Wallman型コンパクト化のはなし

(必要性)
$\alpha X$が$T_2$-分離公理を満たすとする。この時、任意の$x\in X$に対して$x\in U,p_{\infty}\in V,U\cap V=\emptyset$となる開集合$U,V$が存在する。この時$X\setminus V$は$\alpha X$の位相の入れ方よりコンパクトであり、$x$の近傍なので$X$は局所コンパクトである。
(十分性)
$X$が局所コンパクト且つ$T_2$-分離公理を満たすとする。相異なる2点$x,y\in\alpha X$を任意に取る。
$x,y\in X$の場合、$x\in U,y\in V,U\cap V=\emptyset$となる開集合$U,V\subset X$が存在するが、$\alpha X$の位相の入れ方からこれは$\alpha X$に於ける開集合でもある。
$y=p_{\infty}$の場合、$X$の局所コンパクト性から、$X$に於ける$x$の開近傍$W$及び$X$のコンパクト集合$K$が存在し、$x\in W\subseteq K$となる。この時$X\setminus K$は$p_{\infty}$の開近傍であり、$W\cap(X\setminus K)=\emptyset$を満たす。これらは$\alpha X$に於ける開集合である。
従って$\alpha X$は$X$の$T_2$-コンパクト化である。

(必要性)
$w(X)$を$X$の位相濃度とせよ。即ち、$w(X)=\min\{\mathrm{Card}\mathcal{B}\mid\mathcal{B}はXの開基\}$である。この時、$X$は$I^{w(X)}$の或る部分空間に同相であることを示そう。
今、$\mathrm{Card}\mathcal{B}\leq w(X)$を満たす開基$\mathcal{B}$が存在する。$X$の開基の要素の組$(U,V)\in\mathcal{B}\times\mathcal{B}$であって、$f(U)\subset[0,\frac{1}{2}],f(X\setminus V)\subset\{1\}$を満たすものの全体を$\Lambda$とする。各$(U,V)\in\Lambda$に対して条件を満たす連続写像を$f_{(U,V)}$とする。
$x\in X$と$x$を含まない閉集合$F$をそれぞれ任意に取る。この時或る$V\in\mathcal{B}$が存在して、$x\in V\subset X\setminus F$となる。今、$X$が完全正則であることより、$g(x)=0,g(X\setminus V)\subset\{1\}$を満たす連続写像$g\in C(X,I)$が存在する。$g^{-1}([0,\frac{1}{2}))$は$x$の開近傍なので、或る$U\in\mathcal{B}$が存在して$x\in U\subset g^{-1}([0,\frac{1}{2}))$となる。この時$(U,V)\in\Lambda$なので$f_{(U,V)}(x)\leq\frac{1}{2}$且つ$f_{(U,V)}(F)\subset\{1\}$を満たす。従って$f_{(U,V)}(x)\notin\mathrm{Cl}_If_{(U,V)}(F)$を満たすので、補題1から埋蔵写像$h:X\hookrightarrow I^{\Lambda}$が存在する。又$\mathrm{Card}\Lambda\leq w(X)$なので埋蔵写像$i:I^{\Lambda}\hookrightarrow I^{w(X)}$を構成できる。以上より、埋蔵$i\circ h:X\hookrightarrow I^{w(X)}$が構成出来た。
さて、Tychonoffの定理より$I^{w(X)}$はコンパクトであり、$T_2$-分離公理を満たす空間の直積空間も積位相で$T_2$-分離公理を満足するので、埋蔵写像$i\circ h:X\hookrightarrow I^{w(X)}$に依る像$(i\circ)h(X)$の閉包$\mathrm{Cl}_{I^{w(X)}}(i\circ h)(X)$はコンパクト$ T_2$空間になる。これが所望のコンパクト化である。
(十分性)
$bX$が$T_2$且つコンパクトならば正規であり、特に完全正則である。又、$x\in X$に対して$\{x\}$は$bX$の閉集合である。今$X$は$bX$の部分空間と見做せるので完全正則である。従ってUrysohnの補題より完全正則であることが分かる。

