てのゼロ集合の族とするとき、Zは正規基底になる。Zから構成されるWallmanコンパクト化wXが最大コンパクト化であることを示せば良い。
ABXとすると、Z1,Z2Zが存在してAZ1,XBZ2,Z1Z2=を満たす。この時正規基底の定義より
ClwXAClwXZ1=wXO(XZ1)O(XZ2)=wXClwXZ2wXClwX(XB)
即ちClwXAClwX(XB)=となる。
この時wX=βXとなる事を示す。定理7の議論から、idX:XXの連続拡張f:βXwXであってf|X=idXを満たすものが存在する。特にfは全射である。今、fが単射であることを示せば良い。そうすれば、fはコンパクト空間βXからT2-空間wXへの連続な全単射となり同相写像になるからである。
fが単射でないと仮定して矛盾を導く。この時、相異なる2x,yβXf(x)=f(y)となるものが存在する。βXは完全正則なので、gC(βX,I)g(x)=0且つg(y)=1となるように取れる。ここで
A={xXg(x)13},B={xXg(x)13}
と置くと、AXBであるから、上の議論からClwXAClwXB=となる。f(x)wXに於ける開近傍Vを任意に取る。fの連続性からf1(V)xβXに於ける開近傍であり、特にg(x)=0なので或るzf1(V)X=VX(f|X=idX)が存在してg(z)<13となる。ここにgの連続性を用いた。これよりzVAなのでVAである。即ちf(x)ClwXAとなる。全く同様にしてf(x)ClwXBが言えるが、これはClwXAClwXB=に矛盾する。
以上から、Stone–Čechコンパクト化はWallman型コンパクト化であることが分かった。

おわりに

ここまで読んでくださりありがとうございました!Mathlogでの処女作ともなりましたが、今後も位相空間論の記事を書いていければと思います。Wathematicaアドベントカレンダー、まだまだ続きますのでほかの方の記事も是非ご覧くださいね!

参考文献

[1]
児玉之宏、永見啓応, 位相空間論, 岩波書店, 1974
[2]
太田春外, 深めよう位相空間, 日本評論社, 2023
[3]
Leonald Gillman,Meyer Jerison, Rings of Continuous Functions, Dover Publications, 2017
[4]
Russel C.Walker , The Stone-Čech Compactification, Springer-Verlag, 1974
投稿日:20241211
更新日:222
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空間論勢

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  1. コンパクト化
  2. 1点コンパクト化の構成
  3. Stone–Čechコンパクト化の構成
  4. ちょっと休憩
  5. Wallman型コンパクト化の構成
  6. おわりに
  7. 参考文献