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Sharmaによる二重超幾何級数と超幾何級数の間の関係式

111

Sharma(1978)

$n,m$を非負整数としたとき,
\begin{align} &\sum_{0\leq k,l}\frac{(-n,b,c)_k}{k!\left(1+\frac a2,b+c-a-n\right)_k}\frac{(-m,b',c')_l}{l!\left(1+\frac a2,b'+c'-a-m\right)_l}\frac{\left(1+\frac a2\right)_{k+l}}{(1+a)_{k+l}}\\ &=\frac{(1+a-b,1+a-c)_n(1+a-b',1+a-c')_m}{(1+a,1+a-b-c)_n(1+a,1+a-b'-c')_m}\\ &\cdot\F76{-n,-m,a,b,c,b',c'}{1+a+n,1+a+m,1+a-b,1+a-c,1+a-b',1+a-c'}1 \end{align}
が成り立つ.

Dixonの和公式より,
\begin{align} \sum_{0\leq j}\frac{(a,-k,-l)_j}{j!(1+a+k,1+a+l)_j}&=\frac{(1+a)_k(1+a)_l\left(1+\frac a2\right)_{k+l}}{\left(1+\frac a2\right)_k\left(1+\frac a2\right)_l(1+a)_{k+l}} \end{align}
だから,
\begin{align} &\sum_{0\leq k,l}\frac{(-n,b,c)_k}{k!\left(1+\frac a2,b+c-a-n\right)_k}\frac{(-m,b',c')_l}{l!\left(1+\frac a2,b'+c'-a-m\right)_l}\frac{\left(1+\frac a2\right)_{k+l}}{(1+a)_{k+l}}\\ &=\sum_{0\leq k,l}\frac{(-n,b,c)_k}{k!\left(1+a,b+c-a-n\right)_k}\frac{(-m,b',c')_l}{l!\left(1+a,b'+c'-a-m\right)_l}\sum_{0\leq j}\frac{(a,-k,-l)_j}{j!(1+a+k,1+a+l)_j}\\ &=\sum_{0\leq j}\frac{(a)_j}{j!}\sum_{0\leq k}\frac{(-n,b,c)_k}{k!\left(1+a,b+c-a-n\right)_k}\frac{(-k)_j}{(1+a+k)_j}\sum_{0\leq l}\frac{(-m,b',c')_l}{l!\left(1+a,b'+c'-a-m\right)_l}\frac{(-l)_j}{(1+a+l)_j} \end{align}
ここで,　Saalschützの和公式より,
\begin{align} &\sum_{0\leq k}\frac{(-n,b,c)_k}{k!\left(1+a,b+c-a-n\right)_k}\frac{(-k)_j}{(1+a+k)_j}\\ &=(-1)^j\sum_{0\leq k}\frac{(-n,b,c)_k}{(k-j)!(1+a)_{k+j}(b+c-a-n)_k}\\ &=\frac{(-1)^j(-n,b,c)_j}{(1+a)_{2j}(b+c-a-n)_j}\F32{j-n,b+j,c+j}{1+a+2j,b+c-a-n+j}1\\ &=\frac{(-1)^j(-n,b,c)_j}{(1+a)_{2j}(b+c-a-n)_j}\frac{(1+a-b+j,1+a-c+j)_{n-j}}{(1+a+2j,1+a-b-c)_{n-j}}\\ &=\frac{(-1)^j(-n,b,c)_j}{(1+a)_{n+j}(1+a-b,1+a-c,b+c-a-n)_j}\frac{(1+a-b,1+a-c)_{n}}{(1+a-b-c)_{n-j}}\\ &=\frac{(1+a-b,1+a-c)_n}{(1+a,1+a-b-c)_n}\frac{(-n,b,c)_j}{(1+a+n,1+a-b,1+a-c)_j} \end{align}
同様に,
\begin{align} \sum_{0\leq l}\frac{(-m,b',c')_l}{l!\left(1+a,b'+c'-a-m\right)_l}\frac{(-l)_j}{(1+a+l)_j}&=\frac{(1+a-b',1+a-c')_m}{(1+a,1+a-b'-c')_m}\frac{(-m,b',c')_j}{(1+a+m,1+a-b',1+a-c')_m} \end{align}
であるから, これらを代入して定理を得る.

