Noether環の極小素イデアルは有限個である
$A$を素イデアル，$I$を$A$のイデアルとするとき，$I$を含む$A$の素イデアルのうち極小なものは有限個である．
- 可換環$A$の素イデアル全ての集合を$\Spec(A)$で表す．
- $A$のイデアル$I$に対し$V(I) = \set{\symfrak{p} \in \Spec(A) \mid \symfrak{p} \supseteq I}$と定義する．このとき，集合$\set{V(I) \mid \text{$I$は$A$のイデアル}}$を閉集合の全体として$\Spec(A)$は位相空間となる．
$X$を位相空間とする．$X$の閉集合全体の集合$\symcal{C}$が次の条件を満たすとき，$X$はNoether空間であるという．
(1) $\symcal{C}$の任意の部分集合は包含関係について極小元をもつ．
(2) $V_1 \supseteq V_2 \supseteq \cdots$を$\symcal{C}$の元の減少列とするとき，ある正整数$k$が存在して$V_k = V_{k + 1} = \cdots$が成り立つ．
定理1は次の2補題から容易に従う．
$A$を可換なNoether環とすると，$\Spec(A)$はNoether空間である．
$I, J$を$A$のイデアルとし，$V(I) \subseteq V(J)$とする．$V(I) = V(\sqrt{I}), V(J) = V(\sqrt{J})$である．$a \in \sqrt{J}$とする．このとき，$P \notin V(J) \implies P \notin V(I)$が成り立つから，$a \in \bigcap_{I \subseteq P} P = \sqrt{I}$．それゆえ$\sqrt{I} \supseteq \sqrt{J}$である．
$V(I_1) \supseteq V(I_2) \supseteq \cdots$を$\Spec(A)$の閉集合の減少列とする．ここで，$V(I_i) = V(\sqrt{I_i})$だから，各$I_i$を$\sqrt{I_i}$に置き換えてよい．このとき任意の$i$に対し$I_i \subseteq I_{i + 1}$だから，$A$のイデアルの上昇列$I_1 \subseteq I_2 \subseteq \cdots$が得られる．そして，$A$はNoether環だから十分大きい$k$に対し$I_k = I_{k + 1} = \cdots$，すなわち$V(I_k) = V(I_{k + 1}) = \cdots$となり，$\Spec(A)$がNoether空間であることが従う．
Noether空間$X$の任意の閉集合は有限個の既約な閉集合の和として表される．ここで，閉集合$V$が既約であるとは，任意の$V$より真に小さい閉集合$V_1, V_2$に対し$V \neq V_1 \cup V_2$となることである．
$V$を$X$の閉集合とし，$V$より小さい任意の$X$の閉集合は有限個の既約閉集合の和として表されると仮定すると，$V$もそうであることは自明．そして，$X$はNoether空間だから任意の閉集合の真減少列は有限で止まり，それゆえ補題が従う．
この記事を高評価した人
この記事に送られたバッジ
投稿者