$X$が局所コンパクトHausdorffならば、$X$の1点コンパクト化$\alpha X$は$T_2$なので定理1より従う。

$C(X,I)=\{f_{\lambda}\mid\lambda\in\Lambda\}$としておく。$X$の完全正則性から、任意の$x\in X$と$x$を含まない閉集合$F\subset X$に対し、$f_{\lambda}(x)\notin\mathrm{Cl}_If_{\lambda}(F)$となる$\lambda\in\Lambda$が存在する。従って補題2より対角写像$h:X\to I^{\Lambda}$は埋蔵である。$\beta X=\mathrm{Cl}_{I^{\lambda}}h(X)$と置くと、$\beta X$はコンパクト$T_2$-空間の閉部分集合なので、$X$の$T_2$-コンパクト化である。
$\beta X$が$C^{\ast}$拡張的であることを示す。$f\in C(X,I)$を任意に取ると、或る$\lambda\in\Lambda$が存在して$f=f_{\lambda}$である。この時$f=\mathrm{pr}_{\lambda}\circ h$であるから$g=\mathrm{pr}_{\lambda}|_{\beta X}$と置くと、$X$と$h(X)$を同一視した上で$f=g_X$が成り立つ。従って$f$は$g\in C(\beta X,I)$へ拡張されるので、補題5より$X$は$\beta X$内$C^{\ast}$拡張性を持つ。

埋蔵を考えて$f\in C(X,bY)$であるとして良い。$bY$はコンパクトなのでStone–Čechコンパクト化の定義より、$f$は$g\in C(\beta X,bY)$に拡張される。(補題2を用いた。)又、$\beta X$は$T_2$-分離公理を満たすので、このような拡張は一意的である。
後半の主張を示そう。$f$が全射ならば$Y=f(X)\subseteq g(\beta X)\subseteq bY$であり、$g(\beta X)$はコンパクト空間の連続像なのでコンパクト。従って$g(\beta X)$は$T_2$-空間$bY$に於ける閉集合である。$Y$は$bY$内稠密なので、$bY\subseteq \mathrm{Cl}_{bY}Y\subseteq \mathrm{Cl}_{bY}g(\beta X)=g(\beta X)\subseteq bY$従って$g(\beta X)=bY$となるので$g$も全射。

各$x\in X$に対して$\xi_x=\{F\in\mathcal{L}\mid x\in F\}$とする。$\xi_x$は$\mathcal{L}$上の極大フィルターになるので$\xi_x\in wX$である。このとき写像$x\mapsto \xi_x$がコンパクト化を与えることを示す。
$X\setminus O\in\mathcal{L}$に対して、$x\notin O$ならば$X\setminus O\in\xi_x$だから$x\notin\mathfrak{O}(O)$であり、$x\in O$ならば正規基底の定義から$X\setminus O$に対してそれと交わらない$x\in F\in\mathcal{L}$が存在するので$x\in \mathfrak{O}(O)$である。従って$\mathfrak{O}(O)\cap X=O$が成り立つ。従って$X$は$wX$の部分空間と見做すことができて、特に$X$は$wX$内稠密であることが分かった。
次に$wX$が$T_2$-分離公理を満たすことを確認する。相異なる2点$\xi,\xi'\in wX$を取る。この時、或る$F_1\in\xi,F_2\in\xi'$に対して$F_1\cap F_2=\emptyset$である。$\mathcal{L}$が正規基底であることより、$G,H\in\mathcal{L}$が存在して$X=G\cup H$且つ$G\cap F_1=H\cap F_2=\emptyset$となる。この時$\xi\in\mathfrak{O}(X\setminus G)$且つ$\xi'\in\mathfrak{O}(X\setminus H)$となり、$\mathfrak{O}(X\setminus G)\cap\mathfrak{O}(X\setminus H)=\mathfrak{O}((X\setminus G)\cup(X\setminus H))=\mathfrak{O}(\emptyset)=\emptyset$であるから$T_2$-分離公理を満足する。
最後に$wX$のコンパクト性を示す。その為に、$wX$の有限交叉的な閉集合族$\mathcal{A}$を任意に取る。この時、$\mathcal{G}=\{F\in\mathcal{L}\mid\exists A\in\mathcal{A}\mathrm{s.t.}A\subset\mathrm{Cl}_{wX}F\}$と置くと、これは有限交叉性を持つ。実際、$F\cap G=\emptyset$なる$F,G\in\mathcal{L}$を取り、$\xi\in wX$を任意に取ると、$F\notin\xi$或いは$G\notin\xi$となるので、$\xi$の極大性から$\xi\in\mathfrak{O}(X\setminus F)\cup\mathfrak{O}(X\setminus G)$であるので、$\mathrm{Cl}_{wX}F\cap\mathrm{Cl}_{wX}G=\emptyset$となり有限交差的である。従って、$\mathcal{G}$を含む極大フィルター$\xi'$が取れて、この時$A\subset\mathrm{Cl}_{wX}F$となる任意の$F\in\mathcal{L}$に対して$\xi\in\mathrm{Cl}_{wX}F$であるから$\xi\in A$即ち$\displaystyle\bigcap\mathcal{A}\neq\emptyset$なので$\mathcal{A}$は有限交叉性を持つ。従って$wX$はコンパクトである。
以上より、$wX$は$X$の$T_2$-コンパクト化であることが示された。