$n,m\to\infty$として以下を得る.

\begin{align} &\sum_{0\leq k,l}\frac{(b,c)_k}{k!\left(1+\frac a2\right)_k}\frac{(b',c')_l}{l!\left(1+\frac a2\right)_l}\frac{\left(1+\frac a2\right)_{k+l}}{(1+a)_{k+l}}\\ &=\frac{\Gamma(1+a)^2\Gamma(1+a-b-c)\Gamma(1+a-b'-c')}{\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+a-b')\Gamma(1+a-c')}\\ &\cdot\F54{a,b,c,b',c'}{1+a-b,1+a-c,1+a-b',1+a-c'}1 \end{align}

特に$b+b'=1+a$の場合は, ${}_3F_2$になり, Dixonの和公式から以下の和公式が得られる.

$b+b'=1+a$のとき,
\begin{align} &\sum_{0\leq k,l}\frac{(b,c)_k}{k!\left(1+\frac a2\right)_k}\frac{(b',c')_l}{l!\left(1+\frac a2\right)_l}\frac{\left(1+\frac a2\right)_{k+l}}{(1+a)_{k+l}}\\ &=\frac{\Gamma\left(1+\frac a2\right)\Gamma(1+a)\Gamma(1+a-b-c)\Gamma(1+a-b'-c')\Gamma\left(1+\frac a2-c-c'\right)}{\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-b')\Gamma\left(1+\frac a2-c\right)\Gamma\left(1+\frac a2-c'\right)\Gamma(1+a-c-c')} \end{align}

定理1において, $1+a=b+b'=c+c'$とした場合も, ${}_3F_2$になり, Dixonの和公式から以下の和公式が得られる.

$n,m$を非負整数, $1+a=b+b'=c+c'$のとき,
\begin{align} &\sum_{0\leq k,l}\frac{(-n,b,c)_k}{k!\left(1+\frac a2,b+c-a-n\right)_k}\frac{(-m,b',c')_l}{l!\left(1+\frac a2,b'+c'-a-m\right)_l}\frac{\left(1+\frac a2\right)_{k+l}}{(1+a)_{k+l}}\\ &=\frac{(1+a-b,1+a-c)_n(1+a-b',1+a-c')_m\left(1+\frac a2\right)_{m+n}}{\left(1+\frac a2,1+a-b-c\right)_n\left(1+\frac a2,1+a-b'-c'\right)_m(1+a)_{m+n}} \end{align}

また, 定理1において, $c'=1+\frac a2,1+2a=b+b'+c-m-n$とすると, 右辺の${}_7F_6$にDougallの和公式を用いることができるので, 以下の公式が得られる.

$n,m$を非負整数, $1+2a=b+b'+c-m-n$としたとき,
\begin{align} &\sum_{0\leq k,l}\frac{(-n,b,c)_k}{k!\left(1+\frac a2,b+c-a-n\right)_k}\frac{(-m,b')_l}{l!\left(1+b'-\frac a2-m\right)_l}\frac{\left(1+\frac a2\right)_{k+l}}{(1+a)_{k+l}}\\ &=\frac{(1+a-c,1+a-b-b')_n\left(\frac a2,1+a-b-b'\right)_m(1+a-b,1+a-b')_{m+n}}{(1+a-b-c,1+a-b')_n\left(\frac a2-b',1+a-b\right)_m(1+a,1+a-b-b')_{m+n}} \end{align}
が成り立つ.

また, 定理1において, $c'=1+\frac a2,b+b'=1+a$とすれば, Dougallの${}_5F_4$の和公式を用いることで, 以下を得る.

$n,m$を非負整数$b+b'=1+a$としたとき,
\begin{align} &\sum_{0\leq k,l}\frac{(-n,b,c)_k}{k!\left(1+\frac a2,b+c-a-n\right)_k}\frac{(-m,b')_l}{l!\left(1+b'-\frac a2-m\right)_l}\frac{\left(1+\frac a2\right)_{k+l}}{(1+a)_{k+l}}\\ &=\frac{(1+a-b,1+a-c)_n\left(\frac a2,1+a-b'\right)_m(1+a-c)_{m+n}}{(1+a-c,1+a-b-c)_n\left(\frac a2-b',1+a-c'\right)_m(1+a)_{m+n}} \end{align}

次の定理はSingalによる1976年の論文で示されている.

