レート色・BLACKが語る！Integralisの勉強法 〜Basic 初心者層〜
編集中のため、未完成です。
こんにちは、Gagohです。
皆さんは競技積分「Integralis」というサイトを御存知です(断定)
流石に説明不要ですよね？？？？？
さて、本題に移りましょう。ここでは、
もっとRateをあげていきたい！
というような人のために、勉強法を綴っていきたいと思います。是非参加時にお役立てください。
2.0 前回の粗筋
前回では、RateがNone,Jadeの人に向けて、記事を書きました。
ここにいる人ならできていると思いますが、Difficulty 3 を8分以内に正解できる、これが目標でした。
2.1 Basic Rate Cyan
この帯になると、Difficulty 1 ~ 3が解けるようになっていると思います。しかし、解けると言っても安定して解けるとは異なります。Difficulty 3 以下が正解できなければ、Rateが落ちる可能性もあります。
そのため、Rateを上げるという観点で見ればDifficulty 3 がほぼ100%できるようになりましょう。さらに、Difficulty 4,5 が解けるようになるくらいのレベルを目指しましょう。
このレベル帯になったら、IBCにも参加してみましょう。IFHSとIBCの違いは高校範囲内で収まっているかそうでないか以上なので、Difficulty表記のルールは変わりません。
優先的に覚えるべきなのは、広義積分です。極限を取るという新たな手間が一つ増えます。極限の勉強も並行して解いていきましょう。(2.1.3.B章へ)
中級者層(Violet)は普通はIFHSだけではRateがなかなか上がらないのでやる羽目になるのですから、前もってやっておくとなにかといいことがあるでしょう。
このRate帯になると、気にしないといけないことが格段に増えます。一番は、Rating Systemに関連する内容でしょうか。(2.1.1章へ)
2.1.1 Rating Systemとは？
IntegralisのRating Syatemは非常に独特です。私もよくわかってないところはあるのですが、腰を据えて解説しておきます。
Performanceとは、参加したコンテストの成績を表す数値のこと。
Performanceには、順位Performanceと問題別Performanceの２つがあり、その合計値をRaw Performanceとして結果に記している。
そのまま、問題のDifficulty * 100を得点とし、解けた問題の得点の合計になるもの。難しい問題を解けばその分問題別Peformanceが上がる。
ちなみに、順位Peformanceは計算方法が難しく、明らかにはされていませんが秘密データによりお伝えします。
簡単に言えば、自分の今回のPeformanceと他の人のPeformanceを比較して、同じくらいのPeformanceを獲得している人のRateの平均値に近づける、というものである。
参加人数によって、最大変動率は変わり、そのmaxは25%である。
Raw Peformance $=$ 順位Peformance $+$ 問題別Peformance
Normal Calculate：
新Rate $=$ 22%$\times$(Raw Peformance $-$ 旧Rate)
Placement Calculate：
新Rate $=$ 50%$\times$(問題別Peformance $-$ 旧Rate)
定理4での、Normal Calculateにおいて、基本追従率は22%であるが、現在のRateよりも圧倒的に難易度の高い積分を複数解くことで、追従率が上昇方向へ変化し、最大33%になる。
最高正解Difficultyに応じて、上方向のPerformanceには天井がある。
Rateを伸ばすためには、その分高Difficultyの問題を攻略しなければならない。
難しいですね。簡単に言うと、高Rateになるためには攻略した時間はあまり関係なく、高Difficultyの問題を安定して解くことが必要であるということです。
順位を狙う以外については間違えることにあまりマイナスな点はありません。そのため、高Difficultyの問題は、じっくり考え、間違えてもいいから、CAするまで粘るという攻略が最適なようです。もちろん、その前の問題は全問正解した前提です。
2.1.2 難易度：Difficulty 4 ~ 5
りーるる さんの記事によると、
複数の変形を組み合わせる必要があり、解法の発見にもある程度の工夫が必要となる問題です。
とのこと。この難易度になってくると、式変形がとても重要になります。また、その式変形も特殊なものや閃きを要するものが多いです。コンテスト時間以外に時間については気にしなくても良いので、どの部分が怪しいか、置換積分や部分積分をすることでどの項が簡単になりそうかを研究する感じになるはずです。パターン演習も効果抜群です。Difficulty 1 ~ 3 を再度研究することで掴めるでしょう。
習うより慣れろ。先人様の名言もありますからね。
2.1.3.A 重要定理など
$n \geq1 $とする。$f(x),g(x)$は$[a,b]$の範囲で$C^n$級とするとき、以下の公式が成り立つ。
$$\int_a^b f(x)g^{(n)}(x)\,dx = \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k [{f^{(k)}(x)g^{(n-k-1)}(x)}]_a^b + (-1)^n\int_a^b f^{(n)}(x)g(x)\,dx$$
$$\int x f(x,\sqrt{x^2+1}),dx$$の形であれば、$t=\sqrt{1+x^2}$
$$\int f(x,\sqrt{x^2+1}),dx$$の形であれば$x=\tan \theta ,x=\dfrac{1}{\tan \theta},x=\sinh t,x=\dfrac{1}{\sinh t}$の置換積分によって処理ができる。