$\mathcal{Z}$を$X$に於ける全てのゼロ集合の族とするとき、$\mathcal{Z}$は正規基底になる。$\mathcal{Z}$から構成されるWallmanコンパクト化$wX$が最大コンパクト化であることを示せば良い。
$A\Subset B\subset X$とすると、$Z_1,Z_2\in\mathcal{Z}$が存在して$A\subset Z_1,X\setminus B\subset Z_2,Z_1\cap Z_2=\emptyset$を満たす。この時正規基底の定義より
$\mathrm{Cl}_{wX}A\subset\mathrm{Cl}_{wX}Z_1=wX\setminus O(X\setminus Z_1)\subset O(X\setminus Z_2)=wX\setminus\mathrm{Cl}_{wX}Z_2\subset wX\setminus\mathrm{Cl}_{wX}(X\setminus B)$
即ち$\mathrm{Cl}_{wX}A\cap\mathrm{Cl}_{wX}(X\setminus B)=\emptyset$となる。
この時$wX=\beta X$となる事を示す。定理7の議論から、$\mathrm{id}_X:X\to X$の連続拡張$f:\beta X\to wX$であって$ f|_X=\mathrm{id}_X$を満たすものが存在する。特に$f$は全射である。今、$f$が単射であることを示せば良い。そうすれば、$f$はコンパクト空間$\beta X$から$T_2$-空間$wX$への連続な全単射となり同相写像になるからである。
$f$が単射でないと仮定して矛盾を導く。この時、相異なる$2$点$x,y\in\beta X$で$f(x)=f(y)$となるものが存在する。$\beta X$は完全正則なので、$g\in C(\beta X,I)$を$ g(x)=0$且つ$g(y)=1$となるように取れる。ここで
$A'=\{x\in X\mid g(x)\leq\frac{1}{3}\},B'=\{x\in X\mid g(x)\geq\frac{1}{3}\}$
と置くと、$A'\Subset X\setminus B'$であるから、上の議論から$\mathrm{Cl}_{wX}A'\cap\mathrm{Cl}_{wX}B'=\emptyset$となる。$f(x)$の$wX$に於ける開近傍$V$を任意に取る。$f$の連続性から$f^{-1}(V)$は$x$の$\beta X$に於ける開近傍であり、特に$g(x)=0$なので或る$z\in f^{-1}(V)\cap X=V\cap X(\because f|X=\mathrm{id}_X)$が存在して$g(z)<\frac{1}{3}$となる。ここに$g$の連続性を用いた。これより$z\in V\cap A'$なので$V\cap A'\neq\emptyset$である。即ち$f(x)\in\mathrm{Cl}_{wX}A'$となる。全く同様にして$f(x)\in\mathrm{Cl}_{wX}B'$が言えるが、これは$\mathrm{Cl}_{wX}A'\cap\mathrm{Cl}_{wX}B'=\emptyset$に矛盾する。
以上から、Stone–Čechコンパクト化はWallman型コンパクト化であることが分かった。