Singal(1976), Sharma(1978)

$n,m$を非負整数としたとき,
\begin{align} &\sum_{0\leq k,l}\frac{(-n,b,c)_k}{k!(b+c-a-n)_k}\frac{(-m,b',c')_l}{l!(b'+c'-a-m)_l}\frac 1{(1+a)_{k+l}}\\ &=\frac{(1+a-b,1+a-c)_n(1+a-b',1+a-c')_m}{(1+a,1+a-b-c)_n(1+a,1+a-b'-c')_m}\\ &\cdot\F87{a,1+\frac a2,-n,-m,b,c,b',c'}{\frac a2,1+a+n,1+a+m,1+a-b,1+a-c,1+a-b',1+a-c'}{-1} \end{align}
が成り立つ.

Dougallの${}_5F_4$和公式の系として得られる
\begin{align} \F43{a,1+\frac a2,-k,-l}{\frac a2,1+a+k,1+a+l}{-1}&=\frac{(1+a)_k(1+a)_l}{(1+a)_{k+l}} \end{align}
を用いると, 先ほどと全く同様の議論により,
\begin{align} &\sum_{0\leq k,l}\frac{(-n,b,c)_k}{k!(b+c-a-n)_k}\frac{(-m,b',c')_l}{l!(b'+c'-a-m)_l}\frac 1{(1+a)_{k+l}}\\ &=\frac{(1+a-b,1+a-c)_n(1+a-b',1+a-c')_m}{(1+a,1+a-b-c)_n(1+a,1+a-b'-c')_m}\\ &\cdot\F87{a,1+\frac a2,-n,-m,b,c,b',c'}{\frac a2,1+a+n,1+a+m,1+a-b,1+a-c,1+a-b',1+a-c'}{-1} \end{align}
が示される.

$n,m\to\infty$とすると以下を得る.

\begin{align} &\sum_{0\leq k,l}\frac{(b,c)_k}{k!}\frac{(b',c')_l}{l!}\frac 1{(1+a)_{k+l}}\\ &=\frac{\Gamma(1+a)^2\Gamma(1+a-b-c)\Gamma(1+a-b'-c')}{\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+a-b')\Gamma(1+a-c')}\\ &\cdot\F65{a,1+\frac a2,b,c,b',c'}{\frac a2,1+a-b,1+a-c,1+a-b',1+a-c'}{-1} \end{align}

定理2において, $1+a=b+b'=c+c'$とすると, Dougallの${}_5F_4$和公式の系として現れる${}_4F_3$になることから, 以下を得る.

$n,m$を非負整数, $1+a=b+b'=c+c'$のとき,
\begin{align} &\sum_{0\leq k,l}\frac{(-n,b,c)_k}{k!(b+c-a-n)_k}\frac{(-m,b',c')_l}{l!(b'+c'-a-m)_l}\frac 1{(1+a)_{k+l}}\\ &=\frac{(1+a-b,1+a-c)_n(1+a-b',1+a-c')_m}{(1+a-b-c)_n(1+a-b'-c')_m(1+a)_{n+m}} \end{align}
が成り立つ.

これはR. N. Jainにより1966年に示された公式である.

次は定理1, 定理2の一般化になっている.

Sharma(1978)

$n,m$を非負整数としたとき,
\begin{align} &\sum_{0\leq k,l}\frac{(-m,b,c)_k}{k!(1+a-d,b+c-a-m)_k}\frac{(-n,b',c')_l}{l!(1+a-d,b'+c'-a-n)_l}\frac{(1+a-d)_{k+l}}{(1+a)_{k+l}}\\ &=\frac{(1+a-b,1+a-c)_m(1+a-b',1+a-c')_n}{(1+a,1+a-b-c)_m(1+a,1+a-b'-c')_n}\\ &\cdot\F98{a,1+\frac a2,b,c,b',c',d,-m,-n}{\frac a2,1+a-b,1+a-c,1+a-b',1+a-c',1+a-d,1+a+m,1+a+n}{1} \end{align}

Dougallの${}_5F_4$和公式から,
\begin{align} \F54{a,1+\frac a2,-k,-l,d}{\frac a2,1+a+k,1+a+l,1+a-d}{1}&=\frac{(1+a)_k(1+a)_l(1+a-d)_{k+l}}{(1+a-d)_k(1+a-d)_l(1+a)_{k+l}} \end{align}
より, 定理1と全く同様に示される.