$f(x)$は$[a,b]$上でRiemann積分可能であるとする。このとき、対称に関する以下の等式が成り立つ。
$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(a+b-x)dx$$
無限に続く部分をyとおき、方程式$y=f(x,y)$を立てることで、$y=f(x)$の式を新たに作り、代入することで解ける。
有名な例は
$$\int \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\cdots}}}dx$$
だろう。
$$y=\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\cdots}}}$$
とおいて、
$$y=\sqrt{x+y}$$
を解けば良い。
$$\int\frac{1}{x^2+px+q}\,dx=\frac{2}{\sqrt{4q-p^2}}\arctan\frac{2x+p}{\sqrt{4q-p^2}} \quad(4q-p^2>0)$$
積分定数$C$は省略
床関数の定義により、任意の整数$k$を用いて、
$$k \leq x< k+1\Longrightarrow \lfloor x \rfloor =k$$
と表せる。この定義を用いることで実数全体で定義された床関数が、半開区間 $[k,k+1)$ においては値 $k$ をとる定数関数として振る舞う事がわかる。
よって、以下の定積分は区間を分けて総和を用いることで置き換えられる。
$$\int_{0}^{n} \lfloor x \rfloor dx = \sum_{k=0}^{n-1}\int_{k}^{k+1} \lfloor x \rfloor dx = \sum_{k=0}^{n-1}\int_{k}^{k+1} k dx = \sum_{k=0}^{n-1} k$$
この類の積分は区間分けがとても重要である。
$x^2-3x+1$みたいな、相反多項式が積分内に存在するとき、
$$t=x-\frac1x$$
の置換積分でなんとかなりやすい。相反方程式という問題を解くと分かる。
$$\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2}$$
$$\arctan x+\arctan (\frac{1}{x})=\frac{\pi}{2} \qquad(x>0)$$
$$\arcsin (-x)=-\arcsin x ,\arccos (-x)=\pi -\arccos x,\arctan (-x)=-\arctan x$$
$$\cosh^2 x-\sinh^2 x=1,1-\tanh^2 x=\sech^2 x$$
$$\int\sinh x\,dx=\cosh x$$
$$\int\cosh x\,dx=\sinh x$$
$$\int\sech^2x\,dx=\tanh x$$
$$\int\csch^2x\,dx=-\coth x$$
$$\int\tanh x\,dx=\ln(\cosh x)$$
$$\int\coth x\,dx=\ln|\sinh x|$$
$$\int\sech x\,dx=\arctan(\sinh x)$$
$$\int\csch x\,dx=\ln\left|\tanh\frac{x}{2}\right|$$
積分定数$C$は省略しています
$$\frac{d}{dx}\operatorname{arsinh}x=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\qquad(x\in \mathbb{R} )$$
$$\frac{d}{dx}\operatorname{arcosh}x=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\qquad(x>1)$$
$$\frac{d}{dx}\operatorname{artanh}x=\frac{1}{1-x^2}\qquad(|x|<1) $$
$$\int\operatorname{arsinh}x\,dx=x\operatorname{arsinh}x-\sqrt{1+x^2}$$
$$\int\operatorname{arcosh}x\,dx=x\operatorname{arcosh}x-\sqrt{x^2-1}\qquad(x>1)$$
$$\int\operatorname{artanh}x\,dx=x\operatorname{artanh}x+\frac12\ln(1-x^2)\qquad(|x|<1)$$
積分定数$C$は省略しています。
2.1.3.B 広義積分とは？
基本的に、積分計算が可能なものは被積分関数が連続な場合であるが、広義積分は範囲の端点が定義されていないのです！！！
「そんなんで積分できるのかよ！」って話なのですが、端の部分を極限を用いて定義しちゃえば良いんですね。端点だけが未定義であっても、その点は積分するうえで影響がありません。問題なのは、代入ができないということだけなので、極限を取って、収束すればその広義積分も収束するってわけです。
$f(x)$が、すべての$c\in(a,b)$に対して、$[c,b]$上でReimann積分可能であるとき、
$$\int_a^b f(x)\,dx\coloneqq\lim_{c\to a+0}\int_c^b f(x)\,dx$$
と定義する。同様に、$f(x)$が、すべての$c\in(a,b)$に対して、$[a,c]$上でReimann積分可能であるとき、
$$\int_a^b f(x)\,dx\coloneqq\lim_{c\to b-0}\int_a^c f(x)\,dx$$
と定義する。
それぞれ、右辺の積分が有限の実数として存在するとき、広義積分は収束するといい、そうでなければ広義積分は発散するという。
$f(x)$が全ての$R>a$に対して、$[a,R]$上でReimann積分可能であるとき、$$\int_a^\infty f(x)\,dx\coloneqq\lim_{R\to\infty}\int_a^R f(x)\,dx$$