$n,m\to\infty$として以下を得る.

\begin{align} &\sum_{0\leq k,l}\frac{(b,c)_k}{k!(1+a-d)_k}\frac{(b',c')_l}{l!(1+a-d)_l}\frac{(1+a-d)_{k+l}}{(1+a)_{k+l}}\\ &=\frac{\Gamma(1+a)^2\Gamma(1+a-b-c)\Gamma(1+a-b'-c')}{\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+a-b')\Gamma(1+a-c')}\\ &\cdot\F76{a,1+\frac a2,b,c,b',c',d}{\frac a2,1+a-b,1+a-c,1+a-b',1+a-c',1+a-d}{1} \end{align}

上の系において, $1+a=b+b'$とすると, Dougallの${}_5F_4$和公式から, 以下を得る.

$1+a=b+b'$のとき,
\begin{align} &\sum_{0\leq k,l}\frac{(b,c)_k}{k!(1+a-d)_k}\frac{(b',c')_l}{l!(1+a-d)_l}\frac{(1+a-d)_{k+l}}{(1+a)_{k+l}}\\ &=\frac{\Gamma(1+a)\Gamma(1+a-d)\Gamma(1+a-b-c)\Gamma(1+a-b'-c')\Gamma(1+a-c-c'-d)}{\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-b')\Gamma(1+a-c-c')\Gamma(1+a-c-d)\Gamma(1+a-c'-d)} \end{align}
が成り立つ.

これは1967年に示された Carlitzの和公式である.

定理3において, $1+a=b+b'=c+c'$のとき, Dougallの${}_5F_4$和公式から以下が得られる.

$n,m$を非負整数, $1+a=b+b'=c+c'$としたとき,
\begin{align} &\sum_{0\leq k,l}\frac{(-m,b,c)_k}{k!(1+a-d,b+c-a-m)_k}\frac{(-n,b',c')_l}{l!(1+a-d,b'+c'-a-n)_l}\frac{(1+a-d)_{k+l}}{(1+a)_{k+l}}\\ &=\frac{(1+a-b,1+a-c)_m(1+a-b',1+a-c')_n(1+a-d)_{m+n}}{(1+a-d,1+a-b-c)_m(1+a-d,1+a-b'-c')_n(1+a)_{m+n}}\\ \end{align}
が成り立つ.

定理3において, $b+b'=1+a,c'=1+2a-c-d+m+n$とすると, Dougallの${}_7F_6$和公式により, 以下が得られる.

$n,m$を非負整数としたとき,
\begin{align} &\sum_{0\leq k,l}\frac{(-m,b,c)_k}{k!(1+a-d,b+c-a-m)_k}\frac{(-n,1+a-b,1+2a-c-d+m+n)_l}{l!(1+a-d,2+3a-b-c-d)_l}\frac{(1+a-d)_{k+l}}{(1+a)_{k+l}}\\ &=\frac{(1+a-c-d,b)_n(1+a-c,2+2a-b-c-d)_m(1+a-c,1+a-d)_{m+n}}{(1+a-c,1+a-d)_n(1+a-d,1+a-b-c)_m(1+a,2+2a-b-c-d)_{m+n}} \end{align}
が成り立つ.

系8において, $c'=-n, 1+2a=b+b'+c+d-n$とすれば, Dougallの和公式から以下が成り立つ.

$n$を非負整数としたとき,
\begin{align} &\sum_{0\leq k,l}\frac{(b,c)_k}{k!(1+a-d)_k}\frac{(-n,1+2a-b-c-d+n)_l}{l!(1+a-d)_l}\frac{(1+a-d)_{k+l}}{(1+a)_{k+l}}\\ &=\frac{(-1)^n(1+a-b-c,1+a-b-d,1+a-c-d)_n}{(1+a-b,1+a-c,1+a-d)_n}\frac{\Gamma(1+a)\Gamma(1+a-b-c)}{\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)} \end{align}
が成り立つ.

定理3において, $c=c'=1+a-d$として整理すると, 以下を得る.

$n,m$を非負整数, $c+d+m=a+b+1, c+d'+n=a+b'+1$としたとき,
\begin{align} &\sum_{0\leq k,l}\frac{(b,-m)_k}{k!(d)_k}\frac{(b',-n)_l}{l!(d')_l}\frac{(a)_{k+l}}{(c)_{k+l}}\\ &=\frac{(c-a,c-b)_m(c-a',c-b')_n}{(c,c-a-b)_m(c,c-a'-b')_n}\\ &\cdot\F76{c-1,\frac{c+1}2,a,b,b',-m,-n}{\frac{c-1}2,c-a,c-b,c-b',c+m,c+n}1 \end{align}
が成り立つ.

これはCarlitzにより1970年に示された公式である.