と定義する。同様に、$f(x)$が全ての$L< b$上でReimann積分可能であるとき、
$$\int_{-\infty}^b f(x)\,dx\coloneqq\lim_{L\to-\infty}\int_L^b f(x)\,dx$$
と定義する。それぞれ、右辺の積分が有限の実数として存在するとき、広義積分は収束するといい、そうでなければ広義積分は発散するという。
ちなみに、広義積分について注意しておくべきものがあります。部分分数分解などで発生する、広義積分の項の分割時には分割後の全ての積分に対して広義積分が収束する必要があります。
2.2 Basic Rate Azure
ここにいる人はだいたい2パターンです。
まずは、前コンテストで全完をかまして、Rateが2799の人です。全完できるんだったら、早く参加してRateをあげなさい。きっといい競技積分-erになれる。
さて、このRate帯にいる人は、Difficulty 5 までを安定して解けるようになりましょう...といっても、やることはCyan帯とほぼ同じ。初見問題でも、しっかりを見切れる実力になるまで精進です。演習だけでは足りないと思うので過去問の問題もじっくりときましょう。
2.3 演習：Cyan,Azure
ここでは今までの復習も兼ねて、低Difficultyも加えて「閃き」に注目した良問を集めました。様々な問題を解くことで感性を働かせましょう。
Difficulty出題範囲：Difficulty 2 ~ 5
IBC 17 B
Difficulty 2 : writer by ri_ruru07
$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\ln (1+\tan x) dx $$
クリックしてヒントをチェック
Hint:
King Propertyを実行してみよう。
IBC 15 B
Difficulty 2 : writer by user_249dfdf7
$$ \int_0^1 (2x+1) e^{\arctan x}dx $$
クリックしてヒントをチェック
Hint:
被積分関数を変形して微分の形を見つけよう。
IBC 10 B
Difficulty 2 : writer by ri_ruru07
$$ \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{e^{\sin x}}{e^{\sin x}+e^{\cos x}}dx $$
クリックしてヒントをチェック
Hint:
King Propertyの形が使えます。
IBC 13 B
Difficulty 3 : writer by cogitater
$$ \int_{\frac{1}{\sqrt2}}^{\sqrt{2}} \sqrt{\abs {x^2-\frac{1}{x^2}}}dx$$
クリックしてヒントをチェック
Hint:
絶対値があるので愚直に場合分けしましょう。
IBC 9 B
Difficulty 3 : writer by ri_ruru07
$$ \int_1^e x^{ex}(\ln x +1)dx$$
クリックしてヒントをチェック
Hint:
これに似た微分の公式ってなかったっけ...？
IBC 2 B
Difficulty 3 : writer by sakumonjp
$$ \int_0^{\infty} \frac{\ln x}{x^2+x+1}dx$$
クリックしてヒントをチェック
Hint:
分母の次数が高いですね。
IBC 23 C
Difficulty 4 : writer by tylite
$$ \int_0^{\pi}\ln (\sin(x+\sin(x+\sin (x+…))))dx $$
クリックしてヒントをチェック
Hint:
自己相似性関数であることがわかります。
IBC 22 D
Difficulty 4 : writer by dragoemon
$$ \int_1^{\infty} \frac{dx}{x+\lfloor x \rfloor \lceil x \rceil} $$
クリックしてヒントをチェック
Hint:
床関数、天井関数が来たら総和に変換する。
IBC 5 B
Difficulty 4 : writer by Yomotsuhe
$$ \int_{-2}^2 2^x\ln(2^x+2^{-x}+2)dx $$
クリックしてヒントをチェック
Hint:
$\ln$の中身は変形できます。
IBC 2 C
Difficulty 4 : writer by ri_ruru07
$$ \int_0^1 x\lfloor \ln x \rfloor dx$$
クリックしてヒントをチェック
Hint:
床関数内に対数があるので、区間分けに注意。
IBC 23 D
Difficulty 5 : writer by Gagoh_Okowa
$$ \int_0^1 \frac{x^2+1}{(x^4-x^2+1)\sqrt{1-x^2}}dx $$
クリックしてヒントをチェック
Hint:
難問です。やることは$t=\dfrac1x$の置換に似ているでしょうか。
IBC 11 E
Difficulty 5 : writer by desiredrive
$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left\lfloor{\sqrt{\frac{2}{\tan x}}}\right\rfloor dx $$
クリックしてヒントをチェック
Hint:
明らかに床関数です。$\arctan$の変形を知っているかです。
IBC 7 C
Difficulty 5 : writer by rararalalala
$$ \int_{-1}^1 \frac{\arccos x}{x^2+1}dx$$
クリックしてヒントをチェック
Hint:
難問です。公式8が使えることが分からなければなりません。
2.4 次回予告
次回か、中級者(Violet)の解説です。難易度が高い問題勢揃いなので気合を入れましょう。
